Аналитическое выражение производных функций

Аналитический поиск экстремума функций, заданных без ограничений на независимые переменные, применяется к задачам, у которых оптимизируемая функция имеет аналитическое выражение, дифференцируемое во всем диапазоне исследований, а число переменных невелико. Это наиболее простой метод, он базируется на использовании математического аппарата по определению экстремального значения функции, в результате приравнивания ее производной нулю. Однако область применения указанного метода невелика— это наиболее простые детерминированные процессы с сосредоточенными параметрами без ограничений на основные переменные. [c.247]

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИЙ [c.310]

Решение задачи оптимизации существенно усложняется, когда критерий оптимальности является функцией нескольких независимых переменных даже при известном аналитическом выражении этой функции. Наибольшие трудности возникают при отсутствии непрерывности у всех или некоторых производных оптимизируемой функции. В последнем случае для решения оптимальной задачи целесообразно использовать методы нелинейного программирования (см. главу IX).. [c.97]

T.e. к-функция есть логарифмическая производная от функции плотности распределения элементов потока по времени пребывания в аппарате. Из сравнения (3.520) и (3.516) видно, что аналитические выражения к-функций для важнейщих типов структур потоков в аппаратах получаются проще, чем для Х-функций. [c.146]

Входящие в уравнения (12.125) и (12.141) величины рД -,, ,,) p /p, 8 рассчитываются по таблицам для воздуха, находящегося в равновесном состоянии, и могут, таким образом, рассматриваться как заданные функции д (безразмерной полной энтальпии). Графики изменения первых двух из этих функций для воздуха показаны на рис. 103. Входящая в выражение 8 величина производной от концентрации по энтальпии (( С /( /г)р вычисляется при постоянном давлении. Для машинного счета, как известно, необходимо иметь аналитические выражения заданных функций. В качестве таковых принимались следующие [c.465]

Если функция / х) не имеет аналитического выражения для производной, то с использованием конечно-разностного представления производной метод касательных сводится по существу к методу секущих. Действительно, для производной можно записать [c.193]

Отметим еще одну особенность рассматриваемого переходного процесса. В теплообменнике со стенкой, имеющей нулевую теплоемкость, функция в точке t = l/w непрерывна, но не является гладкой производная dh2 t)/dt имеет разрыв при t = = l/w. Это можно установить, даже не обращаясь к аналитическому выражению для h.2i t). Действительно, в соответствии с формулой (2.2.75) производная от переходной функции совпадает с весовой функцией того же канала. Из рис. 4.1 следует, что g2i t) [c.142]

Методы исследования функций классического анализа (см. главу III) представляют собой наиболее известные методы решения несложных оптимальных задач, с которыми инженер знакомится при изучении курса математического анализа. Обычной областью использования данных методов являются задачи с известным аналитическим выражением критерия оптимальности, что позволяет найти не очень сложное, также аналитическое выражение для производных. Полученные приравниванием нулю производных уравнения, определяющие экстремальные решения оптимальной задачи, крайне редко удается решить аналитическим путем, поэтому, как правило, применяют вычислительные машины. При этом надо решить систему конечных уравнений, чаще всего нелинейных, для чего приходится использовать численные методы, аналогичные методам нелинейного программирования (см. главу IX), [c.30]

Метод множителей Лагранжа (см. главу IV) применяют для решения задач такого же класса сложности, как и при использовании обычных методов исследования функций, но при наличии ограничений типа равенств на независимые переменные. К требованию возможности получения аналитических выражений для производных от критерия оптимальности при этом добавляется аналогичное требование относительно аналитического вида уравнений ограничений. [c.31]

Если аналитический вид целевой функции (IX, 1) известен, вычисление производных dR/dXj (/ = 1,. .., п) чаще всего не составляет особого труда, хотя иногда и может привести к довольно громоздким выражениям. Если же зависимость R(x) в явном аналитическом виде нельзя записать или же вид этой зависимости настолько сложен, что аналитические выражения для производных dR/dXj получаются слишком сложными для практического исполь-. зования в расчетах, то единственным способом определения производных dR/dXj является численный метод. Значение производной dR/dXj при этом вычисляется по приближенному соотношению [c.486]

Метод множителей Лагранжа используется для решения задач такого же класса сложности, как и в аналитическом поиске экстремума, но при ограничениях типа равенств на независимые переменные. При этом добавляется требование возможности получения аналитического выражения для производных от аналитического вида ограничительных уравнений и вводится некоторая вспомогательная функция, содержащая неопределенные множители Лагранжа. Использование указанной функции по определенной процедуре позволяет свести задачу с ограничениями к обычной экстремальной задаче без ограничений. [c.247]

Для определения более точных значений и рекомендуется проводить интерполяцию способом наименьших квадратов. Аналитическое выражение интегральной кривой распределения получается дифференцированием по времени функции Q (г), описываемой уравнением (1.50), и подстановкой производной в уравнение (1.49) [c.53]

При отсутствии аналитических выражений для производных функции, для которой ищется минимум, можно использовать прямые методы. Они заключаются в поиске направлений в пространстве переменных, ведущих к минимальным значениям исследуемых функций [46—48]. [c.172]

В дальнейшем при выводе формул наибольших напряжений понадобятся упрощенные значения функций V, и, п н их производных. Разложив точные аналитические выражения в ряды, получим [c.128]

Это видно и непосредственно из аналитического выражения условий равновесия (18) при каждой температуре в рассматриваемом случае может быть использовано только одно, первое уравнение системы, так как кривая солидус х°-(Т), от которой зависит Ацв, не задана. Но, чтобы от известных значений Ам.а в каждой точке кривой ликвидус перейти к значениям этой функции на поле переменных (Г, х), надо знать две частные производные Ацд. Нахождение двух неизвестных из одного уравнения — задача некорректная. [c.19]

Существенно более сложными для расчетов на ЭВМ являются задачи второго типа, заключающиеся в вычислении функций распределения макромолекул по размеру и составу. Для нахождения функции ММР нужно найти решение бесконечной цепочки кинетических уравнений для концентраций молекул с (I, t) с определенными значениями степени полимеризации I. Для тех полимерных систем, где среднее значение этой величины имеет порядок 10 —10, решение цепочки такого числа дифференциальных уравнений на ЭВМ является практически невыполнимой задачей. Однако если считать степень полимеризации не дискретной, а непрерывной переменной, то концентрация с (/, t) будет определяться уравнением в частных производных, численное решение которого на ЭВМ может быть найдено стандартными методами. Как будет видно из дальнейшего, во многих случаях для функций распределения макромолекул по размеру и составу могут быть выведены простые аналитические выражения и использование [c.66]

Дан обзор имеющихся в настоящее время сведений о функции дипольного момента многоатомной молекулы. Рассмотрены экспериментальные методы определения вероятности чисто колебательного перехода, на конкретных примерах оценены погрешности всех используемых методик. В качестве теоретического метода извлечения данных об электрооптических параметрах многоатомной молекулы используется теория возмущений приведены аналитические выражения для моментов перехода второго порядка в молекулах низшей, средней и высшей симметрии оценены погрешности пренебрежения высшими членами разложения функции дипольного момента и поправками второго порядка теории возмущений. Приведена сводка имеющихся в настоящее время данных о вторых производных дипольного момента по нормальным координатам для ряда многоатомных молекул. Библиогр. 57 назв. Табл. 8. [c.254]

Применение аппарата теории случайных функций в этом случае имеет определенные преимущества, которые следуют из того, что получаемые данные, корреляционные функции и связанные с ними энергетические спектры аномалий обладают следующими важными свойствами малая чувствительность к погрешностям наблюдений (некоторые интегральные характеристики, получаемые по исходным аномалиям с использованием всех точек кривых) взаимозаменяемость (в двухмерной задаче значения кривых автокорреляционных функций и энергетических спектров аномалий различных высших горизонтальных и вертикальных производных одного порядка равны друг другу, т.е. полностью взаимозаменяемы) четность получаемых выражений - автокорреляционные функции и энергетические спектры аномалий являются четными функциями координат, в них пропадают эффекты асимметричности и косого намагничивания аномалий, т.е. они проще и более удобны при интерпретации (полезные эффекты асимметричности и косого намагничивания аномалий четко отражаются на данных взаимных корреляционных функций и взаимных энергетических спектров и при необходимости их можно определить из данных этих функций). Кроме того, во многих случаях получаются достаточно простые выражения (например, в частотной области), которые позволяют легко оперировать ими, появляется возможность более уверенной совместной интерпретации данных исходных аномалий и их производных, совместной интерпретации гравитационных и магнитных аномалий, что было трудно, а иногда и невозможно по данным самих аномалий. Вследствие этого в частотной области легко разделить спектры, соответствующие в суммарном поле различным телам, и спектры, обусловленные влияниям различных особых точек одного тела, а также влияния процессов интегрирования, дифференцирования, усреднения, аналитического продолжения аномалий и т.п., вследствие чего процесс интерпретации сложных тел можно свести к интерпретации простейших. [c.6]

Доказанное свойство передаточной функции очень часто используется при исследовании технологических объектов. Большинство таких объектов описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных производных. Как правило, получить точное аналитическое решение этих систем уравнений невозможно. Однако можно упростить дифференциальные уравнения, если применить к ним преобразование Лапласа по времени. При этом обыкновенные дифференциальные уравнения превращаются в алгебраические уравнения для функций й р) и v p), а уравнения в частных производных — в обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие производные только по пространственной координате. Решая преобразованную систему уравнений можно получить выражение v p) через й р). Используя затем соотношение (2.2.77), найдем передаточную функцию W p), с помощью которой удобно описывать оператор объекта. После того как найдена функция W p), можно определить весовую функцию g t) и переходную функцию h(t). Для этого достаточно по таблицам преобразований Лапласа определить оригиналы функций [c.71]

Аналитическое условие минимального значения функции Ми = = Ф(ап) находим, взяв производную по бц от выражения (2.8) и приравняв ее нулю [c.89]

Данный метод полезен, если имеется в аналитическом виде выражение для производных минимизируемой функции. Определяется минимум функции [c.172]

Необходимым условием существования экстремума функции нескольких переменных является равенство нулю частных производных по каждой из переменных. Таким образом, аналитически существование экстремума выражения (11—42) запишется в виде [c.319]

НЬЮТОН — очень короткая программа. В строке 100 описана входящая в уравнение функция/Ос), в строке 200 — ее производная / (v). Необходимость вводить производную в аналитическом виде является существенным недостатком метода Ньютона для сложных и громоздких выражений это вызывает серьезные затруднения. Кроме того, ручное дифференцирование может стать источником ошибок, о которых часто даже и не подозревают. [c.119]

DALSFEK. Последняя программа, обсуждаемая в этом разделе, разработана в Саутгемптоне [36]. В ней используется метод Марквардта для минимизации функции, определенной с помощью непосредственно экспериментально наблюдаемых переменных, т. е. минимизируется сумма квадратов ошибок светопоглощения или измеренных значений э. д. с. Общие (аналитические) концентрации каждого основного компонента рассматриваются как независимые переменные и затем находятся концентрации каждой частицы модели путем их подгонки по уравнению материального баланса, включающего эти концентрации и значения констант устойчивости на каждой данной итерации. Для этой цели используется тот же алгоритм, что и при уточнении значений констант устойчивости. Здесь аналитические концентрации и константы устойчивости рассматриваются как экспериментальные переменные, а концентрации частиц—как параметры, которые должны быть определены. Такой подход оказался очень хорошим, поскольку аналитические выражения производных доступны для расчетов [36, 75]. Эффективен также метод итерации констант устойчивости [36] благодаря включению алгоритма Марквардта, так как при этом отпадает необходимость хорошего начального приближения констант устойчивости. Программа имеет средства для корректировки систематических ошибок (см. разд. 5.10), подобные тем, которые используются в программе Силлена [7, 21, 76]. Известны примеры ее применения для построения модели [53] (см. гл. 13). [c.103]

Для упрошения опишем принцип метода для одного дифференциального уравнения. Матричная запись позволяет осушествить непосредственный переход к системам из нескольких уравнений. Пусть у есть функция независимой переменной х, для которой неизвестно аналитическое выражение, но известны начальное значение уо = у (хо) аналитическое выражение производной у по х [c.174]

При оптимизации параметров водоснабжающих систем (ВСС) широкое распространение получил метод, разработанный Л.Ф. Мошниным [160], который является интересной интерпретацией методов условной минимизации. Он предназначен для определения оптимальных диаметров ВСС при заданном ( желательном ) распределении расходов. При некоторых допущениях Л.Ф. Мошнин дал аналитическое выражение стоимости водопроводной сети как функции от диаметров, расходов и коэффициентов, получивших, как и сам метод, название фиктивных расходов . Он исследовал свойства этих коэффициентов, предложил способ их определения, а приравниванием нулю производных от функции стоимости по диаметрам получил аналитические выражения для определения самих диаметров. Следует подчеркнуть, что главная заслуга Л.Ф. Мошнина состоит в том, что он впервые поставил и решил системную задачу оптимизации параметров для всего множества участков ВСС (подробнее об этом методе см. в разд. 15.3). [c.170]

Ряд исследований был направлен на выбор подходяшего аналитического выражения для ядра Больцмана. Однако полученные результаты описывали обычно лишь узкий круг экспериментальны.х данных. Более успешным оказалось применение функций с дробными производными [43]. [c.317]

После пионерских работ Пулаи [164—166] и МакИвера и Коморницкого [167] появился ряд публикаций [169, 178, 183—201], посвященных автоматической оптимизации молекулярных структур с использованием разных типов энергетических функций и аналитических выражений для первых производных этих функций. Эффективность используемых методов оптимизации зависит помимо прочих факторов от выбора начальной структуры поэтому было предложено [178] проводить предварительную оптимизацию на полуэмпирическом уровне, а полученные структуры использовать в качестве начальных приближений для неэмпирических расчетов. Улучшение сходимости достигается также при использовании [199] спектроскопической информации или эмпирического потенциального поля для построения матрицы А в выражении (37). Помимо рассмот- [c.63]

Хотя этот способ самый простой, он в то же время не может претендовать на экономичность. Дело в том, что выражения, входящие в производные, вычисляются в процедуре-функции. Использование их в точных формулах для первых и вторых производных позволило бы сэкономить машинное время при этом для задач с большим числом переменных можно было бы добиться сокращения машинного времени почти на порядок. Большинство авторов, рассчитывавших конформации молекул, ограничились конечными разностями, но С. Г. Галактионов [178, с. 8] нашел удобные аналитические выражения для производных и в дальнейшем применял их в расчетах. Лифсон и Варшел [179] первые производные находили аналитически, а вторые — методом конечных разностей, используя для них выражение (2.113), в правой части которого вместо функции U фигурировали значения ее производных dU/dXi- [c.131]

При помощи аналитических выражений, приведенных в п.2,зная ангармоническое силовое поле и имея однозначный выбор знаков матричных элементов, можно рассчитать производные функции дашоль-ного момента по но альным координатам многоатомной молекулы.Результаты произведенных к настоящему временя расчетов собраны в табл.3-8. В тех случаях, когда у авторов не было возможности сделать однозначный выбор знака матричного элемента, приведены оба возможных значения соответствующей производной. [c.44]

Примечание. Выражения для производных функций Л и S по углам падения трещин o i и 2 в формулах (35.4) и (35.5) получены при условии, что величины i, G , L vi G2 при изменении углов падения остаются постоянными. При необходимости получения более точных значений Р следует вычислять производные diLJdai, dLJdL , dGjda. ,..., которые могут быть получены аналитически или графически. [c.557]

Ошибка, обусловленная большой величиной высших производных, не может быть изменена, она определяется характером функциональной зависимости. Для функций, заданных таблично и не имеющих аналитического представления, ее подчас невозможно оценить. Однако, как следует из выражения (11—34), ошибка, вызванная неудачным выбором узловых точек, также может быть существенной. Если, например, узлы интерполяции будут выбраны вблизи одного из концов интервала интерполирования, то для значений Xi у второго конца интервала при (х — Тц) 1 разности будут значительными, соответственно их произведение может быть сравнимо со значением производной. Поэтому при интерполировании с неравноотстоящими узлами выбор узловых точек необходимо производить таким образом, чтобы значение полинома в правой части соотношения (И—34) для различных значений аргумента было возможно малым по абсолютной величине. [c.311]

Существенной чертой определения направления наискорейшего спуска является вычисление производных минимизируемой функции дЗ/дхи д31дх2, дЗ/охп. Для этой цели можно использовать два способа. Первый, аналитический способ состоит в том, что с помощью обычных правил дифференцирования находятся выражения для производных. Второй, чис.ценцын способ определения состоит в том, что производные подсчитываются с помощью соответствующих разностей [c.129]

Этап 1 выполняется химиками и здесь пе рассматривается. Проведение этапов 2 и 3 включает большую подготовительную работу, которая заключается в получении уравнений стационарности (2) и выводе кинетическнх уравненш (3), для чего требуется решить систему (2) относительно покрытий в выводе формул аналитических производных 8 и гк по параметрам 0 (для применения эффективных программ минимизации при расчетах па ЭВМ) в программировании полученных выражений. Эту работу необходимо проделать для каждого варианта механизма. Ручной вывод и программирование кинетических уравнений и их производных трудоемки и пе позволяют осуществить в ограниченны срок анализа достаточно представительного набора механизмов, а также приводят к возникновению ошибок. Трудности усугубляются тем, что в случае нелинейной системы (2) часто не удается получить явные выражения для скоростей реакции. Возникает задача — передать самой ЭВМ функции составлення программ расчета скоростей реакций и их первых производных для произвольных ГКР, задавая минимальную информацию, определяющую механизм. Указанные программы необходимы также для статистического анализа и планирования кинетического эксперимента. [c.40]