Неприводимые представления пространственных групп

Рассмотрим звезду, неприводимое представление (т) группы (я), и расположим в столбцовую матрицу X е нормальных координат, описывающих колебания кристалла с одинаковой частотой и, следовательно, образующих базис неприводимого представления пространственной группы. Операция Н, + Тд) может оставлять инвариантными или преобразовывать в эквивалентные векторы некоторое число векторов звезды. Каждая нормальная координата, соответствующая одному из этих векторов, в результате операции симметрии преобразуется в линейную комбинацию нормальных координат этого же волнового вектора. [c.113]

Использование свойств симметрии позволяет существенно упростить анализ электронного строения молекул, включая и анализ молекулярных спектров. Не менее важны и вычислительные аспекты. Положим, чго базисные функции преобразуются по неприводимым представлениям пространственной группы симметрии молекулы, т.е. представляют так называемый симметризованный базис. При вычислении секулярного определителя в симметризованном базисе удается существенно понизить ранг определителя. Построение симметризован-ного базиса может быть выполнено различными способами, в том числе и с использованием операторов проектирования [c.200]

Строгое изложение классификации состояний по неприводимым представлениям пространственной группы можно найти в цитируемой литературе здесь мы ограничимся некоторыми узловыми моментами, необходимыми для дальнейшего. [c.78]

Б. Неприводимые представления пространственных групп [c.519]

Каждый элемент пространственной группы есть произведение элементов фактор-группы и группы трансляций соответственно. Как отмечалось ранее, такое умножение некоммутативно. Поэтому число классов (равное числу неприводимых представлений) пространственной группы не обязательно является произведением числа классов группы трансляций и фактор-группы неприводимое представление пространственной группы не может быть получено простым перемножением представлений группы трансляций и фактор-группы. [c.71]

Правила отбора для обертонов и составных полос можно также рассмотреть в свете правил отбора группы трансляций. Для этого необходим ряд сведений о неприводимых представлениях пространственных групп, которые будут даны ниже. [c.111]

Итак, в результате можно сказать, что неприводимое представление пространственной группы характеризуется [c.112]

На практике в большинстве случаев нужно знать не явный вид матриц неприводимых представлений пространственных групп, а только их характеры. Ниже будет показано, как можно найти эти характеры, если известны характеры допустимых неприводимых представлений группы волнового вектора. [c.112]

Характером ( . д) неприводимого представления пространственной группы, порожденного допустимым представлением (т) группы волнового вектора З (я), будет [c.113]

Все неприводимые представления пространственной группы, необходимые для изучения конкретной проблемы, можно получить путем выбора звезд q и комбинирования каждой из них со всеми допустимыми представлениями (q). [c.114]

Свойства симметрии комплексных, нормальных координат Qr(q) нам известны они определяются неприводимыми представлениями пространственной группы симметрии кристалла (гл. 4, 4). В силу того что Pr(q)= Qr(q), момент i r(q) имеет ту же симметрию, что и Qг(q). Соотношение (2.32) и подобные ему соотношения говорят о том, что операторы Ь% и b- r имеют такие же свойства симметрии, как и нормальная координата Qr(q) Точно так же, заменив q на —q, видим, что операторы и при операциях симметрии преобразуются по закону Рг(—q) = Qp(q). Пусть фо будет функцией вида (2.19), у которой все квантовые числа ицл равны нулю. Она описывает состояние, в котором в кристалле нет фононов — состояние фононного вакуума. Это единственное невырожденное состояние можно предположить, что соответствующая функция фо инвариантна по отношению ко всем операциям пространственной группы симметрии кристалла. Симметрия состояния фонона (я, г), описываемого собственной функцией определяется симметрией Ь г- Таким образом, она оказывается такой же, как симметрия координаты Qr(q). [c.192]

Ковалев О. В., Неприводимые представления пространственных групп, Киев, 1961. [c.406]

Теория неприводимых представлений группы направлений Р позволяет решить ряд задач, возникающих при исследовании комбинационного рассеяния в кристаллах. Однако часто оказывается необходимым использовать представления всей пространственной группы О. Описание неприводимых представлений пространственных групп приведено в ряде работ [86, 280, 346—348]. [c.372]

После того, как найдены неприводимые представления группы тР, входящие в приводимое представление т, для построения неприводимых представлений всей пространственной группы, входящих в Т , следует объединить все представления, относящиеся к одной и той же звезде Щ, в соответствии с известным л етодом [86] построения неприводимых представлений пространственной группы. Каждому главному колебанию кристалла соответствует полученное этим путем неприводимое представление [c.392]

Согласно общей теории (см. 10), матричный элемент (f .),7 некоторой физической величины fx отличен от нуля только при условии, что произведение представлений X X содержит единичное представление. Здесь Г — представление группы симметрии квантовой системы, по которому преобразуется волновая функция г ,- начального состояния. Г — представление, по которому преобразуется волновая функция т 5й конечного состояния (начальное и конечное состояния предполагаются различными), — представление, по котором преобразуется величина />,. В случае комбинационного рассеяния в кристаллах волновые функции i] , преобразуются по неприводимым представлениям пространственной группы кристалла, а величины в приближении теории поляризуемости являются компонентами симметричного тензора поляризуемости Ср,. [c.411]

Согласно одной нз теорем теории групп неприводимое представление фактор-группы является также неприводимым представлением пространственной группы. Существуют неприводимые представления, полностью симметричные относительно одной трансляции, которые, как было уже показано, включают в себя оптически активные колебания группы трансляций. Точечная [c.35]

Для классификации состояний квантовомеханической системы, как отмечалось в 1.1, нужно знать неприводимые представления группы ее симметрии. В случае федоровских пространственных групп симметрии кристаллов Ф неприводимые представления строят в два этапа сначала получают неприводимые представления подгруппы трансляций Г затем, пользуясь известной из теории групп процедурой индуцирования представлений группы представлениями ее подгруппы, строят неприводимые представления группы ф. Подробно этот вопрос рассмотрен, например, в [9]. Нас будет интересовать не столько сама процедура такого построения, сколько его результат — структура и обозначения неприводимых представлений пространственных групп, их связь с состояниями кристалла, использование при расчетах электронной структуры твердых тел. [c.51]

Введенные понятия позволяют перейти к рассмотрению того, как строятся неприводимые представления пространственных групп с помощью неприводимых представлений группы трансляций. [c.61]

НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП. [c.62]

Задача построения неприводимых представлений пространственной группы если известны неприводимые представления ее подгруппы, сводится к подробно рассматриваемой в теории групп математической проблеме отыскания неприводимых представлений группы по неприводимым представлениям ее инвариантной абелевой подгруппы. [c.62]

Обобщим запись МО в форме ЛКАО и на случай молекул произвольной симметрии. Если Г — индекс неприводимого представления пространственной группы симметрии молекулы, а индекс у - номер функщси, преобразующейся по неприводимому представлению Г, то [c.224]

Мы не будем здесь излагать, как такая задача решается, отсылая интересующихся этим вопросом к книгам [2, 9]. В своем изложении мы только дадим описание структуры неприводимых представлений пространственных групп и их связи с представлениями группы Т, что, по нашему мнению, вполне достаточно для понимания смысла обозначений, используемых при классификации состояний кристаллических твердых тел. Пусть неприводимое представление О группы Ф известно и имеет размерность Матрицы В (/ а), соответствующие элементам подгруппы трансляций, образуют приводимое представление этой подгруппы. Предположим, что это приводимое представление при разложении на неприводимые содержит представления группы трансляций с номерами к),. .., к,-, которых соответствуют базисные блоховские функции. ....т) [c.62]

Неприводимые представления пространственной группы 0 , [c.200]

Звезда Неприводимые представления пространственной группы Операции точечной группы 0 Разложение неприводимых представлений пространственной группы по представлениям точечной группы [c.200]

Неприводимые представления пространственных групп. Поскольку в данной книге изучаются фазовые переходы в кристаллах, математический аппарат теории строится на представлениях пространственных групп. Мы предполагаем у читателя общее знакомство с основами теории представлений групп в объеме курса Ландау и Лифшица [2] и приведем в этом параграфе лишь важнейшие сведения из теории представлений пространственных групп, которые понадобятся для дальнейшего изложения. Более детальное изложение теории самих пространственных групп и их представлений читатель может найти-во многих книгах, среди которых мы рекомендуем монографию [28], где используются те же обозначения, что и в данной книге. [c.17]

Задача о разложении произведения представленпй пространственных групп решалась в ряде работ [453— 455], связанных с конкретными физическими применениями. В частности, в [454] была разработана общая методика для разложения произведения двух и трех неприводимых представлений пространственной группы на неприводимые и получены правила отбора в случае кристаллов группы I d для комбинационного рассеяния с участием двух и трех фононов, соответствующих критическим точкам зоны Бриллюэна. Методика основана на построении характеров произведения неприводимых представлений всей пространственной группы на основании характеров малых представлений. Однако общий метод, развитый в [454], довольно громоздкий, и его использование для расчета правил отбора в спектрах комбинационного рассеяния второго порядка не является необходимым. [c.461]

Для обозначения неприводимых представлений пространственных групп в точках и направлениях симметрии зоны Бриллю эна в литературе обычно используют а) символ соответствующей точки или направления (для всех зон Бриллюэна эти символы приведены на рис. 1.12—1.16), который фиксирует звезду волнового вектора б) символы, используемые для неприводи- [c.64]

Число и размерности неприводимых представлений группы Сх, можно определить с помощью теоремы Бернсайда и того обстоятельства, что размерность неприводимого представления пространственной группы равна произведению числа удовлетворяющих уравнению (2.7) при к =0 векторов в звезде на размерность неприводимого представления фактор-группы Фк/Т к. Для симморфных кристаллов и внутренних точек ЗБ в случае несимморфных кристаллов фактор-группы Фк/Г изоморфны кристаллографическим точечным группам. Для несимморфных кристаллов структура группы Оь оказывается более сложной в том случае, если (2.7) выполнено для таких векторов к , для которых фактор-группы ф 7/кне является кристаллографической точечной группой (это возможно только для точек к , лежащих иа поверхности зоны Бриллюэна). [c.116]

В заключение настоящего параграфа, мы хотели бы обратить внимание на следЗ Ющее. Во всех рассмотренных работах, в том числе в монографии Ковалева, авторы, говоря о неприводимых представлениях пространственной группы волнового вектора д, на самом деле, имеют дело с представлениями точечной группы волнового вектора д, т. е. группы [c.19]

Со (( )- Процедура построенрш неприводимых представлений пространственной группы ясно описана в работе Костера 21]. Анализ неприводимых представлений пространственной группы сразу же обнаруживает, что в случае борновской ветви собственных частот мы имеем дело с собственными колебаниями в виде стоячих волн, получающихся из волн, [c.19]

Конструирование термодинамического потенциала. Рассмотрим схему построения потенциалов, когда имеется два параметра (в общем случае многокомпонентных). Допустим, что один из этих параметров микроскопический и его трансформационные свойства описываются неприводимыми представлениями пространственной группы, другой параметр макроскопический и его трансформационные свойства описываются неприводимыми представлениями тбчечной группы. [c.145]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология