Матрицы неприводимых представлений

Смысл соотношений ортогональности состоит в том, что если составить /г-мерные векторы из соответствующих элементов матриц неприводимых представлений, то эти векторы будут ортогональны, т. е. [c.26]

Размерность матриц, представления равна кратности вырождения уровня энергии и числу линейно независимых вырожденных волновых функций. Кроме того, закон преобразования волновых функций под действием преобразований пространства — элементов данной группы симметрии — легко определяется с помощью матриц неприводимых представлений по формуле (2.14). [c.32]

Раньше уже говорилось, что неприводимое представление получается из приводимого нахождением подходящего преобразования подобия. Важным моментом в этом рассмотрении является то, что характер матрицы не меняется при любом преобразовании подобия. Из этого следует, что сумма характеров неприводимых представлений равна характеру первоначального приводимого представления, из которого они были получены. Мы уже видели, что для каждой операции симметрии матрицы неприводимых представлений расположены вдоль диагонали матрицы приводимого представления, и ее характер-это просто сумма диагональных элементов. Когда мы занимаемся приведением представления, простейшим способом является нахождение комбинации неприводимых представлений группы, т.е. суммы их характеров в каждом классе таблицы характеров это даст нам характеры неприводимого представления. [c.218]

Таким образом, видим, что характеры матриц неприводимых представлений образуют системы ортогональных векторов. Так как характер не изменяется преобразованием подобия, то убеждаемся, что два неэквивалентных представления имеют различные системы характеров и что два неприводимых представления с одной и той же системой характеров эквивалентны.- [c.243]

Из уравнения (20) следует, что все возможные скалярные произведения двух различных векторов равны 0. Это означает, что в /г-мерном пространстве все эти векторы ортогональны. Это налагает ограничение на порядок матриц неприводимых представлений, что иллюстрируется следующими соображениями. Число векторов данного представления / есть / , т. е. равно числу элементов одной матрицы. Для того чтобы получить общее число векторов всех неприводимых представлений, мы должны провести суммирование по всем представлениям у. Общее число векторов равно h, так как в Л-мерном пространстве только h векторов могут быть ортогональны. Это выражается следующим уравнением [c.60]

Между характерами матриц неприводимых представлений, как и между матричными элементами, существует целый ряд так называемых соотношений ортогональности. В частности [29, с. 41Г [c.60]

Мы еще не установили явного вида матриц о[[ (/ ) сейчас мы увидим, что, если не считать некоторых особых случаев, они даются матрицами неприводимых представлений 0" (/ ) точечной группы (я), определенной в 3. Действительно, для того, чтобы совокупность матриц В, " [(/ , +т )]. соответствующих элементам (/ , -Ь Тд) группы ( ), была неприводимым представлением этой группы, необходимо, чтобы произведению двух элементов группы З (я), являющемуся также элементом этой группы, соответствовало произведение матриц, соответствующих рассматриваемым элементам группы [c.108]

Рассмотрим все трансляции 1о, для которых ехр[г(я-1о)] = 1, и положим t = to + t тогда матрицы неприводимых представлений, соответствующие элементам (/ , 1 + х ) и (Е, (о) (/ , tг Ь т >) = (/ , + т J), очевидно, равны. Группа (ч), образованная множеством операций ( , 1о) , для которых ехр [г(Я 1о)] = 1, является инвариантной подгруппой группы трансляций Ее можно разложить на- комплексы по группе [c.110]

Все матрицы неприводимого представления группы (я) будут известны, если известны матрицы неприводимого-представления расширенной фактор-группы q) T q). У этой группы более высокий порядок, чем у фактор-группы Э q) . Группу (я)/ (я) можно рассматривать как абстрактную группу, для которой известна таблица умножения. Таблицу характеров этой группы можно вычислить алгебраическими методами, изложенными, например, в работе [89]. [c.110]

На практике в большинстве случаев нужно знать не явный вид матриц неприводимых представлений пространственных групп, а только их характеры. Ниже будет показано, как можно найти эти характеры, если известны характеры допустимых неприводимых представлений группы волнового вектора. [c.112]

В табл. 9.2 указаны полученные по формуле (3.4) выражения для компонент тензоров комбинационного рассеяния, отвечающих активным неприводимым представлениям для 30 кристаллических классов, и матрицы неприводимых представлений из приложения В, 2. На компоненты тензоров комбинационного рассеяния двух классов g i и триклинной системы для активных колебаний Л и не налагается никаких условий. [c.235]

Матрицы неприводимых представлений [c.368]

Выберем 1 в качестве производящей координаты формула (Г.З) и табл. Г.1 с учетом матриц неприводимых представлений группы 4 (табл. 5.1) позволяют вычислить координаты симметрии [c.379]

Возникают случаи, когда получают наборы матриц размерности 4X4 или более высокого ранга, но исследование всех этих матриц показывает, что их всегда можно разбить на блоки простых матриц, которые связаны с пятью представлениями табл. 111-4. Эти пять наборов матриц имеют, таким образом, особое значение, и их называют неприводимыми представлениями. Принято описывать группу таблицей, в которой приведены характеры матриц неприводимых представлений. Характер матрицы равен сумме диагональных элементов. Таблицы характеров для группы С45 с элементами симметрии Е, , Сг, и оа приведены вместе сана- [c.74]

Характеры матриц неприводимых представлений обладают некоторыми особыми свойствами. Здесь они будут рассмотрены лишь [c.75]

Характер операции симметрии Я в представлении Гг Размерность матрицы / неприводимого представления Элемент т-й строки и и-го столбца матрицы й представления Г/ [c.75]

Во всех случаях применения теории групп к интересующим нас вопросам вполне достаточно пользоваться не самими матрицами неприводимых представлений, а их характерами. Как известно, характер (или след) матрицы равен сумме ее диагональных членов [c.50]

Матрицы неприводимого представления т, с Л = О группы [1] (е = ехр(21 73)) [c.36]

Таблица 4.4. Матрицы неприводимых представлений группы перестановок 5з

Здесь 01 1 1, 01 1 2 определенные формулами (4.8.18) (4.8.19) собственные спиновые функции, относящиеся к значениям S 1/2, S 1 2. Сравнивая формулу (6.1.12) с табл. 4.4 содержащей матрицы неприводимых представлений группы перестановок Sg, замечаем, что целесообразно ввести два оператора проектирования [c.144]

В качестве входной информации для небольшого числа электронов могут быть заданы численно матричные элементы неприводимых представлений, отвечащие всем перестановкам данной группы. При большом числе электронов целесообразно численно задавать лишь матричные элементы транспозиций вида так как любая перестановка может быть представлена как произведение таких транспозиций. Это существенно сокращает объем необходимой численной информации, так как число всех перестановок группы равно N1, а число транспозиций указанного вида (Н -1). Информация о матрицах неприводимых представлений группы перестановок может быть задана полностью алгоритмически, так как элементы матриц для транспозиций с последовательными индексами могут быть вычислены по простым правилам Шга и Яманути [ 12 ]. [c.185]

Если мы, однако, возьмем систему координат (которые не являются обязательно нормальными координатами), преобразующихся при воздействии операциями симметрии группы, к которой принадлежит молекула, тем путем, как это показывают матрицы неприводимых представлений, то все перекрестные произведения вида Q Qy, где и принадлежат к различным неприводимым представлениям, будут равны нулю. Этот выбор координат значительно упростит, таким образом, решение уравнения (2.55). Мы вкратце вернемся к этому пункту немного поздней, но сначала нам нужно вывести правила отбора для различных возможных колебательных состояний многоатомных молекул. [c.367]

Задачу можно упростить, если учесть следующее обстоятельство, относящееся ко всем пространственным группам, как симморфным, так и несимморфным. Мы знаем, что элемент (7 ,1 + тн) можно рассматривать как произведение Е,Хп) Я,Гн) трансляции решетки ( , 1 ) на операцию (/ , Тн). Матрицу, соответствующую элементу ( , 1 + Тд) в данном неприводимом представлении группы волнового вектора 9 ц), можно рассматривать как произведение матрицы неприводимого представления элемента Е, 1 ) группы (я) ) на некоторую другую, искомую матрицу. [c.110]

В центре зоны Бриллюэна (точка Г) группа СкИзоморф л группе Сб , звезда состоит из одного вектора, которому соответствует столько различных неприводимых представлений Г,-, сколько их имеется в группе четыре одномерных (Гь Г2, Гз, Г4) и два двумерных (А, Г ). Трансляциям в представлениях А соответствуют единичные матрицы, операциям точечной группы С — матрицы, совпадающие с соответствующими матрицами неприводимых представлений группы Се . Тождественное представление пространственной группы Г. соответствует к=0 (тождественное представление группы трансляций) п тождественному представлению группы Се -. [c.66]