Комбинации операций симметрии — точечные группы

КОМБИНАЦИИ ОПЕРАЦИЙ СИММЕТРИИ —ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ [c.414]

Совокупность операций симметрии и нх сочетаний, свойственных данной системе, определяет принадлежность ее к определенной точечной группе симметрии. Точечные группы симметрии можно определить и по совокупности и комбинации элементов симметрии. Классификация групп симметрии кристаллов была разработана Е. С. Федоровым (1890). Классификация групп симметрии молекул построена на аналогичной основе. [c.85]

Все перечисленные операции симметрии оставляют хотя бы одну точку в пространстве без изменения. Комбинацию операций симметрии, при которой по крайней мере одна точка остается без изменения, называют точечной группой. Число возможных точечных групп ограничено. Любая молекула должна относиться к какой-либо одной из этих точечных групп. Все точечные группы делят на три основных типа I) группы низшей симметрии содержат только оси второго порядка и плоскости симметрии 2) группы средней симметрии содержат одну ось не ниже третьего порядка 3) группы высшей симметрии содержат несколько осей не ниже третьего порядка. Каждая точечная группа имеет свой вполне определенный набор элементов и операций [c.18]

Для неплоской симметричной молекулы типа ХУз точечная группа будет Здесь имеется ось симметрии третьего порядка Сз и три ( вертикальные ) плоскости симметрии проходящие через эту ось. Из-за наличия оси третьего порядка существует один дважды вырожденный тип симметрии , который в некоторых отношениях подобен типу П линейных молекул. При выполнении операции симметрии Сз волновая функция ф не просто остается без изменения или меняет знак, а переходит в другую функцию. Однако все функции, полученные различными операциями симметрии, могут быть представлены в виде линейной комбинации двух функций иными словами, имеет место двухкратное вырождение. Два других типа симметрии точечной группы не вырождены, их свойства симметрии (характеры), как и для типа Е, показаны в табл. 14. Для вырожденных, типов симметрии характеры являются суммами диагональных членов в матрице, описывающей преобразования, которые соответствуют операциям симметрии. [c.121]

Совокупность кристаллографически одинаковых граней (т. е. совмещающихся друг с другом при операциях симметрии данной группы) образует т. наз. простую форму К. Всего существует 47 простых форм К., но в каждом классе могут реализоваться лишь нек-рые из них. К. может быть огранен гранями одной простой формы (рис. 5, а), ио чаще комбинацией этих форм (рис. 5,6). Огранка каждого К. подчиняется описывающей его точечной группе симметрии при равномерном развитии кристаллич. многогранника, когда ои имеет идеальную форму (рис. 6). [c.538]

Если, помимо вертикальных осей вращения порядка п, С , молекула имеет еще плоскость симметрии, перпендикулярную к этой оси, называемую (горизонтальная плоскость), но не имеет вертикальных плоскостей симметрии, она относится к классу точечных групп С /,. Можно легко показать, что, если п является четным числом, молекула должна иметь еще центр симметрии, причем инверсия в этом центре является добавочной операцией симметрии, обозначаемой i. Примером молекулы, принадлежащей к точечной группе является молекула торакс-1,2-дихлорэти-лена. Возможны, конечно, и более сложные комбинации операций симметрии и другие типы точечных групп, например D , , где имеются п осей второго порядка, перпендикулярных к главной оси порядка п, — точечная группа, к которой относится правильный тетраэдр. Од— точечная группа, к которой относится правильный октаэдр, и другие. Познакомиться с точечными группами нетрудно, и это необходимо для настоящего понимания колебательных спектров многоатомных молекул. [c.288]

Все разрешенные комбинации точечной и пространственной симметрии, которой обладает мотив, приводят к 230 пространственным группам. Удобно ввести понятие асимметричной единицы. Это наименьшая единица, из которой с помощью операций симметрии, присущих пространственной группе, можно получить всю кристаллическую структуру. Асимметричная единица может состоять из нескольких молекул, из одной молекулы или из субъединицы олигомерной молекулы. Кристалл порождается в результате созда- [c.352]

Под симметрией какого-либо предмета понимается вся совокупность имеющихся у него элементов симметрии. Элементам симметрии соответствуют операции симметрии, переводящие предмет са.м в себя. Возможные комбинации операций симметрии, оставляющи.х без изменения хотя бы одну точку (в частности, центр масс), называются точечными группами симметрии. Существуют следующие элементы и операции симметрии. [c.191]

Нормальные колебания можно сгруппировать в классы или типы симметрии, согласно их поведения при применении различных операций симметрии. Не все комбинации операций симметрии и антисимметрии возможны, так как эти операции взаимосвязаны присутствие одних элементов подразумевает присутствие других. Для ознакомления с этим вопросом, включающим рассмотрение вырожденных колебаний, читатель может обратиться к работам по инфракрасным спектрам простых молекул, например [65]. В случае простых молекул элементы симметрии образуют точечную группу (все центры, плоскости и оси симметрии проходят через одну точку). Типы симметрии нормальных колебаний для различных групп пред- [c.55]

Комбинация операций симметрии, при которой по крайней мере одна точка пространства остается без изменений, называется точечной группой. Примеры наиболее важных точечных групп приведены в табл. 5. [c.182]

Кристалл состоит из упорядоченной совокупности атомов или молекул. Если, например, в молекулярном кристалле произвольно выбрать отдельную молекулу, то все остальные молекулы в кристалле будут, как правило, связаны с ней по симметрии или операцией точечной группы (аналогичной тем, которые были описаны в гл. 7), операцией трансляции, или при помощи комбинации их обеих. Однако можно представить себе кристалл состоящим из фундаментальных строительных блоков (элементарных ячеек), таких, что весь кристалл можно рассматривать как созданный из этих элементарных ячеек, причем элементарные ячейки связаны между собой только чистыми трансляциями. Удобно представлять эти трансляции трехмерной сеткой такого типа, как на рис. 10.1. [c.216]

Для описания отношений симметрии между внешними гранями кристаллов применимы только кристаллографические операции типа пип. Последние могут быть объединены в 32 кристаллографические точечные группы симметрии, известные как классы кристаллов. Внутреннее периодическое расположение атомов в кристаллической структуре требует применения векторов параллельного переноса, которые также могут сочетаться с осями вращения и плоскостями симметрии, как обсуждалось выше. Включение сложных операций симметрии, таких, как винтовые оси и плоскости скольжения, приводит к 230 пространственным группам симметрии, разрешенным для комбинаций элементов симметрии в элементарной ячейке. Они приведены в Международных таблицах кристаллографии [11.2-1]. В этом контексте интересно отметить, что примерно 75% всех органических и металлоорганических соединений образуют кристаллы, принадлежащие всего к 5 пространственным группам, а 12 пространственных групп симметрии, все принадлежащие к триклинным, моноклинным и орторомбическим кристаллическим системам, охватывают 87% таких соединений. Все эти пространственные группы симметрии допускают достаточно хорошую плотную упаковку органических молекул, которые, как правило, имеют низкую симметрию. [c.395]

Применение формулы (13.18). позволяет упростить построение линейных комбинаций базисных функций в тех случаях, когда изучаемая система обладает некоторой симметрией.. В качестве примера рассмотрим снова я-электронную систему бутадиена. Молекула бутадиена имеет точечную группу симметрии С.2Н, однако мы воспользуемся лишь ее подгруппой С2, которая включает операции, обменивающие местами базисные функции. (Вместо этого можно точно так же воспользоваться подгруппой С , но нельзя использовать подгруппу 5, поскольку она не обменивает местами базисные функции.) В табл. 13.2 указаны ха- [c.275]

Произведение любых двух операций, входящих в группу, или квадрат какой-либо операции должны представлять собой также операцию, входящую в данную группу. По условию ось высшего порядка принимается за ось г. В данном случае точечной группы Сгг, такой осью является Сг, а три атома молекулы воды определяют плоскость уг, являющуюся плоскостью отражения о. Перемножение двух операций означает последовательное применение этих операций симметрии. Таким образом, произведение С у а = о. Вместо термина произведение для этой операции можно использовать более точный термин комбинация . Возведение всех операций симметрии в квадрат и рас- [c.128]

Все элементы симметрии, описывающие внешнюю форму кристалла (или молекулы), являются операциями, переводящими одни точки пространства в другие. Имеется 32 точечные группы, состоящие из комбинаций следующих элементов симметрии, описывающих внешнюю фор.му кристалла. [c.47]

Следующим шагом является преобразование этого выражения (и соответствующего выражения для кинетической энергии) к координатам симметрии. Это может быть сделано при помощи таких линейных комбинаций внутренних координат, которые согласуются по свойствам симметрии и числу с рассмотренной выше классификацией нормальных колебаний. Например, мы видели, что имеется два нормальных колебания класса А д, которые характеризуются тем, что они симметричны по отношению ко всем операциям симметрии точечной группы Оф. Соответствующинш координатами симметрии являются [c.304]

Пространственные группы были описаны в предыдущий разделах, где было показано, что порядок трехмернох конечной пространственной группы (при выполнении граничных условий Борна) равен NlN2NзH, где Н — порядок фактор-группы. Вообще говоря, любая операция симметрии пространственной группы представляет собой комбинацию элементов трансляционной и точечной симметрии. Поэтому представление пространственной группы состоит из матриц, которые являются произведениями матричных представлений группы трансляций и точечной группы (положение несколько усложняется, если пространственная группа содержит винтовые повороты и зеркальные отражения) [25, 26]. Представления пространственной группы могут быть одномерныАШ, а могут иметь более высокий порядок, вплоть до Я. Уинстон и Халфорд [37] показали, что след [c.111]

Совокупность всех симметрич. операций фигуры образует группу (в матем. смысле). Это означает, в частности, что последоват. выполнение двух симметрич. операцпц якпнва-лентно третьей, также входящей в данную совокупность. При выполнении любой из перечисленных симметрич. операций по крайней мере одна точка фигуры остается неподвижной. Поэтому группы, составленные из таких симметрич. операций, наз. точечными. Каждая точечная группа представляет собой определ. замкнутый набор операций, к-рому соответствует определ. комбинация элементов симметрии. Молекула в зависимости от ее пространств, строения характеризуется одной из точечных групп. [c.527]

Операции симметрии кристалла относятся к трем типам операции точечных групп, трансляции и комбинации этих двух тИ пов, такие, как винтовое вращение (вращение с последующей трансляцией). Набор таких операций определяет пространствен ную группу кристалла. Обозначения, принятые в гл. 7 для точечных групп, называют обозначениями Шенфлиса. Для простраь-ственных групп кристаллографы обычно пользуются другой системой обозначений, называемой символикой Германа — Могена или международной символикой. Она представляет собой последовательность символов, определяющих операцни. Так, символ 2/т определяет группу с осью вращения второго порядка и зеркальной плоскостью, перпендикулярной ей. Записывают лишь [c.217]

В рамках теории валентных связей волновые функции реагентов и продуктов и 1 ) являются локализованными двухцентровыми одноэлектронными орбиталями связей. В наших целях можно использовать даже октетную теорию химической связи Льюиса при условии, что ее структурные формулы адекватно описывают рассматриваемую систему (следует, однако, проводить различие между а- и я-компснентами двойных связей). Из орбиталей связей, преобразующихся друг в друга операциями симметрии, необходимо сконструировать линейные комбинации, отвечающие неприводимым представлениям точечной группы симметрии системы. Соответствующие неприводимые представления полностью эквивалентны представлениям, по которым преобразуются занятые молекулярные орбитали, полученные при молекулярно-орбитальном описании системы. После того как построены такие симметризованные функции, правила отбора для реакций, найденные с их помощью, оказываются совершенно аналогичным описанным выше. Во многих случаях формализм метода валентных связей имеет определенные преимущества по сравнению с методом молекулярных орбиталей, поскольку получить из орбиталей связей правильно симметризованные комбинации часто легче, чем установить симметрию занятых молекулярных орбиталей. [c.389]

Элементарный пример подсчета числа изомеров в случае нежесткого скелета — результаты, полученные для циклогексана [569, 570]. Наиболее стабильная структура этой молекулы имеет симметрию (рис. 4). Если в теореме Пойа использовать группу перестановок, соответствующую точечной группе симметрии то мы получим результаты, противоречащие экспериментальным данным [569, 570]. В то же время эмпирически установлено, что правильное число изомеров может быть получено [569, 570], если рассматривать плоскую структуру. молекулы (проекцию Хеуор-та), несмотря на то, что при этом игнорируется реальная структура циклогексана. Для плоской структуры подсчет изомеров проводится в рамках точечной группы симметрии Dвй Объяснение этому факту дали Леонард с сотр. [569]. Точечная группа не учитывает операции, отвечающие нежесткости молекулярного скелета циклогексана. Было показано [569], что адекватное описание симметрии циклогексана достигается введением нового элемента симметрии (обозначим его который представляет собой комбинацию вращения вокруг оси шестого порядка со скачкообразным переходом из одной формы кресла в другую. Операция [c.145]

Тридцать две кристаллографические точечные группы можно теперь объединить с четырнадцатью решетками Браве в комбинации, называемые пространственными группами. Они аналогичны плоским группам предыдущего раздела. Однако там мы видели, что при комбинации операций трансляции и отражения в плоскости возникает новая операция симметрии — плоскость скольжения. В трехмерном пространстве тоже имеется такая добавочная комбиниро- [c.194]

Для кристаллов к возможным для молекул операциям симметрии (простым и зеркальным поворотам) добавляготся трансляции ta Появление трансляций, с одной стороны, расширяет точечную группу симметрии С до пространственной группы Ф = ТаО, содержащей как преобразования, входящие в точечные группы, так и не встречающиеся для молекул трансляции и их комбинации с операциями точечных групп. С другой стороны, не любые точечные группы из рассмотренных 45 оказываются совместными с группой трансляций Та, так что точечная симметрия кристаллов может описываться-лишь одной из 32 так называемых криста,ллографических точечных групп. В следующих параграфах мы обсудим группы симметрии кристаллов (федоровские пространственные группы Ф) и их неприводимые представления. [c.20]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология