Устойчивость системы разностных уравнений

УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ [c.148]

После аппроксимации дифференциальной задачи следует говорить уже об устойчивости системы разностных уравнений. Это условие цели- [c.89]

Из анализа устойчивости разностной схемы для линеаризованной системы гиперболических уравнений для двумерного стационарного сверхзвукового течения следует, что на шаг по координате х должно быть наложено ограничение [c.285]

Для решения системы уравнений Сен-Венана разработаны как строгие, так и приближенные методы [106, 47], которые реализуются на ЭВМ. Процедура выбора разностных схем и сеток, оценка устойчивости и сходимости схем, назначение порядка решения системы в настоящее время разработаны достаточно подробно и описаны в специальной литературе. Проблема корректной постановки задачи расчета неустановившегося движения в речном русле в настоящее время есть проблема наиболее точного определения сопротивления при нестационарном течении. Записывая уравнение Сен-Венана в виде [c.268]

Метод прогонки для решения разностных уравнений. Нетрудно видеть, что при использовании абсолютно устойчивых схем на каждом шаге возникает проблема решения системы линейных алгебраических уравнений. Использование специальных свойств матриц этих систем привело к созданию эффективных методов решения (типа прогонки). Рассмотрим сначала систему уравнений [c.250]

Полученные системы разностных уравнений испытывались тестовым методом. В результате получено необходимое условие для устойчивости этих разностных схем. На рис. 2.2 приведена блок-схема алгоритма решения системы уравнений (2.29) — (2.32) на ЭВМ. [c.163]

Для любой схемы должен решаться вопрос о ее сходимости. Разностная схема называется сходящейся при стремлении h ж х к нулю, если решения системы разностных уравнений при этом стремятся к точному решению дифференциального уравнения. Вопросы сходимости и устойчивости являются центральными при выборе той или иной конечно-разностной аппроксимации дифференциальных уравнений. Мы не имеем возможности останавливаться на этих проблемах и отсылаем читателя к соответствующим математическим руководствам. [c.46]

Между этими двумя категориями сеточных задач существует глубокая разница. Если для неявных схем задача сводится к решению системы алгебраических уравнений, то в случае явных решение сеточной задачи осуществляется по шагам в направлении оси I. Если в нервом случае на сегодня основным вопросом является вопрос фактического решения системы конечно-разностных уравнений, то для явного случая, наоборот, фактическое решение сеточной задачи не представляет труда, но зато вопросы сходимости и устойчивости разностных схем являются фундаментальными. [c.70]

Исследуя устойчивость модели (см. рис. 3.20) с помощью системы дифференциально-разностных уравнений и используя классический метод Эйлера — Лагранжа, авторы получили условие сплошности композита, связывающее модули упругости арматуры и полимера [55, 63] [c.137]

Для решения системы дифференциальных уравнений используются конечно-разностные подходы, причем эти уравнения предварительно модифицируются с помощью специальной процедуры, что обеспечивает более тесную их связь и повышенную устойчивость численных схем. При решении конечно-разностных матричных уравнений может использоваться либо метод прямого исключения диагональных членов, либо итерационный метод Гаусса-Зейделя с верхней релаксацией. [c.570]

Есть и другая важная причина, заставляющая принять указанное предположение. При рассмотрении температуры, каждого из слоев условие устойчивости явной разностной схемы для температур становится очень жестким, ибо шаг по вертикали, равный толщине слоя, слишком мал по Сравнению с шагом разностной сетки по простиранию пласта. Поэтому условие теплообмена между слоями приходится записывать в неявной форме, а это приводит к необходимости (для каждого узла сетки) решения системы уравнений для определения температуры слоев. При большом числе слоев их температуры приходится хранить в различных зонах внешней памяти ЭВМ, что приводит к значительным потерям машинного времени. [c.190]

Второй приближенный способ составления разностных уравнений, также приводимый Биком, требует несколько более сложного способа решения, но зато позволяет брать более длинные интервалы. Установлено, что приближенное выражение осевой производной при помощи центральной разности может быть использовано, если радиальные производные приближать при помощи соответствующих средних разностей, вычисленных по новому и предшествующему профилю (одному или нескольким). Для вычисления (ra+U o профиля соответствующая средняя величина, используемая для радиальной производной, должна иметь одинаковую долю в (п+1)-ом и п — 1)-ом профилях, а остаток — в и-ом. Ошибка приближения здесь мала, так как система симметрична относительно п-го профиля, в котором дифференциальное уравнение подвергалось упрощению. Если доли в профилях (л + 1) и п— 1) больше Д, а в п-ом соответственно меньше Д, то такая разностная схема устойчива при любой длине интервала ". [c.194]

При реализации алгоритма использованы конечно-разностные методы применена безытерационная безусловно-устойчивая разностная схема, имеющая второй порядок точности по обеим координатам. В работе подробно описан метод решения системы конечно-разностных уравнений с переменным шагом по обеим координатам. [c.88]

Во вторую группу входят конечно-разностные методы. Численная устойчивость позволяет применять эти методы к сложным системам, которые включают уравнение Пуассона вместо условия электронейтральности. Френч [108] рассмотрел две модификации этого метода. Первая сводилась к многократному решению системы линейных уравнений, а во второй, разработанной для уменьшения программных сложностей, использовался метод последовательных приближений. Брумлеве и Бак [109, 110] предложили достаточно универсальный алгоритм, развитый далее в работах [111-113], пригодный как для стационарных, так и для нестационарных процессов и учитывающий уравнение Пуассона. Заметим, что при малых токах в большинстве случаев учет уравнения Пуассона не имеет смысла, так как в этом случае уже на расстояниях порядка дебаевской длины Lp электронейтральность выполняется с большой точностью, а распределение потенциала и концентраций в пограничных двойных слоях является квазиравновесным [25, 104, 105] и хорошо описывается аналитическими формулами [24, 25]. [c.281]

В работе приводится описание и обоснование одного из вариантов схемы расщепления разностного оператора для системы двумерных уравнений двухфазной многокомпонентной фильтрации, позволяющей свести решение исходной задачи к последовательности двух одномерных задач. Получен критерий аппроксимации и петодом локального гармонического анализа доказана устойчивость схемы. [c.139]

Пойколшу ограничение на шаг й., получено для линеаризованной системы уравнений, то в случае онисанной разностной схемы для системы уравнений (7) значения hx и hxi уменьшаютсяр путем ум]ножения на некоторый коэффициент е < 1, обычно называемый коэффициентом запаса устойчивости. [c.286]

При расчете течений с неравновесными физико-химическими превращениями необходимо вдоль линий тока или траекторий частиц численно интегрировать уравнения, описывающие исследуемый неравновесный релаксационный процесс, например, уравнения (1.21), (1.34), (1.96). Кинетические, или релаксационные уравнения, описывающие этот процесс, вблизи равновесия являются, как правило, уравнениями с малым параметром при старшей производной, что усложняет их численное интегрирование. К числу таких релаксационных уравнений относятся уравнения сохранения массы химическо компоненты, уравнения для определения колебательной энергии, уравнения для определения скоростей и температур частиц в двухфазных потоках, уравнеР1ия переноса излучения и т. д. Особенность неравновесных течений в соплах состоит в том, что они начинаются из состояния покоя, где система близка к термодинамическому равновесию. В тех же областях, где система близка к равновесию и время релаксации, а, следовательно, и длина релаксационной зоны малы, возникают значительные трудности с выбором шага интегрирования. При использовании для численного интегрирования явных разностных схем типа метода Эйлера или Рунге-Кутта шаг интегрирования для проведения устойчивого счета должен быть настолько мал, что расчет становится практически невозможным даже при использовании современных вычислительных машин. [c.61]

Исследуем устойчивость разностной модели на примере системы уравнений (5.31), соответствующей течению однокомпонентной жидкости. Как известно, разностная схема обладает свойством сходимости, если она аппроксимирует исходную задачу и является устойчивой. Причем порядок точности (скорость сходимости) схемы определяется ее порядком аппроксимации [97. [c.520]