Система спиновая собственные функции

Спиновые собственные функции для системы с 5 = 1 [c.246]

Состояние спиновой системы определяется собственными функциями фц, Фц Фр и т. д. оператора Жц- с собственными значениями энергии а, а , р, р и т. д. Полная волновая функция системы [c.76]

Для многоэлектронной системы, однако, довольно трудно построить все линейно независимые спиновые собственные функции [c.83]

Теперь очень легко непосредственно проверить, что если спиновые функции 01 и 0 2 являются спиновыми собственными функциями своих электронных групп с собственными значениями Л11=31 и Л12=52, то произведение этих функций будет спиновой собственной функцией полной системы. Это очевидно для оператора г-компоненты спина, так как [c.89]

Определим вид собственных функций оператора для одного электрона. Таких функций существует две а(т]) и Р(т]). Область изменений выбранного переменного ц = состоит только из двух точек т = и т] = — /2. Если электрон находится в состоянии а(т]), проекция его спинового момента s г равна /2 (в единицах /г/2л), а значение т) = = l/g невозможно. Поэтому функция а(т]) имеет вид (l/g) = 1 и (—Va) = 0. По аналогичным соображениям получим (1/2) = О, а Р(—1/2) = 1. Если спин s частицы равен единице, = = 1,0, —1, необходимо ввести три спин-функции a(i]), Р(т)), -f(Ti). Значения этих функций существуют только в точках т) =1, т] =0 и т] = —1. Так, например, функция a(ri) будет иметь вид а(1) = 1, а(0) = 0 и а(—1) =0. Так определяются спин-функции для одной частицы. Если система состоит из нескольких частиц, спин-функцию всей системы 5(ti) можно представить с достаточной точностью в виде произведения спин-функций, составляющих систему частиц [c.19]

Рассмотрим спиновые функции трехэлектронной системы а) покажите, что функция а (1) а (2) а (3) является собственной функцией оператора и и определите соответствующие собственные значения б) используя понижающий оператор = ( 1 Ч- 2- Ч- 3-), получите все (2 +1) собственные функции для 8 = 2, в) определите функции с 5= /2- [c.29]

Сначала обсудим случай, когда относительный химический сдвиг VqO намного превышает константу спин-спинового взаимодействия. При этом параметр С достигает значений (1/2) (vo6) и выражение sin 2 0 приближается к нулю. Однако поскольку sin 2 0 = 2 sin 0 os 0, то либо sin 0, либо os 0 должны быть равны нулю. Далее, поскольку sin 0 + os 0 = 1, то если sin 0 = 0, тогда os 0 = 1. Собственные функции и собственные значения в этом предельном случае, называемом системой АХ, имеют следующий вид [c.162]

Поскольку коэффициенты с,- преобразуют систему базисных функций ф1 в собственные функции рассматриваемой спиновой системы, то они называются собственными векторами. Для случая АВ-системы они строятся на состояниях (2) и (3) ( os 9, [c.164]

Вне зависимости от порядка спиновой системы диагональные элементы Яп и Hkk всегда представляют собой истинные волновые функции состояний с суммарным спином +1/2 или —1/2, а базисные функции аа. .. а и рр. .. 3 всегда являются собственными функциями этих спиновых состояний. [c.165]

В условиях развитого молекулярного движения ранее единая спиновая новая система образца распадается вследствие ослабления межмолекулярных магнитных диполь-дипольных взаимодействий на спиновые системы отдельных макромолекул или даже на спиновые системы, образуемые внутри макромолекулы отдельными группами близко расположенных спинов, например, протонами групп —СНг— или СНз—. Функция затухания поперечной намагниченности в этом случае будет представлять суперпозицию функций спада для отдельных макромолекулярных или групповых спиновых систем, которые характеризуются собственными функциями спада [c.266]

При построении секулярного детерминанта удобно выбрать базисный набор, который отражает симметрию рассматриваемой системы ровно настолько, насколько это практически обосновано. Это уменьшает число матричных элементов, подлежащих вычислению. В данном случае оптимальный базис должен быть одновременно симметризован в соответствии с группами 8И п), К(3) и К(2) [см. цепочку (17.10)] или для частиц со спином 1/2 в соответствии с группами 81/(2) или Н(3) и К(2). Чрезвычайно простым для использования является базис спин-произведений, в котором каждая одночастичная функция представляет собой собственную функцию операций группы К(2), т. е. 2-компоненты углового момента. (Обозначим соответствующий оператор как Тг.) Для частиц со спином 1/2 такие функции связаны с магнитными спиновыми числами т5 12 и = = —1/2, т. е. являются спиновыми функциями аир. Функции, представляющие собой их простые произведения, не обязательно должны быть собственными функциями операций группы К(3) (т. е. квадрата полного углового момента, которому соответствует оператор Р), но из них легко построить линейные комбинации, являющиеся такими собственными функциями. Для системы из двух эквивалентных частиц со спинами 1/2, как, например, два протона в молекуле Нг, простые произведения спиновых функций таковы [c.356]

Однако известно, что свойства симметрии собственных функций в общем случае не определяют численных значений собственных величин, т. е. одних свойств симметрии функций недостаточно для установления последовательности соответствующих значений Еп при заданной ядерной конфигурации системы. Тем более свойств симметрии функций Ч " недостаточно для решения вопроса о том, будет ли значение En[R, RzK-ъ), соответствующее данной функции иметь минимум как функция R, ... Rak-b для каких-либо значений 1, RsK-e, т. е. будет ли электронное состояние системы, определяющееся функцией Ч ", устойчиво при заданных ее свойствах симметрии по отношению к парным перестановкам электронов (что эквивалентно заданию спиновых состояний электронов). [c.105]

Пусть имеется 1, 2, 3,..., Л-электронов, им отвечает А, В,..., Е полных собственных функций, представляющих произведение орбитальной функции электрона на его собственную спиновую функцию. Пусть координаты и спин первого электрона обозначены через 1, второго через 2 и т. д. Тогда волновую функцию системы можно выразить приближенно произведением одноэлектронных волновых функций [c.202]

Случай сильного поля — эффект Пашена — Бака. Мы рассмотрели случай, в котором зееман-эффект мал по сравнению со спиновым взаимодействием. Рассмотрим теперь другой крайний случай, когда магнитное поле настолько велико или взаимодействие спин-орбита настолько мало, что спиновое расщепление незначительно по сравнению с магнитным расщеплением. В этом случае мы исходим из вырожденной конфигурации п1 системы собственных функций ф пЫ т , в которой диагонально. Магнитная энергия в этом случае равна [c.151]

Каждому из 8 стационарных состояний системы трех спинов соответствует собственная функция 4>.. Нахождение полного набора собственных функций системы, необходимых для вычисления вероятностей переходов и связанных с ними интенсивностей линий в спектре, является одним из последних этапов анализа. Исходный набор волновых функций системы, называемых базисными функциями, комбинируется из спиновых волновых функций отдельных ядер. Каждому ядру соответствуют две такие функции — по числу возможных стационарных состояний. Обозначим а — волновую функцию, соответствующую = + /2, Р — волновую функцию, соответствующую = — /г- Умножая функции аир, получим полный набор [c.163]

Отметим, что эти функции являются теми же спиновыми функциями, которые были записаны для системы трех ядер в гл. 4. Они являются собственными функциями оператора S . Обменные взаимодействия приводят к смешиванию основного состояния о с малой примесью возбужденного 2 и вызывают небольшую отрицательную спиновую поляризацию на ядре водорода. Введение не является необходимым, поскольку она не влияет на распределение спинов. [c.113]

Так как используемые спиновые функции являются собственными функциями оператора 5 , то при вычислении разностей энергий последним членом выражения (37) можно пренебречь, поскольку он приводит только к одинаковому сдвигу всех уровней. Часто к спин-гамильтониану (37) прибавляют член —1/з5(5+ 1) и в результате получают спин-гамильтониан, для которого преобразование вращения системы координат имеет простой вид. Тогда спин-гамильтониан имеет вид [c.352]

Чтобы найти собственные функции системы, необходимо комбинировать функции То и 5. Окончательно волновые спиновые функции стационарных состояний имеют вид [c.225]

Сначала следует вывести соответствующую собственную функцию системы, состоящей из нескольких электронов, для чего целесообразно воспользоваться обобщением метода Гейтлера— Лондона, сделанным Слейтером [21]. Допустим, что имеются п электронов, представленных числами 1, 2, 3,. .., /г, и одинаковое число одноэлектронных орбитальных собственных функций а, Ь, с,. . П-, каждая из этих орбитальных функций с целью образования полной волновой функции электрона будет связана с собственной спиновой функцией а или [3. Рассмотрим совершенно общий случай, для которого собственными функциями будут, например, аа, сЗ,. ..,па пусть электрон 1 занимает орбиту а, электрон 2 —орбиту Ь, электрон 3 — орбиту сит. д. Тогда в соответствии с методом Гейтлера—Лондона возможная собственная функция всей системы выразится как произведение одноэлектронных волновых функций таким образом, [c.144]

Полные собственные функции системы двух электронов. Полная собственная функция электрона должна учитывать его спин. С достаточной степенью точности ее можно представить в виде произведения собственной функции обычных координат, которую иногда называют орбитальной функцией, или орбитой, и собственной функции спина. Орбитальная функция является собственной функцией оператора Гамильтона (оператора энергии). Последний мало зависит от магнитного взаимодействия между спиновым магнитным моментом и орбитальным магнитным моментом, и этим оправдывается представление полной собственной функции в виде произведения двух множителей. Так как собственной функции координат а, зависящей только от квантовых чисел п, I и от , соответствуют две возможных собственных спиновых функции а и р, то полной функцией может являться либо аа, либо ар. [c.64]

Многоэлектронная волновая функция Ч , учитывающая спиновые переменные, строится из спин-орбиталей она должна являться собственной функцией операторов квадрата полного спина системы и его проекции на ось Z [c.11]

Точно так же, как функция-произведение Ф(г1, Га) есть одновременно собственная функция операторов, относящихся к отдельным частям системы, так и спин-орбиталь И ) =Ф ( )л ( ) одновременно. собственная функция оператора Ь и операторов спина [здесь мы ввели переменную х для обозначения пространственных и спиновых переменных, т. е. для обозначения совокупности переменных г (пространственный радиус-вектор) и 5 (спин) ср. с (1.2.5)]. Так, например, если мы интересуемся состояниями с определенным значением проекции спина на ось г, то функции 1 (5), описывающие эти спиновые состояния, будут решениями следующего уравнения [c.22]

Найдите спиновую волновую фУ цию для системы из четырех электронов, из которых гри имеют f а один —о/ =—1/2 с тем, чтобы эта функция была собственной функцией и Sze и S . [c.237]

В общем случае многоэлектронной системы формулы (3.6.6) дают удобный способ построения всех 25+1 спиновых собственных функций данного семейства с фиксированным 5 и М, равным 5, 5—1,.... .., —5 по известной одной такой функции. Так, например, мы можем сосредоточить все внимание на функции 0sлi при М=8. В случае необходимости все другие спиновые функции 0 можно получить из этой функции путем повторного действия оператора З . Практически, однако, этого не нужно делать, так как обычно достаточно рассматривать только функцию с каким-либо одним М, поскольку для бесспинового гамильтониана функции с разными М имеют одну и ту же энергию (для них одинаковы средние значения любого другого бесспинового оператора). В то же время для матричных элементов спиновозависимых операторов существует другой, более простой способ рассмотрения (см. гл. 8). Таким образом. [c.86]

Строгое математическое описание корреляции [28] приводит иногда к неожиданным на первый взгляд результатам. Так, например, в только что рассмотренном примере расчета Гайтлера — Лондона—Уонга молекулы Н 2 функция РП , Гг), как оказывается, всюду равна нулю, что свидетельствует о наличии сильной корреляции, которая запрещает находиться близко друг от друга электронам с одинаково направленными спинами. Всюду/ (гь Гг) = = —1, и отсюда следует, что фермиевская корреляционная дырка точно по форме совпадает с распределением электронной плотности для электронов со спинами вверх Р1 (Г1) она отличается от нее только знаком. В случае двухэлектронной системы такая корреляция характерна для волновой функции, которая является спиновой собственной функцией с квантовыми числами 5=М=0. Очевидно, оба электрона не могут иметь одинаково направленные спины, так как это повело бы к триплетной функции. Поскольку ясно, что произведение Р1 (Г1)Р1(Г2) не равно нулю, то соответствующий корреляционный множитель совершенно необходим получается так, что каждый электрон может иметь ненулевую вероятность для направления спина вверх (или вниз), но корреляционный множитель гарантирует, что оба спина не будут одинаковы в один и тот же момент времени. Точка зрения, в которой спины классически интерпретируются просто как некоторые индексы частиц, была развита в работе [16]. Очевидно, что предстоит еще проделать немалую работу, чтобы стало возможным получить связную физическую картину корреляционных эффектов в молекулах. [c.136]

В трехэлектронной системе имеются два подпространства, соответ-ствующи.х S = /г, т.е. в разложении полного спина на сумму неприводимых моментов момент с весюм 5 = Уг встречается дважды. В многоэлектронной системе число неприводимых моментов с одним и тем же весом возрастает. Найдем число Д5, ЛГ), показывающее, сколько раз в полном спине Л -электронной системы будет встречаться неприводимый момент с весом 5 [18]. Базис для Л -электронной системы образуют всевозможные произведения Л юднозлектронных спиновых функций, каждая из которых есть либо а, либо Число таких базисных функций равно 2 . Рассмотрим одну из базисных функций, среди сомножителей которой функция а встречается р раз, а функция (3 встречается е раз, причем р + д = N. Очевидно, эта функция есть собственная функция 2-про- [c.31]

При наличии той или иной пространственной симметрии с оператором энергии будут коммутировать в дополнении к операторам 8 и 8 ряд других операторов. В этих условиях можно поставить задачу нахождения таких фукнций, которые бы явились собственными функциями всех коммутирующих операторов (см. гл. 3). Здесь сконцентрируем внимание на собственных функциях 8 и 8 . При рассмотрении этой задачи попутно выясним на первый взгляд странное обстоятельство оператор Гамильтона системы не зависит от спиновых переменных, тем не менее энергия многозлектронной системы зависит от полного спина системы 8. [c.63]

Если принять во внимание явный вид дублетных спиновых ( )ункций (1.83) и (1.84) для трехзлектронной системы, то нетрудно убедиться, что каждая из базисных функций в (2.48) является собственной функцией 8 и 8г. В трехзлектронной задаче имеются две линейно независимые дублетные спиновые функции с Ms = Л. с чем и связано появление в (2.48) двух взаимно ортогональных функций и Ф при условии р Ф д Ф 1. Если же два из трех индексов р, ц, I совпадают, то в разложении возникает только один тип детерминантов Фр ,. После некоторых размышлений можно понять и указанную в (2.47) область изменения индексов. [c.69]

Если оцератор Гамильтона не содержит спиновых взаимодействий, волновая функция электронов должна быть собственной функцией оператора спина. Функция (1,13), действительно, такова и соответствует спину, равному нулю. Функция, построенная из разных МО, вообще говоря, не может быть собственной функцией оператора спина, следовательно,, описываемая ею система электронов не характеризуется определенной мультиплетнбстью. Поэтому такая функция не является удовлетворительным решением уравнения Шредингера. Можно показать, что из детерминанта с неодинаковыми МО для разных спинов путем различного распределения спинов по МО можно построить новые детерминанты, линейная комбинация которых будет собственной функцией оператора спина. [c.23]

В квантовой механике атомная система описывается волновыми функциями, которые являются решениями хорошо известного уравнения Шредингера. Для дальнейшего рассмотрения введем собственные функции аир протона, соответствующие состояниям т/ = 12 и пг1 = —112. Свойства этих функций мы детально рассмотрим и опишем в гл. V. Пользуясь этими функциями, можно определить энергию спиновой системы в магнитном поле. А сейчас мы будем использовать их просто для обоз-качения энергетических уровней протона. Состояния а и Р для ядра со спином 1/2 имеют одинаковую энергию, т. е. они вырож- дены. Это вырождение снимается только в однородном магнит- ном поле Во за счет взаимодействия ядерного магнитного мо- мента [X с Во- Если направление Во совпадает с осью г, как на V рис. I. 1,6, то возникает разность энергий двух спиновых со-стояний [c.19]

Тот факт, что мы можем наблюдать спектр ядерного ма нитного резонанса с отдельными разрешенными линиями, п называет, что энергия спиновой системы в магнитном поле ква, туется. Совершенно аналогично индивидуальному спину спин вая система как целое может находиться только в определеннь состояниях, называемых стационарными или собственными с стояниями. Энергия этих состояний, или собственные значени определяются взаимодействием между ядрами и внешним ма нитным полем Во, а также спин-спиновым взаимодействием яд( между собой. Каждое состояние характеризуется волновой, ю собственной, функцией Р. [c.144]

Несимметричное замещение в аминогруппе ведет к тому, что при низкой температуре для двух ароматических протонов наблюдается система АВ, поскольку в результате пространственного взаимодействия с метильной группой одна из нитрогрупп, по всей видимости, располагается в плоскости, перпендикулярной плоскости бензольного кольца. При ускорении вращения метпламиногруппы с повышением температуры эти два протона становятся эквивалентными и спектр АВ вырождается в спектр Аг (рпс. УИ1.5). Полезно обсудить этот пример более детально, поскольку, как уже от.мечалось в разд. 1.4, нн уравнение С /П1.2), ни приближенные методы, выведенные на его основе, нельзя использовать здесь для интерпретации формы линии в спектре ЯМР. Опишем два ядра, как мы это делали в разд. 4.2 гл. V, через произведения функций аа, а 3, 3а и р 3. Тогда обменный процесс переводит состояние а(1) 3(2) в состояние 3(1)а(2). Функции а 3 и 3а теперь являются собственными функциями состояний только тогда, когда нет взаимодействия мен(ду двумя ядрами. Однако это не так, поскольку ядра связаны друг с другом спин-спиновым взаимодействием. Поэтому форму ЛИНИН нужно описывать на основе квантовомеханической теории. Эту процедуру мы не обсуждаем здесь подробно. Заметим только, что даже в этом случае можно получить точное выражение для формы спектра как функции скорости обмена. По нему были рассчитаны теоретические спектры, приведенные на [c.267]

Если не учитывать спин-орбитальное взаимодействие, то функция будет собственной функцией операторов проекции и квадрата полного спинового момента. Иначе говоря, проекция и квадрат полного спинового момента являются интегралами движения системы электронов. Значения этих величин лежат в основе классификации многоэлектронных состояний молекул — молекулярных термов. [c.28]

Причина состоит в том, что в системе с зеемановским и ди-польньш взаимодействием собственные спиновые функции спин-гамильтопиана системы не являются собственными функциями квадрата полного спина 5 , так как оператор энергии (снин-га-мильтопиап) не коммутирует с оператором 5 . Поэтому энергия и спин в одном и том же состоянии не могут быть одновременно строго определенными и сохраняющимися величинами. Другими словами, в определеппом энергетическом состоянии спин может принимать различные значения, и наоборот, один и тот же сипи (например, 5 = 0) может быть представлен в различных энергетических состояниях. Последнее как раз и означает, что синглетная компонента распределена по различным состояниям пары и что аннигиляция происходит из каждого состояния с вероятностью, пропорциональной примеси синглетной компоненты в этом состоянии. Как уже отмечалось. [c.41]

Следует отметить, что волновая функция, полученная при решении уравнений (2.50), являясь собственной функцией спинового оператора с собственным значением 7г (р—я), где р м я — число а- и р-электронов, в то же время описывает смесь различных мультиплетов и не соответствует какому-либо определенному значению полного спина электронной системы, т. е. не является собственной функцией оператора 8 . Для устранения этого недостатка Левдиным [44—46] была предложена процедура, позволяющая выделить из Ч -компоненту нужной мультиплетности с помощью операторов проектирования О [c.56]

Если б велико, то анализ спектра системы А2Х2, например 1,1-дифторэтилена, значительно упрощается, так как многие спиновые функции (34) являются собственными функциями спи- [c.73]

В рамках метода МО для молекулы с четным числом электронов — системы с замкнутой электронной оболочкой — волновую функцию в одноэлектронном приближении можно построить в виде одного слейтеровского детерминанта (1.16), заполняя каждую молекулярную орбиталь ф двумя электронами с нротивополо>1<-ными спинами. Выполнение условия (1.156) обеспечивается выбором спиновых частей спин-орбиталей (1.14) в виде собственных функций (1.13). В том, что для вида (1.16), характеризующей синглетное основное состояние со спином 5 = О, удовлетворяется и ус.ловие (1.15а), можно убедиться, использовав для оператора [c.15]

Пусть момент системы характеризуется квантовым числом / (это может быть орбитальный, спиновый или суммарный момент). Существует 2/ + 1 различных собственных функций с /п = — у, — у + 1. . / — 1. у, отличающихся значениями г-компоненты, но относящихся к одному (2у -(- 1)-кратно вырожденному уровню. При повороте на угол ф волновые функции с данным у и т умножаются на е " , но их квадрат по модулю не меняется. Очевидно, матрицы преобразований этих 2/ + 1 волновых функций (принадлежащих к данному значению у) и будут являться неприводимым представлением группы вращений. С этой точки зрения числа у нумеруют неприводимые представления, а числа 2/ + 1 равны их размерностям. Легко понять, что матрицы эти будут диагональными. Действи- [c.55]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология