Фазовая плоскость и фазовые траектории

Очевидно, фазовая траектория и реальная физическая траектория, описываемая движущимися телами, — совершенно различные понятия. Графически мы можем представить фазовую траекторию только для систем с одной степенью свободы, когда фазовое пространство двумерно (плоскость pq). Так, фазовая траектория частицы, движущейся прямолинейно и равномерно вдоль оси х (рх = onst), имеет вид, изображенный на рис. 5. [c.35]

Положение равновесия называется седлом. Вид фазовой плоскости в окрестности седла показан на рис. 1-3. Существуют четыре особые фазовые траектории, называемые сепаратрисами седла, по двум из которых изображающая точка приближается к положению равновесия, по двум другим — удаляется от него. На рис. 1-3 сепаратрисы проведены жирными линиями. [c.31]

В зависимости от вида этих членов положение равновесия может быть сложным фокусом (устойчивым или неустойчивым) или центром. Вид фазовой плоскости в окрестности сложного фокуса таков же, как на рис. 8.14, б. Центр - это изолированное положение равновесия, окруженное континуумом вложенных друг в друга замкнутых фазовых траекторий (рис. 8.14, г) каждая из этих траекторий соответствует периодическому движению. [c.234]

Второй случай. Один из корней характеристического уравнения действительный, а два других — комплексные сопряженные числа, причем знак их действительной части совпадает со знаком действительного корня положение равновесия называется фокусом (рис. 1-7). Через положение равновесия проходит поверхность, расположение фазовых траекторий на которой такое же, как в окрестности фокуса на фазовой плоскости двумерных систем. О прочих фазовых траекториях можно сказать следующее две из них, расположенные по разные стороны от вышеупомянутой поверхности, стремятся к положению равновесия с определенной общей касательной, все остальные являются спиралями. [c.35]

ТОЧКИ пересечения плоскости фазовой траекторией (причем фиксируются только точки, в которых траектории пересекают плоскость в одном направлении, в данном случае, сверху вниз). [c.53]

Отметим сразу, что математически устойчивые колебания в системе на фазовой плоскости изображаются траекторией предельного цикла, который был рассмотрен в лекции 2 (см. рис. 2.12) на примере колебаний в цикле гликолиза (см. рис. 2.13). Проблема состоит в том, чтобы с [c.59]

Исключая переменную из уравнений (VИ,149), получим уравнение траектории процесса на фазовой плоскости в виде [c.347]

Постоянная интегрирования в уравнении (VII,424) находится из условия, что траектория, определяемая этим уравнением, проходит через заданную точку (х[°>, х >) фазовой плоскости. В результате получим [c.388]

Уравнение (VI 1,426) характеризует па фазовой плоскости траекторию, проходящую через произвольную точку с координатами х<°) и в том числе и траекторию, проходящую через конечную точку, координаты которой заданы условиями (VII,414). Поэтому, подставляя значения координат конечной точки траектории из условий (VII,414) в выражение (VII,427), получим уравнение траектории, [c.388]

Иа рис. УП-24 приведена траектория процесса на фазовой плоскости при оптимальном переходном процессе для ступенчатого изменения отбора из емкости 1 на величину На рис. /П-25 показаны также соответствующие кривые изменения во времеии всех переменных процесса. [c.392]

Решение этого уравнения определяет интегральные кривые, т. е. такие кривые на фазовой плоскости, наклон касательных в каждой точке которых задается уравнением (1,35). Каждая из фазовых траекторий системы (1,33) является интегральной кривой уравнения (I, 35) или по крайней мере ее частью. [c.27]

Первый случай. Все корни характеристического уравнения (1,44) действительны и имеют один знак положение равновесия называется узлом (рис. 1-6). Через положение равновесия проходит некоторая поверхность, расположение фазовых траекторий на которой таково же, как в окрестности узла на фазовой плоскости двумерных систем. Все остальные фазовые траектории приближаются к положению равновесия (или удаляются от него) и имеют в точке, соответствующей положению равновесия, одну и ту же касательную. [c.34]

В этом случае положение равновесия называется седлом (рис. 1-8). Через положение равновесия проходит поверхность, называемая сепаратрисной- расположение фазовых траекторий на этой поверхности такое же, как в окрестности узла на фазовой плоскости двумерных систем. Две фазовые траектории, ле- [c.36]

Полученное соотношение представляет собой уравнение устойчивого двумерного интегрального многообразия, к которому неограниченно приближаются при т—> оо фазовые траектории исходной системы (11,51). Как видно из уравнения (И 1,60), интегральное многообразие представляет собой плоскость, параллельную оси Z. Будем называть ее плоскостью G = 0. [c.102]

Понизив таким образом порядок исследуемой системы на единицу, найдем, какой вид будет иметь система дифференциальных уравнений, описывающая поведение фазовых траекторий па плоскости G = 0. Запишем эту систему гак [c.102]

Особые траектории разделяют всю фазовую плоскость на отдельные области — ячейки, заполненные неособыми траекториями, характер поведения которых одинаков. Каждая ячейка грубой динамической системы содержит элемент притяжения— устойчивый узел (фокус) или устойчивый предельный цикл, к которому стремятся все фазовые траектории, заключенные в данной ячейке. Иными словами, каждая ячейка является областью притяжения или областью устойчивости в большом (в общем случае частью такой области) для какого-либо положения равновесия или предельного цикла. [c.122]

Выяснив, на какие ячейки разделена фазовая плоскость системы и как эти ячейки расположены относительно друг друга, мы можем считать известным ее фазовый портрет. При этом для того, чтобы выяснить характер поведения фазовых траекторий, полезно, а иногда необходимо, узнать, как они ведут себя при неограниченно увеличивающихся значениях х у. [c.122]

В некоторых случаях характер поведения фазовых траекторий в удаленных частях фазовой плоскости можно определить и без отображения на сферу Пуанкаре, например путем построения цикла без контакта, внутри которого находятся все положения равновесия исследуемой системы. Циклом без контакта (как об этом уже говорилось в главе И1) называется замкнутая кривая, на которой не лежит ни одно положение равновесия и которая обладает тем свойством, что вектор фазовой скорости во всех ее точках направлен либо наружу, либо внутрь области, ограниченной этой кривой. [c.125]

В некоторых случаях для построения фазового портрета системы достаточно знать, какова ее устойчивость в малом и каков характер поведения фазовых траекторий в удаленных частях фазовой плоскости. Рассмотрим подобные случаи, встречающиеся при исследовании моделей неизотермических реакторов. [c.125]

Рис. IV-2, а представляет собой фазовый портрет реактора для области I плоскости параметров г/о, р, т. е. при р> 1. Он показывает, что фазовые траектории, соответствующие любым начальным условиям, уходят в бесконечность реактор абсолютно неустойчив, и все происходящие в нем процессы заканчиваются тепловым взрывом. Таким образом, прямая р = 1 в плоскости параметров г/о, Р (см. рис. HI-8) является границей теплового взрыва. [c.127]

Для нее поведение фазовых траекторий вдали от положений равновесия можно выяснить, не прибегая к отображению на сферу Пуанкаре, так как на фазовой плоскости этой системы можно построить прямоугольник без контакта, охватывающий все положения равновесия . [c.128]

Штриховкой на рис. 1У-4 показана часть области притяжения положения равновесия А, содержащаяся в прямоугольнике без контакта. Если возмущения привели к уходу системы из стационарного режима, соответствующего точке Л, но изображающая точка осталась в области, расположенной под сепаратрисами, входящими в седло (сепаратрисы проведены на рисунке жирными линиями), то все фазовые траектории стремятся к положению равновесия А. Часть же фазовой плоскости, расположенная выше сепаратрис, входящих в седло, является областью притяжения положения равновесия В. [c.130]

Поскольку все фазовые траектории входят внутрь прямоугольника без контакта, то при существовании единственного устойчивого положения равновесия (область / плоскости параметров Уа, Л о, рис. Ш-24) фазовый портрет изучаемой модели аналогичен фазовому портрету реактора полунепрерывного действия, изображенному на рис. 1У-3. При наличии же седла и двух устойчивых положений равновесия (область 3 плоскости Уй, -Го, рис. П1-24) фазовый портрет исследуемой модели может иметь вид, показанный на рис. 1У-4. [c.132]

Кроме неустановившихся процессов и устойчивых стационарных состояний в динамических системах может осуществляться периодическое изменение величин, характеризующих состояние системы, т. е. незатухающие колебания этих величин. На фазовой плоскости периодическому процессу соответствует движение изображающей точки по замкнутой траектории. [c.133]

Как было показано А, А. Андроновым , математическим образом автоколебаний на фазовой плоскости являются предельные циклы — изолированные замкнутые фазовые траектории, к которым изнутри и снаружи приближаются фазовые траектории, имеющие форму спиралей. Такие предельные циклы называются устойчивыми. На рис. 1У-7 изображен устойчивый предельный цикл, охватывающий неустойчивое положение равновесия типа фокуса. [c.134]

Неустойчивые предельные циклы, так же как и другие особые фазовые траектории, участвуют в разделении фазовой плоскости на области притяжения того или иного устойчивого положения равновесия или устойчивого предельного цикла. Например, в случае, показанном на рис. 1У-8, неустойчивый предельный цикл является границей области притяжения устойчивого положения равновесия (на р сунке эта область заштрихована). [c.135]

Существует ряд критериев, позволяющих установить наличие и в некоторых случаях местоположение предельных циклов, если известно поведение фазовых траекторий в удаленных частях фазовой плоскости. Приведем следующий критерий. [c.136]

Эта функция не является положительно определенной на всей фазовой плоскости. Еслн V h—минимальная величина т]) на кривой К( , ii) = 0, то замкнутый контур К( , ri) = = Ушан будет ограничивать наибольшую область неустойчивости, соответствующую данной функции Ляпунова. Эта область изображена на рнс. V-1 вместе с кривой 1]) = О и одной из фазовых траекторий. [c.171]

Решение задачи о наличии предельных циклов в исследуемой системе иногда может привести к значительным трудностям. Однако предельный цикл всегда можно определить построением фазовых траекторий в соо-гветствующей области фазовой плоскости. Фазовая траектория в виде расходящейся от особой точки спирали будет стремиться к устойчивому предельному циклу изнутри, а с наружной стороны к нему будет приближаться фазовая траектория в виде навивающейся спирали (рис. 6.10, а). При неустойчивом предельном цикле фазовые траектории сматываются с него как с внутренней стороны, так и с наружной (рис. 6.10, б). Такой предельный цикл, как любое неустойчивое движение, не может существовать в реальной системе. [c.183]

Рассмотрение фазового портрета показывает, что на большей части плоскости фазовые траектории направлены навстречу друг другу, однако на оси х существует континиум положений равновесий, при котором может произойти зависание системы. Для устранения этого необходимо каким-либо образом повернуть линию переключения, чтобы обеспечить движение изображающей точки вдоль линии переключения к началу координат. Этого можно достигнуть, если по мере приближения к оси х координата X по абсолютной величине будет уменьшаться. [c.374]

И 1 фазовой плоскости неременных Ху и Хо область конечных состояний изобра-жао.тс прямой линией ,/ 2, проходящей через начало координат (рис. VИ-I1, а). Траектории процесса для управления постоянного знака имеют вид парабол, обра-Н1,епных выпуклостью вниз для положительного управления (рпс. VИ-l 1, б) и вверх ---для отрицательного (рис. VИ-ll, в). Направление движения по траекториям показано на рнс. VИ-ll стрелками. [c.347]

Для того чтобы получить изображение траектории процесса па фазовой плоскости переменных и Ха, можно исключить из уравпе-пий (VII,421) переменную , что дает искомое уравнение траектории в виде зависимости -= Хг (х,). Однако при этом прош,е найти урав-псппе траектории интегрированием дифференциального уравнения [c.388]

Из уравнения (VII,4116) при этом следует, что при и > О величииа Ху возрастает. Таким образом, движение по траектории, описываемой уравнением (VII,430), происходит в панравлении увеличе-1П1Я значения х , т. е. в направлении, указанном стрелкой иа рис. VI1-19 для кривой 1. Следовательно, в конечное состояние (VII,414) при движении под действием управления (VII,429) процесс может перейти только при движении по левой ветви параболы, определяемой иа фазовой плоскости уравнением (VII,430). [c.389]

Очевидно, что дли. побой точки фазовой плоскости (.Г), х.,), удо-влстворяюц ен условию (VII,435), всегда найдется траектория, про-ходя1.цая через точку ( 1, х. ), двигаясь по которой иод действием уп[)авлепия п можно попасть на ветвь 1 липни переключения. [c.390]

Таким образом, для того чтобы выяснить, каково поведение фазовых траекторий на бесконечности, нужно исследовать особые точки на экваторе сферы Пуанкаре. После этого для получения полного представления о характере фазового портрета системы рассматривают ортогональную проекцию одного из полушарий сферы Пуанкаре, обычно нижнего (южного) полушария, на плоскость, касаюшуюся южного полюса, т. е. рассматривают расположение фазовых траекторий в круге Пуанкаре. [c.124]

Простейшая математическая модель автономной системы, приводяидая к периодическим процессам, — это гармонический осциллятор. Фазовая плоскость гармонического осциллятора подобна фазовой плоскости, изображенной на рис. 1-4, и содержит континуум вложенных друг в друга замкнутых фазовых траекторий. [c.133]

Если в некоторой односвязной области фазовой плоскости выражение дР/дх + dQjdy не меняет знака, то в этой области не существует замкнутых фазовых траекторий. [c.136]

В заключение остановимся на вопросе о том, при каких условиях фазовая плоскость реакторов непрерывного действия не содержит предельных циклов, т. е. в соответствующих системах не могут возникнуть автоколебания. Воспользуемся изложенными в главе 111 результатами исследования автотермического реактора непрерывного действия, т. е. реактора, в котором отсутствует теплопередача через стенку. Система уравнений, описывающая поведение автотермического реактора, получается из (IV, 8) при X = ц, т. е. X = iijX = 1. Как было показано в главе III, положения равновесия этой системы расположены на интегральной прямой. Так как фазовые траектории не могут пересекаться, то отсюда следует, что фазовая плоскость автотермического реактора не может содержать предельных циклов [c.153]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология