Представления элементов группы матрицами неприводимые

Размерность и вид матриц-представлений зависят от выбора базиса. Совокупность элементов базиса, члены которой преобразуются в функции элементов только этой совокупности может сама быть базисом представления. Процесс разложения базиса на базисы меньшей размерности называется приведением. Приведение заканчивается, если полученные базисы не поддаются дальнейшему приведению тогда они называются неприводимыми. Этим неприводимым базисам соответствуют неприводимые представления (НП) группы симметрии. [c.113]

Раньше уже говорилось, что неприводимое представление получается из приводимого нахождением подходящего преобразования подобия. Важным моментом в этом рассмотрении является то, что характер матрицы не меняется при любом преобразовании подобия. Из этого следует, что сумма характеров неприводимых представлений равна характеру первоначального приводимого представления, из которого они были получены. Мы уже видели, что для каждой операции симметрии матрицы неприводимых представлений расположены вдоль диагонали матрицы приводимого представления, и ее характер-это просто сумма диагональных элементов. Когда мы занимаемся приведением представления, простейшим способом является нахождение комбинации неприводимых представлений группы, т.е. суммы их характеров в каждом классе таблицы характеров это даст нам характеры неприводимого представления. [c.218]

Размерность матриц, представления равна кратности вырождения уровня энергии и числу линейно независимых вырожденных волновых функций. Кроме того, закон преобразования волновых функций под действием преобразований пространства — элементов данной группы симметрии — легко определяется с помощью матриц неприводимых представлений по формуле (2.14). [c.32]

Таким же образом можно убедиться, что совокупность матриц А( г), найденная по методу (19,4) для всех элементов группы Г, образует представление группы Г, соответствующее уровню энергии Еп. Размерность этого представления равна кратности вырождения уровня Еп- При этом принято говорить, что система собственных функций образует базис для соответствующего представления группы Г. Представление A g), создаваемое собственными функциями, соответствующими одному уровню энергии, обязательно является неприводимым. В противном случае совокупность собственных функций а зпа, соответствующих одному значению Еп, можно было бы разбить на две или более частей, таких, что каждая из функций одной части выражалась бы линейной комбинацией типа (19,4) для всех элементов группы только через функции, относящиеся к данной части собственных функций. [c.86]

Представления, которые мы здесь рассматриваем, как говорят, осуществляются совокупностями собственных функций, они играют роль базисных векторов в выражении (9) и следующих формулах. Надо отметить, однако, что представления не обязательно всегда должны быть точными, т. е. матрицы, сопоставляемые разным элементам группы, не обязательно должны быть различные в данном представлении. Так, например, совокупности р- и -орби-талей осуществляют соответственно 3- и 5-мерные представления группы вращений вокруг осей, проходящих через начало координат, но любая одна 5-орбиталь осуществляет одномерное представление, в котором одна и та же единичная матрица 1 сопоставляется любому вращению (любое вращение оставляет -орбиталь без изменения, т. е. просто умножает ее на 1). Любая точечная группа всегда обладает таким тривиальным тождественным или полностью симметричным представлением наряду с другими неэквивалентными неприводимыми представлениями, такими, например, как те, что осуществляются р- или -орбиталями в рассмотренных выше при- [c.352]

Из изложенного следует, что все необходимые сведения о свойствах симметрии определенной группы симметрии содержатся в наборах матриц, образующих неприводимые представления этой группы. Однако эту информацию можно представить в еще более сжатой форме. Определим характер элемента Т рассматриваемой группы, которому соответствует матричное представление как след этой матрицы [см. (4.127)] [c.128]

Необходимо подчеркнуть, что эти функции должны быть нормированы (это указывается двойной вертикальной чертой при записи скалярного произведения). Допустим, что функция ф/ входит в базис неприводимого представления Г) группы С, которому соответствует матрица (ГеС), а функция ф/ входит в базис неприводимого представления Гз, которому соответствует матрица (7еС). Когда оба неприводимых представления совпадают, мы будем считать, что они полностью идентичны, а не только эквивалентны. В более широком смысле будем считать функции идентичными и тогда, когда они по-разному нормированы (поскольку в данный момент нас интересуют лишь их свойства симметрии). Выражение (6.59) представляет собой скалярное произведение (число), поэтому действие оператора преобразования симметрии Т на матричный элемент Му не изменяет его значения с использованием (6.49) можно записать [c.134]

Характерами представления называются следы матриц, образующих данное представление (гл. 1, 12). Характер обычно обозначают символом %(Я), где — элемент группы. Для неприводимого представления П ) характер, отвечающий элементу Я, обозначается через уУ ЦЯ) . [c.348]

Напомним, что g, — это элемент группы О. Если порядок этой группы т, то индекс I пробегает значения от I до т. Группа А имеет тот же порядок т, т. е. число матриц типа An(gi) равно т независимо от размерности представления п. Совокупность матриц Аш(дг) (их т) образует группу, совокупность матриц A 2(gг) также и т. д. Таким образом, приводимое представление разбивается на совокупность -(сумму) неприводимых представлений. Можно доказать, что такое разбиение единственно. Группы, образующие неприводимые представления, обозначают Ти. где к — номер неприводимого представления. Среди неприводимых представлений группы всегда имеется одно тривиальное, образуемое одной функцией базиса, инвариантной по отношению ка всем преобразованиям группы. Это одномерное представление называется единичным и обозначается Гь [c.78]

Каждому элементу симметрии точечной группы можно сопоставить матрицу, выбранную таким образом, чтобы операции между отдельными матрицами удовлетворяли требованиям (6.3) — (6.6) и, следовательно, соответствовали операциям симметрии. Набор матриц для всех операций симметрии образует представление группы Г. Существует бесконечно большое число таких наборов, связанных друг с другом эквивалентными преобразованиями (приводимые представления). Особое значение имеют неприводимые представления, к которым относятся такие матричные представления, которые не приводятся эквивалентным преобразованием к блок-даагональ-ному виду. [c.189]

Большая теорема ортогональности Вигнера служит отправной точкой для большинства приложений теории групп в химии. Если / —некоторая операция симметрии (или элемент симметрии) группы О, имеющей порядок ц, и если — матрица этой операции в неприводимом представлении Г, обладающем размерностью и а элемент этой матрицы, то большая теорема ортогональности Вигнера утверждает, что [c.273]

Если дана группа 3 порядка g и два неприводимых представления и П") этой группы с размерностями 1т и 1п, то элементы — унитарные матрицы, составляющие представления, связаны между собой соотнощениями [c.347]

Общее число координат симметрии равно общему числу естественных координат, а для определения числа координат симметрии данного неприводимого представления, т. е. для подсчета числа нормальных колебаний каждого типа симметрии, необходимо знать свойства приводимых и неприводимых представлений. Это так называемые характеры представлений, т. е. суммы диагональных элементов (следы) матриц преобразований координат. В теории групп выводится следующая формула [c.200]

Мы еще не установили явного вида матриц о[[ (/ ) сейчас мы увидим, что, если не считать некоторых особых случаев, они даются матрицами неприводимых представлений 0" (/ ) точечной группы (я), определенной в 3. Действительно, для того, чтобы совокупность матриц В, " [(/ , +т )]. соответствующих элементам (/ , -Ь Тд) группы ( ), была неприводимым представлением этой группы, необходимо, чтобы произведению двух элементов группы З (я), являющемуся также элементом этой группы, соответствовало произведение матриц, соответствующих рассматриваемым элементам группы [c.108]

Возникают случаи, когда получают наборы матриц размерности 4X4 или более высокого ранга, но исследование всех этих матриц показывает, что их всегда можно разбить на блоки простых матриц, которые связаны с пятью представлениями табл. 111-4. Эти пять наборов матриц имеют, таким образом, особое значение, и их называют неприводимыми представлениями. Принято описывать группу таблицей, в которой приведены характеры матриц неприводимых представлений. Характер матрицы равен сумме диагональных элементов. Таблицы характеров для группы С45 с элементами симметрии Е, , Сг, и оа приведены вместе сана- [c.74]

Начнем с изучения влияния октаэдрического поля на полное представление, для которого базис образует совокупность -волновых функций. Чтобы получить это полное представление, необходимо найти элементы матриц, которые выражают результат действия каждой из операций симметрии группы на наш базис из -орбиталей. Характеры этих матриц содержат представление, которое мы ищем. Поскольку все -орби-тали четны, т. е. симметричны по отнощению к операции инверсии, в результате операции инверсии никакой новой информации получить не удастся. Таким образом, мы можем иметь дело с более простой чисто вращательной подгруппой О, а не О . Если вы хотите убедиться в этом сами, то вспомните, что в любой группе, включающей г (например, или Сзй), соответствующая группа вращений (например, или Сз) имеет то же самое неприводимое представление для двойных произведений, за исключением нижних индексов и и д в первой группе. Напомним, что -волновые функции состоят из радиальной, спиновой и угловой (0 и ф) компонент. Радиальной компонентой мы пренебрегаем в силу ее ненаправленного характера, поскольку она не меняется при любых операциях симметрии. Кроме того, мы примем, что спиновая компонента не зависит от орбитальной и в данной ситуации пренебрежем первой. Угол 0 определяется относительно главной оси, например оси вращения, поэтому он не меняется при любом вращении и им также можно пренебречь. Меняется только ф эта составляющая волновой функции выражается как е"" . (Для -орбиталей = 2, а т, принимает значения 2, 1, О, — 1, —2.) Для того чтобы определить влияние поворота [c.75]

Рассмотрим все трансляции 1о, для которых ехр[г(я-1о)] = 1, и положим t = to + t тогда матрицы неприводимых представлений, соответствующие элементам (/ , 1 + х ) и (Е, (о) (/ , tг Ь т >) = (/ , + т J), очевидно, равны. Группа (ч), образованная множеством операций ( , 1о) , для которых ехр [г(Я 1о)] = 1, является инвариантной подгруппой группы трансляций Ее можно разложить на- комплексы по группе [c.110]

Набор матриц R, связанных с элементами группы есть представление (представление вектора) группы которое может быть либо приводимым, либо неприводимым. Левая часть равенства (2.4) не зависит от поворота R если усреднить правую часть этого равенства по g операциям группы, взяв сумму по операциям R и разделив на g, то в силу теоремы об ортогональности представлений (приложение Б, 3) среднее значение будет отлично от нуля лишь в том случае, если представление [c.228]

При решении некоторых задач полезно знать матрицы, соответствующие операциям конечной группы в данном неприводимом представлении. В одномерных неприводимых представлениях матрицами являются матрицы вида 1 X 1> т. е. такие матрицы совпадают со своими характерами. Среди 32 точечных групп встречаются неприводимые представления, размерности которых равны двум или трем. Мы знаем, что неприводимое представление полностью определено, если известны матрицы, отвечающие производящим элементам группы в самом деле, соответствующая группа матриц должна удовлетворять той же самой таблице умножения, что и элементы группы. Следует сразу же заметить, что совокупность матриц представления не является единственной совокупность матриц, которая получается из первоначальной путем одного и того же преобразования подобия (эквивалентные матрицы), также образует эквивалентное представление, в принципе ничем не отличающееся от исходного. В табл. В.9 приведены матрицы, соответствующие производящим элементам 32 точечных групп. Мы выбрали для них действительные значения, сгруппировав пары комплексно-сопряженных представлений (объединенных фигурными [c.368]

Все сказанное выше можно резюмировать следующим образом. Данной молекуле с некоторой группой симметрии А,В, С,. .. можно сопоставить наборы симметричных функций фь фг,. .., ф , которые каждой операцией симметрии из этой группы переводятся в линейные комбинации этих же функций и которые осуществляют некоторое неприводимое представление, обозначаемое Ё) . Вместо того чтобы применять простое матричное обозначение Н для обозначения матриц, сопоставляемых элементам группы Н в представлении ) , и выписывать повернутые функции, определяемые матричным уравнением (17), в виде [c.353]

Мы не будем здесь излагать, как такая задача решается, отсылая интересующихся этим вопросом к книгам [2, 9]. В своем изложении мы только дадим описание структуры неприводимых представлений пространственных групп и их связи с представлениями группы Т, что, по нашему мнению, вполне достаточно для понимания смысла обозначений, используемых при классификации состояний кристаллических твердых тел. Пусть неприводимое представление О группы Ф известно и имеет размерность Матрицы В (/ а), соответствующие элементам подгруппы трансляций, образуют приводимое представление этой подгруппы. Предположим, что это приводимое представление при разложении на неприводимые содержит представления группы трансляций с номерами к),. .., к,-, которых соответствуют базисные блоховские функции. ....т) [c.62]

Матрицы йтих преобразований, составленные из коэффициентов Сц, и образуют искомое представление. Зная эти коэффициенты, можно определить характеры представления — суммы диагональных элементов каждой матрицы, и затем по формулам, приведенным выше, найти разложение этого представления на неприводимые представления группы Он. Типы неприводимых представлений, содержащихся в приводимых, и являются теми искомыми типами симметрии, к которым должны принадлежать комбинации Ф из волновых функций лигандов, участвующих в образовании молекулярной 0-орбитали. [c.261]

Здесь - представители разложения. Смежные классы а, = Я группы С образуют фактор-группу С//= С/Я, построенную на ядре гомоморфизма Я представления/З". Каждому элементу Д/ ставим в соответствие матрицу D"(g ) и получаем, таким образом, неприводимое представление В" группы Ся. Очевидно, что если полином Р(...,. ..) инвариантен относительно группы Ся [c.85]

Поскольку представление, соответствующее единичному элементу группы, изображается диагональной eAHHH4Hqn матрицей, то характер этого представления всегда равен размерности представления. Характеры эквивалентных представлений, т. е. представлений, отличающихся преобразованием подобия (Д, 2), совпадают. Характеры неприводимых неэквивалентных представлений взаимно ортогональны [c.691]

Все необходимые сведения о свойствах определенной группы симметрии содержатся в наборах матриц, образующих неприводимые представления группы. Эту информацию можно представить в наиболее сжатой форме, вводя определение характеров. элементов [c.189]

Наше дальнейшее рассмотрение будет основываться на определенном соотношении между матричными элементами неприводимых представлений. В выражении (6.44) вР . , — матричный элемент -го неприводимого представления, который расположен на пересечении я-й строки и v-гo столбца матрицы отвечающей операции симметрии 3 группы симметрии С. [c.127]

Часто, приводя последовательно какое-либо пред-> ставление, матрицы которого имеют высокую размерность, например, 6, 7 и т. п., мы можем прийти к трехмерным, двумерным и даже к одномерным матрицам (т. е. к числам), работать с которыми значительно проще, чем с матрицами- мастодонтами . Но дело не только в удобстве. Изучение неприводимых представлений (сокращенно — НИ) показало, что они обладают рядом свойств, делающих их важными для приложений в физике и в химии. К тому же число НП для всех групп симметрии с конечным числом элементов конечно. [c.32]

Можно найти линейные комбинации коэффициентов Pa ((0> i) которые преобразовались бы по неприводимому представлению данной группы, т. е. найти преобразование подобия, которое разлагало бы представление, даваемое матрицей (i a , еп), на неприводимые представления. Но нас больше интересует вопрос о том, как найти отдельные элементы Paai i),n), которые образуют тензор, связанный с активным>-колебанием. Для этого мы воспользуемся непосредственно соотношением (3.4) и матрицами D( )(A) из приложения В, 2, [c.235]

В качестве входной информации для небольшого числа электронов могут быть заданы численно матричные элементы неприводимых представлений, отвечащие всем перестановкам данной группы. При большом числе электронов целесообразно численно задавать лишь матричные элементы транспозиций вида так как любая перестановка может быть представлена как произведение таких транспозиций. Это существенно сокращает объем необходимой численной информации, так как число всех перестановок группы равно N1, а число транспозиций указанного вида (Н -1). Информация о матрицах неприводимых представлений группы перестановок может быть задана полностью алгоритмически, так как элементы матриц для транспозиций с последовательными индексами могут быть вычислены по простым правилам Шга и Яманути [ 12 ]. [c.185]

Неприводимое представление — такое представление группы, для которого не существует никакого алгебраического преобразования, способного привести к новым представлениям группы с матрицами, имеющими меньшую размерность (стр. 31, 32). Рперация симметрии — такая операция, кото- рая после ее применения к какому-либо предмету приводит к новой его ориентации в пространстве, неотличимой от исходной и совмещаемой с ней (стр. 6, 7). Представление группы — любое множество квадратных матриц, поставленных в соответствие элементам группы и подчиняющихся таблице умножения группы (стр. 30), Приводимое представление — такое представление группы, из которого можно путем алгебраического преобразования получить новые представления с матрицами цень-шей размерности (стр. 32). [c.121]

Ограничимся рассмотрением только тех представлений пространственных групп, которые получаются из представлений фактор-группы, так как оказывается (см. П.4), что только эти представления содержат колебания, активные в ИК- и КР-спектрах. Представления пространственной группы, выведенные из представления фактор-группы, получаются, если отнести каждый элемент смежного класса [уравнение (40) ] той же самой матрице, т. е. матрице, которая соответствует элементу 7 , в неприводимом представлении фактор-группы. Существует другой подход к этой проблеме. Одна из теорем теории групп гласит, что матрицы представления группы, соответствующие элементам подгруппы, всегда образуют представление подгруппы (не обязательно неприводимое). Группа трансляций есть подгруппа пространственной группы, поэтому мы можем приме 1ить эту теорему к представлениям пространственной группы, выведенным из фактор-группы. Все представления группы трансляций, полученные таким образом, идентичны и равны полносимметричному представлению Г (табл. 8). Это представление соответствует величине х = 0. Этот вопрос упрощается при рассмотрении одномерного случая. [c.71]

Задачу можно упростить, если учесть следующее обстоятельство, относящееся ко всем пространственным группам, как симморфным, так и несимморфным. Мы знаем, что элемент (7 ,1 + тн) можно рассматривать как произведение Е,Хп) Я,Гн) трансляции решетки ( , 1 ) на операцию (/ , Тн). Матрицу, соответствующую элементу ( , 1 + Тд) в данном неприводимом представлении группы волнового вектора 9 ц), можно рассматривать как произведение матрицы неприводимого представления элемента Е, 1 ) группы (я) ) на некоторую другую, искомую матрицу. [c.110]

Матрица гамильтониана в базисе функций (а = 1, 2,..., М), преобразующихся по неприводимым представлениям группы симметрии системы, имеет блочно-диагональный вид. Какова при этом будет структура матрицы интегралов перекрывания 8 с элементами <х )Хр> [c.230]

Согласно теории групп все молекулы делятся на группы симметрии в зависимости от наличия у них элементов симметрии, например осей, вращение вокруг которых на угол 2я1п (п— Целое число) переводит молекулу в эквивалентное положение плоскостей, отражение в которых дает тот же результат центра симметрии, инверсия в котором (операция, при которой точка с координатами х, у, z переходит в точку с координатами —X, —у, —z) дает тот же результат. Группы симметрии характеризуются так называемыми неприводимыми представлениями (НП) — наборами матриц, показывающих, как преобразуются функции при операциях симметрии, и характерами НП — суммами диагональных элементов матрицы. [c.43]

Очевидно, двузначные представления группы вращения, которые становятся приводимыми в полях более низкой симметрии, могут быть разложены только на двузначные же неприводимые представления. В то же время все представления кубической, тетрагональной и других дискретных групп симметрии однозначны. Формализм, позволяющий обойти это затруднение, был предложен в 1929 г. Бете в его классической работе по расщеплению атомных термов в кристаллах [4]. Бете ввел новый элемент симметрии, Я, соответствующий повороту на 2п. Все элементы группы умножаются на Я. В результате возникают новые классы (для всех элементов, кроме вращений на я) и соответственно увеличивается число представлений. Новые представления являются двузначными. Для них характеры матриц, соответствующие классам симметрии, которые отличаются множителем Я, имеют разные знаки. [c.59]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология