Группа трансляций

А. ОПИСАНИЕ РЕШЕТКИ КРИСТАЛЛА 1. Группа трансляций — решетка кристалла [c.6]

Всего существует 17 классов симметрии односторонних плоских сеток (см., например, [2]). Они изображены на рис. 8-21 аналогично иллюстрации семи классов симметрии, присущих бордюрам (см. рис. 8-9). Приведены также наиболее важные элементы симметрии и координатные обозначения классов симметрии. Первая буква (р или с) в этом обозначении относится к группе трансляций. Следующие три позиции несут информацию о наличии различных элементов симметрии m - плоскость симметрии, 3-плоскость скользящего отражения, 2, 3, 4 или 6-поворотные оси. Цифра 1 или пустое место указывают на отсутствие элемента симметрии. Представления классов симметрии на рис. 8-21 в некотором смысле были навеяны иллюстрациями, содержащимися в книге Элементарная кристаллография Бургера [7]. Наряду с чисто геометрическими конфигурациями на рис, 8-21 представлены 17 венгерских вышитых узоров. Краткое описание их происхождения дано в пояснении к рисункам [8]. [c.377]

Мы определили вектор (1) как основной носитель трансляционной симметрии безграничной кристаллической решетки. Сопоставим теперь переносу на вектор R (п) оператор трансляции Т (п). Совокупность всех возможных операций трансляций с заданными основными векторами а образует дискретную группу трансляций. Поскольку следующие одна за другой операции переноса можно осуществлять в произвольном порядке, группа трансляций коммутативна (или абелева). [c.20]

Собственные значения (16) имеют непосредственное отношение к неприводимым представлениям группы трансляций. Поскольку группа трансляций коммутативна, то всякое ее неприводимое представление одномерно. Такое неприводимое представление т может быть реализовано с помощью набора значений (16), т. е. с помощью формулы [c.21]

Вспомним, что свободное пространство однородно, т. е. инвариантно относительно трансляции на произвольный (в том числе и на бесконечно малый) вектор. Совокупность всех подобных перемещений образует непрерывную группу трансляций. Роль оператора трансляции на бесконечно малый вектор переходит к оператору импульса (говорят, что оператор импульса является генератором [c.21]

Инвариантность механических уравнений относительно преобразований непрерывной группы трансляций порождает вектор импульса р как основную характеристику состояния свободной частицы или волновой вектор к как основную характеристику волнового процесса в вакууме. Векторы р и к в свободном пространстве не ограничены по величине никакими условиями и связаны соотношением де Бройля [c.22]

Однако в основном состоянии кристалла атомы образуют пространственную решетку, симметрия которой ниже исходной симметрии физические характеристики равновесного кристалла инвариантны относительно преобразований дискретной группы трансляций, так как они описываются некоторыми периодическими функциями, отражающими периодичность решетки. Когда симметрия основного состояния системы ниже симметрии соответствующей функции Лагранжа, то говорят, что происходит спонтанное нарушение исходной симметрии. [c.45]

Отмстим еще, как в новой символике записываются преобра зования БФ при операциях из группы трансляций цепочки. Как указывалось, при сдвиге иа период решетки а каждая и-ая БФ [c.52]

Построим такие БФ для каждой из т АО ] = I, 2,. . ., т и будем рассматривать соответствующие БФ как базисные БФ сложной цепочки. При заданном значении вектора к каждая из БФ (2.16) при каждом значении / преобразуется по одному и тому же неприводимому представлению группы трансляций. Поэтому собственные функции гамильтониана цепочки следует искать в форме линейных комбинаций базисных БФ (2.16) вида [c.57]

Дальнейшая классификация представлений группы трансляций может быть сделана с помощью операций фактор-группы. Чтобы показать это, рассмотрим волновую функцию [уравнение (12)], которая описывает основное состояние кристалла. Такая волновая функция, представленная в виде произведения, включает все молекулы кристалла, а операция трансляции просто переставляет молекулы в пределах каждого набора трансляционно эквивалентных молекул, оставляя произведение неизменным. Поэтому фазовым множителем является единица и волновая функция принадлежит к представлению группы трансляций, в котором к = 0. Можно показать, что любая операция фактор-группы также переставляет молекулы и не изменяет волновую функцию, представленную в виде произведения. Волновая функция основного состояния [уравнение (2)] принадлежит к полносимметричному представлению как фактор-группы, так и группы трансляций. С другой стороны, функции ф1р по отдельности не преобразуются согласно представлениям группы трансляций, поскольку трансляция переводит функцию не саму в себя, а в другую функцию этого же набора. При использовании линейных комбинаций вида [c.520]

Ранее было показано, что волновые функции локализованного возбуждения могут быть составлены в соответствии с представлениями группы трансляций, определяемыми одним из ряда разрешенных волновых векторов к, а в особых случаях также в соответствии с представлениями фактор-группы или одной из ее подгрупп. Общей чертой квантовомеханических систем является то, что функции, принадлежащие различным представлениям групп, не взаимодействуют, и, чтобы найти уровни энергии кристалла, можно ограничиться рассмотрением отдельно каждого значения к [c.526]

Эта функция возбужденного состояния была названа локализованным экситоном и представляет возбуждение одного кванта с энергией, распространяющейся на все молекулы, занимающие данный набор трансляционно эквивалентных мест. Примем, что N — число элементарных ячеек в кристалле, г — вектор, конец которого находится в / -й элементарной ячейке, к — волновой вектор. Суммирование ведется по всем молекулам, занимающим пронумерованные места а (где а пробегает от 1 до / — числа эквивалентных мест в элементарной ячейке). Эта функция принадлежит к-му представлению группы трансляций кристаллической ячейки. [c.578]

Конечная группа трансляций N [c.583]

Группа трансляций кристаллической решетки [c.64]

Рассмотрим трехмерную решетку кристалла или одномерную решетку линейной цепной молекулы с определенной повторяющейся единицей. Гипотетическая решетка бесконечных размеров инвариантна относительно трансляции любого из трех основных векторов решетки. (Векторы могут складываться или перемножаться.) Поэтому такие трансляции можно рассматривать как операции симметрии для данной решетки. Все эти операции симметрии (которые оставляют решетку неизменной) образуют группу бесконечного порядка, которая называется группой трансляций решетки. Вообще говоря, любой элемент этой группы есть [c.64]

Прежде чем рассматривать неприводимые представления группы трансляций, введем набор векторов, обратных [c.67]

Таблица характеров одномерной группы трансляций [c.69]

Группа трансляций состоит из элементов [c.70]

Существует 14 решеток Браве (рис. 14), называемых также трансляционными группами (трансляция - операция симметричного преобразования путем параллельного переноса). В примитивных /Р/ решетках все трансляции являются суммой целых трансляций по ребрам элементарной ячейки в центрированных есть также трансляции на половину объемной I, граневой ( А, В, С ) или всех трех граневых диагоналей р, соответственно этому они называются объемно-, базо- и гра-нецентрироваиными. Эти решетки не являются единственно возможными, но все остальные пространственные решетки сводятся к ним. Б случае моноклинной сингонии иногда применяется иная установка, в которой векторы Ь и с взаимно переставлены, тогда угол, отличающийся от 90 , будет обозначаться . [c.59]

Операции симметрии кристалла относятся к трем типам операции точечных групп, трансляции и комбинации этих двух тИ пов, такие, как винтовое вращение (вращение с последующей трансляцией). Набор таких операций определяет пространствен ную группу кристалла. Обозначения, принятые в гл. 7 для точечных групп, называют обозначениями Шенфлиса. Для простраь-ственных групп кристаллографы обычно пользуются другой системой обозначений, называемой символикой Германа — Могена или международной символикой. Она представляет собой последовательность символов, определяющих операцни. Так, символ 2/т определяет группу с осью вращения второго порядка и зеркальной плоскостью, перпендикулярной ей. Записывают лишь [c.217]

Специфический вид собственных функций оператора трансляции (15) и особая роль квазиволнового вектора к как основной характеристики собственного значения оператора трансляции (16) или неприводимого представления группы трансляций (17) заслуживают некоторого качественного анализа. [c.21]

Если система материальных точек совершает гармонические колебания, то ее нормальные колебания преобразуются по неприводимым представлениям группы симметрии системы. В случае идеального кристалла такой группой является группа трансляций. Поскольку представления этой группы одномерны и определяются заданием квазиволнового вектора к (см. введение), можно связать с каждой нормальной модой вектор к, относящийся к неприводимому представлению, по которому преобразуется эта мода. [c.35]

Мы уже вспоминали, что пространство, в котором существует кристалл, однородно. Перемещение из одной точки свободного пространства в другую на произвольный, в том числе и на бесконечно малый, вектор равносильно переходу в эквивалентное состояние. Именно поэтому энергия системы взаимодействующих атомов не изменяется при произвольных трансляциях всей системы. Симметрия, связанная с инвариантностью функции Лагранжа (или функ-цииТамильтона) относительно преобразований непрерывной группы трансляций, присуща любой системе частиц. [c.45]

Элементарной ячейкой рассматриваемой цепочки будет любой отрезок длиной, равной кратчайшему ме катомному расстоянию а (периоду решетки). Соответственно, трансляционная симметрия цепочки заключается в том, что все атомы цепочки совмещаются с другими такими же атомами при любых трансляциях, кратных периоду решетки а, или, что то же, при вращениях на любой угол, кратный 2я/Л (группа симметрии Сд-). Тогда фундаментальная роль трансляционной симметрии вытекает из следующей теоремы собственные функции БФ одноэлектронного гамильтониана цепочки можно выбрать так, чтобы они принадлежа.ти неприводимым представлениям группы трансляций цепочки (i-jiynna (7jv). [c.50]

Формулы (2.6) и (2.7) выразительно подчеркивают теоретико-групповой смысл вектора к, фигурирующего в обозначении (2.5) для БФ. Они показывают, что каягдый к-вектор не просто отмечает соответствующую функцию Блоха, но и указывает неприводимое представление группы трансляций, которому принадлежит данная БФ. [c.53]

Итак, пусть имеется сложная цепочка, состоящая из А элементарных ячеек, на одну ячейку которой приходится т АО, так что в целом у всех атомов цепочки имеется тМ АО. Тогда собственными функциями гамильтониана цепочкп будут линейные комбинации этих тМ АО, принадлежащие неприводимым представлениям группы трансляций и классифицирующиеся по соответствующим значениям вектора к. [c.56]

Очевидно, что совокупность трансляций вдоль вектора эквивалентна группе трансляций цепочки, насчитывающей N1 звеньев п имеющей период а . Соответственно, неприводимые представления группы трансляций кристалла вдоль и группы трансляций цепочки совпадают и, следовательно, при трансляции на БФ кристалла умножаются на ехр 2шп М ), где п- — целое число. Ана- погично при трансляции на вектор БФ кристалла умножаются на ехр (глггеа/Л з), а при трансляции на 83 — па ехр (2тщ/. д). [c.61]

Поскольку приближение ЛКАО в зонной теории является частным случаем общей схемы ЛКАО, все сказанное в разд.1.3.3 о матричных элементах справедливо и для кристаллов. Следует, однако, помнить, что вековое уравнение (2.18) по смыслу пе полностью совпадает с уравнением (1.38) оно написаио не для АО, как уравнение (1.38), а для линейных комбинаций АО, симметризованных по неприводимым представлениям группы трансляций. Поэтому элементы определителя (2.18) не будут кулоиовскими и резонансными интегралами типа (1.49) и (1.53). Одиако учитывая, что базисные БФ (2.17) яв.тя-ются линейными комбинациями АО, их можно выразить через матричные элементы в базисе из АО, т. е. через интегралы (1.49) и (1.53), к которым уже в полной мере относится все сказанное в разд. 1.3.3. [c.67]

Функции, полученные из уравнения с помощью операций фактор-группы, являются функциями подобного же вида, принадлежащими разным местам элементарной ячейки, заданным одним из значений индекса . Линейные комбинации уравнения (19) и его преобразований могут быть составлены так, чтобы они принадлежали представлениям фактор-группы. Пример будет приведен ниже . Даже если вектор к не равен нулю, может, однако, случиться, что он инвариантен по отношению к определенным операциям фактор-группы. Эти операции образуют подгруппу фактор-группы, названную Бокартом и др. [5] группой волнового вектора. Из функций [уравнение (19)], принадлежащих к-му представлению группы трансляций, тоже могут быть составлены такие комбинации, которые обладают свойствами представлений группы волнового вектора. В качестве примера для простого кристалла нафталина и антрацена (Р21/й) уже было показано, что для к = О волновые функции кристалла преобразуются подобно представлениям фактор-группы. Сг/г, приведенным в табл. 1. Существуют два занятых места, пронумерованных 1 и 2, и /2 молекул в каждом наборе молекул, связанных трансляцией. Из операций фактор-группы, приведенных в табл. 1, как вращение, так и отражение переводят набор 1 в набор 2 и наоборот. Инверсия переводит каждый набор сам в себя, а представления фактор-группы должны иметь те же самые характеры ( или и), что и волновые функции молекулы. Прежде чем рассматривать другие операции, следует найти соотношение между системами координат молекул в этих двух местах. Это делается следующим образом. Предположим, что прямоугольная правовинтовая система осей совмещена с осями симметрии молекулы в месте 1 элементарной ячейки при выбранном произвольно положительном направлении. Тогда расположение осей для молекулы в месте 2 будет определяться преобразованием исходных осей с помощью операций 0/1. Теперь преобразование функции при помощи каждой операции симметрии фактор-группы фиксировано, а следовательно. [c.521]

Вековое уравнение (23) составлено из функций, преобразующихся согласно представлен 1ям только группы трансляций, и не учитывает никаких других свойств симметрии. Это дает возможность найти уровни энергии [c.527]

Огромное значение симметрии для предсказания спектров кристаллов обсуждалось рядом автором [44, 54, 102], в частности Уинстоном и Халфордом [108]. Они рассматривают различные математические группы, составленные из операций симметрии кристалла. Пространственной группой является группа всех операций симметрии, включая трансляции паЛ, щ Ь, ПсС) вдоль осей элементарной ячейки. Набор этих трансляций сам образует группу, называемую группой трансляций. Показано, что пространственная группа является произведением группы трансляций и группы, называемой фактор-группой (которая представляет собой набор всех смежных классов группы трансляций). Фактор-группа изоморфна одной из 32 точечных групп, возможных в кристаллах, но в дополнение к чисто точечным операциям может включать и операции, соответствующие винтовым осям или плоскостям скольжения. Фактор-группу часто называют группой элементарной ячейки. Элементарная ячейка определяется как наименьший объем кристалла, который даст всю решетку кристалла, когда на него подействуют элементы группы трансляций (этот объем меньше, чем элементарная кристаллографическая ячейка, в том случае, когда последняя центрирована). [c.583]

Пространственная группа генерируется независимыми операторами сходственной точечной группы, компонентами трансляции действующих операторов и группой трансляций Бравэ. В соответствии с этим правильные системы точек общего положения, свойственные пространственной группе, получаются как правильные системы точек сходственной точечной группы, координаты которых почленно сложены с суммой компонентов Франсляции этих операторов, а результат суммирован с группой Бравэ. При записи суммарных компонент трансляций, свойственных тем или иным операторам, необходимо учитывать, что выбор начала координат влияет на трансляционные компоненты. Только в группах, сохраняющих пучок закрытых элементов симметрии, пересекающихся в одной точке, которая выбрана за начало координат (в так называемых симморфных группах), система точек определяется только природой оператора. Если сумма косых трансляций и открытых элементов симметрии смещает различные составляющие пучка операторов точечной группы в раз- ном направлении па разные расстояния, то группа считается несим-морфной и начало координат выбирают в стороне от действующих операторов (или некоторых из них) в точке максимальной симметрии, оцениваемой величиной симметрии, т. е. разностью кратностей [c.76]

Проявление в ИК-спектрах парных областей симметричных и асимметричных валентных колебаний показывает, что исследуемые нами полифосфатные соединения представляют собой линейные бесконечные цепи, в которых группой трансляции является не РО3-, а P Og-rpynna, и, следовательно, общую формулу, наиболее точно выражающую не только состав, но и строение калиевой соли Курроля, следует писать (KaPaOg) , в отличие от солей метафосфатного состава с кольцеобразным строением анионов [c.153]

Группа трансляций теперь имеет конечный порядок, равный Л/ l V2iVз. Граничные условия можно также интерпретировать, предполагая, что бесконечный воображаемый кристалл состоит из периодически повторяющихся NiN2.Nz единичных ячеек. Для одномерного случая это условие легко можно пояснить следующим образом. В одномерной конечной решетке порядок группы трансляций равен N [c.66]

До сих пор мы рассматривали только трансляционную симметрию решетки. Многие решетки имеют дополнительные элементы симметрии Я, такие, как вращения, отражения, инверсии, винтовые повороты и зеркальные отражения. Пусть решетка имеет Н различных операций симметрии такого типа (включая операцию идентичности Е). Симметрия решетки описывается тогда пространственной группой , операции симметрии которой являются комбинациями истинных трансляций решетки и Я других операций симметрии. Имеется N N2NзH таких комбинаций, возможных для конечной пространственной группы решетки, удовлетворяющей граничным условиям Борна. Поэтому порядок этой пространственной группы равен Л V2iVзЯ, а N N N3 трансляций образуют самосопряженную подгруппу этой пространственной группы. Это положение эквивалентно тому, что любой элемент группы трансляций, [c.68]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология