Генеральная совокупность и случайная выборка

Таким образом, значение р=1/2 попадает в доверительный интервал. На этом основании можно сделать вывод о том, что наблюдаемая выборка не противоречит гипотезе о симметричности распределения генеральной совокупности случайной величины X. [c.78]

Оценки методы — методы, при помощи которых можно с определенной вероятностью сделать выводы относительно параметров распределения генеральной совокупности случайной величины по ее выборке. [c.265]

Сравнение двух средних. Для сравнения между собой двух средних, полученных по выборкам пз нормально распределенных генеральных совокупностей, применяется критерий Стьюдента или /-критерий. Пусть заданы две случайные выборки хи Х2,. .., Хщ и Уь Уь. .., Упг- Первая выборка взята из нормально распределенной генеральной совокупности с параметрами Шх и сГж , вторая — из генеральной совокупности с параметрами т и Оу . По выборкам получены оценки для этих параметров х, и у, 5,/. Требуется проверить нулевую гипотезу (Пх = 1Пу при условии Ох = Оу = а . Рассмотрим случайную величину [c.51]

Практически это означает, что при достаточно большой выборке функцию распределения генеральной совокупности приближенно можно заменять выборочной функцией распределения. Пусть Х1<Х2<Хз<. .. <Хп — упорядоченная по величине выборка из генеральной совокупности случайной величины X, или вариационный ряд. Все элементы выборки имеют одинаковую вероятность, равнуЮ 1/ . Поэтому, согласно определению функции Рп(х), имеем [c.23]

Генеральная совокупность и выборка в известном смысле соотносятся между собой так же, как исследуемый объект и анализируемая проба. Так же как проба должна представительно отражать состав материала, выборка должна представительно отражать генеральную совокупность результатов измерений. Это достигается оптимальной величиной выборки (числом опытов п). Значения стандартного отклонения 5 и среднего арифметического, например, у, рассчитанные для ограниченного числа определений, называют оценочными величинами для (7 и л генеральной совокупности. Проще можно рассчитать более грубые оценочные величины для стандартного отклонения — это так называемый диапазон значений Я = ут х — —г/тш, представляющий собой разность между наибольшим и наименьшим результатом выборки, а для среднего арифметического — так называемое серединное значение или медиану у. Если результаты измерений расположить в порядке возрастания, то при нечетном числе измерений медиану определяют как центральный результат, при четном числе измерений — как среднее арифметическое двух средних результатов выборки. При небольшом числе измерений на медиану не оказывают влияния отдельные случайные ошибки результатов больше или меньше среднего, так как она определяется только средним (или двумя средними) результатами. Но по этой же причине при большом числе измерений (п>10) медиана непригодна, нужно рассчитывать среднее арифметическое. [c.438]

Эти методы исходят из идеализированного предположения о существовании бесконечно большого числа измерений. Множество всех этих результатов рассматривают как генеральную совокупность. Их нее выводят закономерности для явлений, воспринимаемых наблюдателем как чисто случайные. На практике, однако, число измерений обычно очень мало.Набор данных конечного объема, извлекаемых из генеральной совокупности, составляет выборку. Выборку следует подбирать так, чтобы она к 1к можно лучше характеризовала (представляла) генеральную совокупность. Этой цели можно добиться тем скорее, чем больше объем выборки и чем лучше удался случайный отбор конкретных измерений. [c.25]

В статистике рассматривают определенное число наблюдений данного рода для того, чтобы представить выборку из генеральной совокупности данных. Свойства генеральной совокупности случайных ошибок могут быть описаны при помощи закона распределения Гаусса, который выражается уравнением [c.571]

Из случайного характера выборок немедленно вытекает, что любое суждение о генеральной совокупности по выборке само случайно. Предположим, что в результате эксперимента получена выборка хи Х2,. .., Хп значений случайной величины X. Пусть х — [c.22]

Из случайного характера выборок немедленно вытекает, что любое суждение о генеральной совокупности по выборке само случайно. Предположим, что в результате эксперимента получена выборка х х , значений случайной величины X. Пусть л —некоторая точка числовой оси х обозначим через я, число выборочных значений, расположенных левее х на той же оси. Отношение и /я представляет собой частоту полученных в выборке значений случайной величины X, меньших х. Эта частота есть функция от х. Обозначим ее Р (х) [c.28]

Статистическая совокупность, из которой отбирают часть объектов, называется генеральной совокупностью. Множество объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности, называется выборкой. [c.296]

В аналитической работе часто приходится ограничиваться сравнительно небольшим числом определений. Это небольшое количество наблюденных величин можно рассматривать как случайную выборку из некоторого гипотетического бесконечного множества—генеральной совокупности, которая является математической моделью реально наблюдаемых величин. Задача свертывания информации с математической точки зрения сводится в этом случае к тому, что по выборке определяют некоторые величины (выборочную дисперсию и среднее арифметическое значение случайной величины), которые являются оценкой неизвестных параметров (соответственно дисперсии и математического ожидания) функции распределения этой генеральной совокупности. При оценке (определении) параметров генеральной совокупности по выборке, естественно, вносится известный элемент неопределенности, который можно учесть методами математической статистики. Среди экспериментаторов распространено совершенно неправильное мнение о том, что математическая статистика применима только к большому цифровому материалу. Современная математическая статистика дает возможность оценивать параметры генеральных совокупностей и устанавливать для них доверительные пределы даже по весьма малым выборкам,—в некоторых случаях всего по двум измерениям. Но при этом, естественно, что чем меньше экспериментальный материал, тем менее точно может быть произведена оценка параметров генеральной совокупности по их выборочным значениям. Таким образом, математическая статистика, с одной стороны, дает возможность компактным образом представить результаты эксперимента, а с другой стороны, позволяет количественно оценить тот элемент сомнения, который сопутствует каждому эксперименту при малом числе опытов. [c.12]

В химическом анализе содержание вещества в пробе устанавливают, как правило, по небольшому числу параллельных определений (п З). Для расчета погрешностей определений в этом случае пользуются методами математической статистики, разработанными для малого числа определений. Полученные результаты рассматривают как случайную (малую) выборку из некоторой гипотетической генеральной совокупности, состоящей нз всех мыслимых в данных условиях наблюдений. Соответственно различают выборочные параметры (параметры малой выборки) случайной величины, которые зависят от числа наблюдений, и параметры генеральной совокупности, не зависящие от числа наблюдений. Для практических целей можно считать, что при числе измерений /г = 20 30 значения стандартного отклонения генеральной совокупности (а)—основного параметра — и стандартного отклонения малой выборки (я) близки (я ст). [c.26]

Эти методы исходят из идеализированного представления о бесконечно большом числе измерений. Это множество результатов измерений называют генеральной совокупностью. Из нее выводят закономерность для процессов, кажущихся наблюдателю чисто случайными. Однако при практических измерениях всегда имеется очень ограниченное число значений. Они образуют выбор конечного объема из генеральной совокупности, называемый выборкой. Выборку следует брать так, чтобы возможно лучше охарактеризовать (представить) генеральную совокупность. Эта цель достигается тем лучше, чем больше объем выборки и чем удачнее сделан случайный отбор отдельных измерений. [c.13]

Обсужденные в гл. 2 функции распределения сопровождаются упорядоченной систематизацией измерений и их графическим изображением. При этом, если случайные ошибки действительно малы, всегда обнаруживается похожая картина. Это позволяет предположить, что в основе подобных распределений лежат определенные математические закономерности. Некоторые из этих закономерностей для случая генеральной совокупности и выборки изложены ниже . [c.42]

Анализируя прилегание точек на вероятностных сетках к построенным по данным координатам прямым, можно сделать вывод, что генеральная совокупность довольно хорошо описывается функциями нормального и логарифмически нормального распределения и менее удовлетворительно — функциями распределений Гумбеля и Вейбулла. После того как установлена функция распределения генеральной совокупности случайных величин, для определения среднего разрушающего давления и предельных его отклонений можно пользоваться случайными выборками. [c.134]

Ответ на этот вопрос зависит от двух факторов от характера распределения значений выборки как случайных величин (нормальное распределение, распределение Стьюдента и т. п.) и от выбора уровня значимости а. Выбор этих факторов зависит от некоторого произвола исследователя-аналитика. В целом узаконено, что при малых выборках (и < 30) и при недостаточной информации о генеральной совокупности значения выборки как с. в. считаются распределенными по закону Стьюдента. Выбор же уровня значимости а зависит в большей мере от характера решаемой задачи. [c.302]

Сравнение выборочного распределения и распределения генеральной совокупности. Проверку гипотез относительно параметров распределения генеральной совокупности проводили в предположении нормального распределения наблюдаемой случайной величины. Гипотезу о нормальности изучаемого распределения в л атематической статистике называют основной гипотезой. Проверку этой гипотезы по выборке проводят при помощи критериев согласия. Критерии согласия применяются для проверки гипотезы о предполагаемом виде закона распределения. Критерии согласия позволяют определить вероятность того, что при гипотетическом законе распределения наблюдающееся в рассматриваемой выборке отклонение вызывается случайными причинами, а не ошибкой в гипотезе. Если эта вероятность велика, то отклонение от гипотетического закона распределения следует признать случайным и считать, что гипотеза о предполагаемом законе распределения не опровергается. [c.58]

Учитывая эти обстоятельства, для конструирования целевой функции проведем следующие рассуждения. Пусть при фиксированной температуре Ti имеется ряд независимых наблюдений давления Рзц 1 = 1,.. Ь), полученных с использованием одной и той же аппаратуры и методики измерений. В этом случае набор Рдц можно рассматривать как выборку значений случайной величины Рз из генеральной совокупности с нормальным законом распределения, математическим ожиданием М (Рд ) = Р. и дисперсией Ор1. Отметим, что в силу (1) величины Р,- и Ор1 являются функциями температуры Г,-, точное значение которой нам неизвестно, однако мы можем его трактовать как математическое ожидание случайной величины Гд , распределенной нормально с дисперсией Ог- [c.99]

В реальном случае мы располагаем данными при различных значениях Г , поэтому набор случайных величин типа (2) следует трактовать как выборку по одному элементу из N генеральных совокупностей с одинаковым математическим ожиданием, равным нулю, но с различными, даже при равноточных измерениях, дисперсиями 0 .. С другой стороны, очевидно, что набор значений [c.100]

Каждая конъюнкция 1 ) выделяет в п-мерном пространстве параметров Хп область, внутри которой она принимает значение 1. В этой области в общем случае могут быть расположены точки, принадлежащие объектам всех классов Ут, гп = 1, 2,. .., М. Для простоты ограничимся случаем двух классов Ух и У - Классифицированные объекты представляют собой случайную выборку без возвращения из генеральной совокупности. [c.259]

Для того, чтобы по выборочной совокупности случайных величин можно было достаточно строго судить о генеральной, выборка должна возможно более походить на генеральную совокупность. Это означает, что если в последней можно выделить отдельные группы или классы, отличные друг от друга по тому или иному признаку, в выборке они должны быть представлены в той же пропорции. Если это условие соблюдено, выборку можно считать представительной (репрезентативной). В противном случае могут возникнуть неправильные представления о процессе. Так, если в предыдущем примере все 24 или 48 замеров радиоактивности сделать в течение первого часа измерений, заведомо не будет получено объективной информации о распаде в течение суток. [c.814]

Выше уже было отмечено, что средний результат измерений— лучшая оценка измеряемой величины. Однако для ряда выборок из одной генеральной совокупности, отличающихся объемом, среднее арифметическое является не постоянной, а случайной величиной, поскольку оно колеблется при изменении объема выборки, приближаясь к генеральному параметру с ростом п lim Хп = М Х). [c.819]

Выборочная совокупность (выборка) — совокупность результатов измерений аналитических сигналов или определяемых содержаний, рассматриваемая как случайная выборка из генеральной совокупности, полученной в указанных условиях [c.437]

Дисперсия служит мерой рассеяния значений случайной величины относительно среднего. Корень квадратный из дисперсии называется стандартным отклонением и обозначается как сг. В табл. 12.1-1 приведены определения среднего и дисперсии для генеральной совокупности, а также для выборки объемом п. [c.421]

Все сказанное относится к идеализированным условиям, когда проведено бесконечно большое число определений и получено бесконечно много результатов. Для того чтобы приблизиться к таким идеализированным условиям, необходимо определение повторять 20—30 раз. Это, конечно, нецелесообразно — требуется много времени, реагентов, труда. Поэтому обычно выполняют два, три или пять определений. Следовательно, в распоряжении химика-аналитика генеральной совокупности нет. Имеется только случайная выборка из нее, называемая выборочной совокупностью [c.140]

Вопрос о представительности выборки того или иного объема и близости параметров выборочной совокупности. к параметрам генеральной совокупности непосредственным образом связан не только с объемом выборки, но и с функциями распределения изучаемых случайных величин. [c.69]

Объяснить значение фундаментальных статистических терминов дискретная и непрерывная случайная величина, генеральная совокупность, плотность вероятности, функция распределения случайной величины, моменты функции распределения, среднее, дисперсия, объем выборки, выборочное распределение, выборочные параметры. [c.416]

В математической статистике набор из конечного (п) числа реализаций ( наблюдений ) случайной величины называется выборочной совокупностью (выборкой) объемом п . Она представляет собой малую часть из теоретически возможного неограниченного множества наблюдений. Последнее называется генеральной совокупностью . [c.420]

Рассмотренные в гл. 2 распределения частот получились в результате упорядочения результатов и их графического представления. Оказывгьется, что, когда случайные ошибки действительно малы, всегда получается похожая картина. Это позволяет предположить, что в основе таких распределений лежат определенные математические закономерности. Некоторые из этих закономерностей для генеральной совокупности и выборки изложены ниже. [c.47]

Оценка дисперсии нормально распределенной случайной величины. Дисперсию генеральной совокупности нормально рас-г ределенной случайной величины можно оценить, если известно распределение ее оценки — выборочной дисперсии Распределение выборочной дисперсии можно получить при помощи распределения Пирсона или -распределения. Если имеется выборка п независимых наблюдений х, х ,. .., Хп над нормально распределенной случайной величиной, то можно показать, что сумма [c.44]

Иногда в аналитической практике погрешность считают промахом, а результат исключается из генеральной совокупности или выборки при р=0,003 (Я=0,997 и ы = 3,09). Это так называемый трехсигмовый критерий уровня значимости. Чаще используют двухсигмовый критерий, тогда р = 0,046 (Р = 0,954 и ы = 2,09). Последний является болеежестким при выявлении промахов или систематических погрешностей, так как из генеральной совокупности (выборки) исключается большее число вариант, и менее жестким при оценке точности результатов различных генеральных совокупностей, так как при сравнении исключаются большие погрешности. Выбор того или иного уровня значимости позволяет переводить результаты анализа из случайных в неслучайные (т. е. вызванные неслучайной причиной) и, соответственно, погрешности этих результатов из разряда случайных в разряд промахов или систематических погрешностей. Конкретный выбор р зависит от практической цели анализа и степени важности полученного результата. С точки зрения математической статистики, строгость (надежность) полученного в лаборатории результата анализа тем выше, чем больше доверительная вероятность Р, примененная при его оценке, так как при этом в выборку включаются все более отклоняющиеся от среднего арифметического X варианты и уменьшается вероятность потерять случайные большие погрешности. [c.90]

Анализируя прилегание точек на вероятностных сетках к построенным по данным координатам прямым, можно сделать вывод, что генеральная совокупность довольно хорошо опнсы-вается функциями. нормального и логарифмически нор. 1ально] о распределения и менее удовлетворительно — функциями распределений Гумбеля и Вейбулла, После того как установлена функция распределения генеральной совокупности случайных величин, для определения среднего разрушающего давления и предельных его отклонений можно пользоваться случайны.мп выборками. Это означает, что по результатам испытаний с доведением до разрушения нескольких мембран можно с заданной надежностью определить среднее разрушающее давление и предельные его отклонения. для всей партии. В случае нормального распределения опп мембран могут быть определены по формуле [c.97]

Генеральная совокупность и случайная выборка. На практике исс ледователь всегда располагает лишь ограниченным числом значений случайной величины, представляющим собой некоторую вы-борку из генеральной совокупности. Под генеральной совокупностью понимают все допустимые значения случайной величины. При ан 1лизе какой-либо технологической случайной величины, непрерывно изменяющейся ио времени (например, температура, давление и т. п.), под наблюдаемыми значениями случайной величины понимают значения технологического параметра в дискретные моменты времени, разделенные таким интервалом, при котором соседние значения можно считать полученными из иезависимых опытов. [c.22]

Проверка статистических гипотез. Под статистическими гипотезами понимаются некоторые предположения относительно распределений генеральной совокупности той или иной случайной величины. Проверка гипотезы заключается в сопоставлении некоторых статистических показателей, критериев проверки (критериев значимости), вычисляемых по выборке, со значениями этих показателей, определенными в предположении, что проверяемая гипотеза верна. При проверке гипотез подвергается испытанию некоторая гипотеза Но в сравнении с альтернативной гипотезой Н, которая формулируется или подразумевается. Альтернативных гипотез может быть несколько. [c.38]

Проверка однородности результатов измерений. Грубые измерения являются результатом поломки прибора или недосмотра экспериментатора, и результат, содержащий грубую ошибку, резко отличается по величине. На этом основаны статистические критерии оценки и исключения грубых измерений. Наличие грубой ошибки в выборке значений случайной величины X нарушает характер расиределеиия, изменяет его параметры, т. е. нарушается однородность наблюдений. Поэтому выявление грубых ошибок можно трактовать как проверку однородности наблюдений, т. е. проверку гипотезы о том, что все элементы выборки Х, Х2,. .., Хп получены из одной и той же генеральной совокупности. Будем по-прежнему по,1агать, что случайная величина подчиняется нормальному распределению. Для решения этой задачи предложено несколько методов. [c.56]

Критерий Вилькоксона. Критерий Вилькоксона применяется для проверки гипотезы принадлежности двух выборок одной и той же генеральной совокупности. Пусть имеются выборки случайных величин X и Y объема т и п. Преобразуем выборки в вариационные ряды [c.65]

Заметим, что способы оценки случайных пофешностей весьма разнообразны 19, 39-42], хотя в основе большинства из них используются методы математической статистики За норматив статистического кон-фоля обычно принимают предельное значение конфолируемого показателя для выборки контрольных измерений. Определяют численное значение данного показателя на основе всех результатов рассмафиваемой выборки и в зависимости от полученной величины принимают решение о качестве химического анализа. При этом оценку среднего арифметического, стандартного отклонения генеральной совокупности и выборочного [c.163]

В теории погрешностей доказывается, что если погрешности следуют закону распределения Гаусса, то наиболее вероятным и надежным значением измеряемой величины является математическое ожидание или среднее арифметическое полученных равноточных результатов измерений. Строго это положение относится к гипотетической генеральной совокупности, т. е. совокупности всех наблюдений, мыслимых при данных условиях. Арифметическое среднее этих наблюдений называют генеральным средним ц. В аналитической химии число параллельных определений обычно невелико и совокупность полученных результатов называют выборочной совокупностью или случайной выборкой. Сред-нее значение результатов случайной выборки называют в ы-борочным средним. Методами статистического анализа можно по результатам случайной выборки оценить параметры генеральной совокупности и таким образом найти наиболее вероятное значение содержания компонента в пробе. [c.126]

Так как выборка из генеральной совокупности имеет случайный и дискретный (3—5 значений) характер, выбНе совсем совпадает с арифметическим средним генеральной совокупности и. [c.140]

Пусть имеются две серии результатов анализа одного образца А и В, представленные в форме выборочных совокупностей с объ емами Па и пв. Если сравнение дисперсий 5л и с помощью Р-критерия показывает, что они значимо не отличаются друг от друга, закономерна постановка вопроса о том, значимо ли различие выборочных средних ха и Хв. Если выборочные средние отличаются лишь в силу случайного разброса, обе выборки можно считать принадлежащими одной генеральной совокупности. Это открывает возможность уточнения оценки математического ожидания и стандартного отклонения, поскольку число степеней сво- боды объединенной выборки больше, чем у обеих выборок А и В. Значимое различие выборочных средних свидетельствует о нали- [c.107]

Модель считается адекватной объекту, если различие оценок дисперсий аппроксимации к воспроизводимости случайно, т.е., если выборки данных, по которык они рассчитываются, ыож1 о рассматривать как взятые из генеральных совокупностей с равными дисперсиями. Обозначюл дисперсию первой генеральной совокугшости а второй - . Тогда проверка адекватности модели сводится к [c.24]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология