Устойчивость инвариантных решений

Устойчивость инвариантных решений [c.131]

О, которое сводится к точке покоя д при 6 = 0. Однако поведение при возмущении может быть соверщенно отличным, если система (22) имеет устойчивое периодическое решение у(() для 5 = 0. Это решение генерирует притягивающий инвариантный цилиндр Mq в ( f - / )-пространстве и (как результат определения последовательных интервалов времени величины Г) притягивающий инвариантный тор Т1. Известно, что при малой величине 5 существует инвариантная поверхность около так как Tq имеет гиперболическую структуру. Однако, когда амплитуда возмущающей функции достаточно большая, инвариантный тор может утратить гладкость и выродиться в странный аттрактор. Это происходит, например, в случае уравнения Ван-дер-Поля с периодической вынуждающей силой. [c.345]

Постановка вопроса об устойчивости автомодельных решений отличается определенным своеобразием. В этом и следующем параграфах намечается и иллюстрируется на нескольких показательных примерах общий подход к исследованию устойчивости инвариантных, и в частности автомодельных, решений. Изложение большой массы накопленных в этой -области конкретных результатов далеко вышло бы за рамки настоящей монографии. [c.131]

Устойчивость решения (7.58) имеет первостепенное значение. Действительно, как уже не раз говорилось, инвариантное решение [c.132]

Это предположение физически означает, что уравнение (2.150) описывает необратимые процессы (или, по крайней мере, процессы, в которых есть необратимая часть), т. е. исключены траектории, которые целиком инвариантны относительно обращения времени. Опуская доказательство существования такого асимптотически устойчивого равновесного решения уравнения (2.150), укажем важнейшее следствие из него. Пусть тривиальное решение уравнения (2.150) асимптотически устойчиво и пусть функция обладает свой- [c.79]

Если полагать, что элементарными актами движения участков цепи при ее деформировании являются вращательные переходы звеньев цепи между соседними устойчивыми положениями, то энергия активации (7 равна величине потенциального барьера вращения и, (табл. 1П3.1), и тогда эти данные могут быть использованы для оценки времени релаксации. Здесь / 10 Гц — частота тепловых колебаний молекул. На практике, однако, температурная зависимость вязкости используется для решения обратной задачи — нахождения энергии активации процесса деформации (или стационарного течения жидкостей). Энергия активации процесса, происходящего в веществе, в том числе его высокоэластической деформации, является общепринятой инвариантной по отношению к температуре характеристикой вещества. При этом обычно обсуждаются отклонения энергии активации от постоянной величины при изменении температуры и причины этого отклонения. Чаще всего причины связаны с изменением структуры вещества при изменении температуры. [c.819]

Уравнение СХ обладает трансляционной и вращательной инвариантностью. При е < О имеется устойчивое решение ад = 0. При критическом значении е = О управляющего параметра это решение становится неустойчивым относительно возмущений с волновым числом к = к . Надкритические случаи е > 0) характерны наличием стационарных пространственно-периодических решений, волновые числа которых лежат в полосе кс - + 0 е), кс -г + 0 )). Кроме того, на основе [c.49]

Оказывается, что при с, достаточно близких к У2, уравнение (4.6) имеет негауссовское решение, которое н будет термодинамически устойчивым. Полное доказательство этого утверждения довольно длинное и здесь приводиться не будет (см. [48], [54]). Мы опишем только основные идеи, основанные на теории бифуркаций н теории инвариантных многообразий неподвижных точек диффеоморфизмов. [c.163]

Действительно, как было показано ранее, решения типа бегущей волны инвариантны относительно однопараметрической группы сдвига по координате и времени. Поэтому решение (7.58) определяется соотношениями (7.59) и (7.60) с точностью до постоянной. Следовательно, и определение устойчивости бегущей волны тоже должно обладать соответствующей инвариантностью. В самом деле, если возмущенное решение стремится при не к исходному невозмущенному решению, а к сдвинутому (рис. 7.4), то нет оснований считать этот переход неустойчивостью. Инвариантное определение устойчивости бегущей волны [c.133]

Классический подход к решению подобных задач устойчивости — это метод элементарных волновых решений, заключающийся в сведении линейной начально-краевой задачи к проблеме собственных значений. Так как линейные уравнения (1.13) — (1.16) инвариантны относительно сдвига во времени и по координатам хи г, предположим, [c.26]

Дело в том, что, как правило, эти частные решения представляют собой асимптотики широкого класса других решений, отвечающих другим начальным условиям. В этом случае значение точных частных решений возрастает в сильнейшей степени. И эта часть вопроса отражена в заглавии книги, в словах промежуточные асимптотики . Значение решений как асимптотик зависит от их устойчивости. Вопросы устойчивости и поведения решений при малых возмущениях также рассматриваются в этой книге в частности, излагается предложенный в совместной работе Г. И. Баренблатта и моей простой метод исследования устойчивости инвариантных решений. [c.8]

С2 (to/t) W ( , I) + бСз W (I, 3/2) + о [Ш 1 (7.86) где Сг — коэффициенты разложения функции Oo(S) в ряд Фурье по собственным функциям оператора (7.79) — (7.80). Таким образом, автомодельное решение, построенное в главе 3, оказалось устойчивым относительно малых возмущений. Как видно, в данном случае константа А также оказалась измененной Л =Л+бсо, так что инвариантность принятого нами определения устойчивости автомодельных решений используется и в этом случае. Проведенное выше исследование устойчивости решения модифицированной задачи о тепловом источнике было выполнено В. И. Керчманом [52]. [c.138]

Эта процедура применима к другим, не почти периодическим потенциалам, также полученным из механических задач. В этом случае система допускает равновесные решения, обладающие устойчивыми и неустойчивыми многообразиями. Орбиты на этих инвариантных многообразиях экспоненциально стремятся к равновесным решениям и поэтому не являются почти периодическими. Они приводят к потенциалам, экспоненциально убывающим на бесконечности, которые задаются рациональными функциями действительных экспонент ехр(>Г1,ж), ехр(>1 2 х),. .., exp Kgx) и являются ничем иным, как конечнозонными потенциалами [c.187]

Наглядное представление о динамическом поведении системы (2.3.2), дают ее фазовые портреты. Существованию предельного цикла (автоколебаний) соответствует случай единственного и неустойчивого ст. с. При наличии трех ст. с. инвариантная область S (2.3.3) делится входящими в седло сепаратисами на две части — области притяжения двух устойчивых ст. с. Расчеты показали, что для рассмотренной системы (2.3.2) ее решения стремятся к одному из устойчивых ст. с. Система приходит в различные устойчивые ст. с. в зависимости от того, в области притяжения какого из них находятся начальные условия. Здесь мы не касаемся анализа нелокальных бифуркаций в системе [c.153]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология