Условия краевые, начальные

Наряду с прямой задачей теплопроводности — отысканию температурного поля (2.1) путем решения уравнения (2.3) с известными краевыми условиями — возможна постановка и обратной задачи, где по заданному в пространстве и во времени распределению температур требуется определить соответствующие краевые условия (либо начальное распределение температур, либо граничные условия) или коэффициенты уравнения (физические свойства вещества). Подробно об обратных задачах теплопроводности см. [114]. [c.128]

К этому классу задач относится также задача об определении потенциала скоростей возмущенного баротропного движения газа, которая в случае малых возмущений сводится к решению волнового уравнения при определенных условиях краевых, начальных или других. Примером баротропного процесса может служить изотермическое движение газа, подчиняющегося уравнению Клапейрона. [c.12]

С краевыми начальными условиями [c.277]

Решение должно удовлетворять краевым условиям задачи. Так как при каждом дифференцировании (здесь их три) исчезают любые постоянные, требуется ввести три краевых условия, отвечающие физическим условиям процесса — начальное и два граничных. Эти условия таковы [c.211]

В любом случае в начальной и конечной точках траектории будут всегда заданы т условий соответственно на начальные и конечные значения функций Xi(t) и A7 (0- Другими словами, при решении систем уравнений (VII, 1) и (VII,48) приходится решать краевую задачу для системы 2т уравнений с т граничными условиями в начальной точке траектории и т граничными условиями для конечной точки. [c.345]

Управление системой называется оптимальным, если обеспечиваются наилучшие значения одного или нескольких показателей. Например, при оптимальном управлении может быть достигнут наилучший для данной системы переходный процесс с минимальной динамической ошибкой и минимальным временем, или минимум расхода энергии в системе, или ее максимальная надежность и т. д. При постановке задачи оптимального управления прежде всего необходимо выбрать показатели качества системы, которые могут служить критериями оптимальности управления или целевыми функциями, а также установить ограничения, вызванные условиями эксплуатации системы, ее конструктивными особенностями, допускаемыми нагрузками на элементы системы и другими факторами. Для решения задачи может оказаться целесообразным часть критериев оптимальности отнести к ограничениям. Кроме того, должны быть определены краевые или граничные условия, описывающие начальное и конечное состояния системы. В таком виде задача оптимального управления носит достаточно общий характер. Конкретные задачи оптимального управления обычно содержат дополнительные данные о виде ограничений и краевых условиях. [c.225]

Имеюш,иеся в распоряжении инженеров расчетные методики позволяют уже сейчас успешно решать многие теплотехнические задачи, в частности рассчитывать рабочий процесс компрессора и двигателя, что стало возможным благодаря широкому внедрению в расчетную практику ЭВМ. Р спользование их предполагает наличие математической модели интересующего явления, иначе говоря, совокупности исходных уравнений и краевых (начальных и граничных) условий, причем решение задачи должно быть предельно детализировано. [c.3]

Дифференциальное уравнение теплопроводности и краевые (начальные и фаничные) условия, необходимые для его решения, отражают объективные закономерности теплотехнических процессов, происходящих в печах. Поэтому методика теплотехнических расчетов различных печей часто основана на решениях дифференциального уравнения теплопроводности в соответст ющей специфической форме при тех или иных конкретных краевых условиях. Если необходимое точное решение пока отсутствует или не приведено к удобному виду, методика приближенного расчета должна в целом соответствовать постановке задачи, принятой в теории теплопроводности. [c.618]

Из начального условия краевой задачи следует, что при = О толщина 5 = 0. Очевидно, что при ( > О толщина диффузионного слоя будет увеличиваться наиболее быстро в начале жизни капли, если при 1 = 0 граничная концентрация Сох скачком изменится от равновесного значения С°ох до 0. В этом случае в соответствии с (8.43) и (8.44) фарадеевский ток равен [c.284]

Для решения уравнения (VI.3) необходимо задать краевые условия а) начальное распределение температуры в теле б) действие окружающей среды (потока) на поверхность тела. Первое условие выражается зависимостью 0 =/1 (х, у, г, 0). При равномерном распределении температуры тела в начальный момент времени 0 = /1 х, у, г, 0) = 0о. [c.320]

Для решения практических задач теплопроводности в твердых телах сложной формы используются аналитические и численные методы. Решения возможны при известных краевых условиях, включающих начальное распределение температур в теле и граничные условия на поверхности тела, которые могут быть заданы одним из трех способов температурой поверхности, тепловым потоком и коэффициентом теплоотдачи. [c.143]

Будем рассматривать все концентрации и константы скорости как безразмерные величины, тогда вопрос можно сформулировать следующим образом как выглядят кинетические кривые для веществ А и В, если выполняются условия [А] = О при / = О и [А] = 0,75 при = 1 Чтобы выполнялось второе краевое условие (первым краевым условием является начальное значение концентрации вещества А), начальная концентрация вещества В должна иметь строго определенное значение. [c.241]

Постоянную интегрирования С найдем из краевых условий. При начальном состоянии системы температура насыщенного вторичного пара соответствует начальному (максимальному) давлению Р, и начальной максимальной температуре /о. вся поверхность нагрева аппарата в начальном состоянии омывается первичным паром, [c.58]

Продолжительность замораживания. Зная краевые условия, например начальное распределение температур в замораживаемом продукте или распределение температур на поверхности продукта для каждого момента времени, а также физические параметры (коэффициент теплопроводности, теплоемкость, удельный вес) замораживаемого продукта и замораживающей среды, можно рассчитать время, необходимое на проведение процесса замораживания. [c.118]

Метод проб и ошибок наиболее распространен при решении краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако во многих случаях этот метод поиска начальных условий приводит к задаче с неустойчивым решением. Тогда единственно возможным методом решения краевых задач на АВМ становится метод конечных разностей, приводящий к алгебраическим уравнениям. Моделирование же последних связано с большими трудностями и значительными погрешностями. Поэтому, несмотря на ряд очевидных достоинств, применение аналоговых машин для целей математического моделирования химических процессов из-за указанных причин является весьма незначительным по сравнению с цифровыми вычислительными машинами. [c.12]

Классическое рещение подобных уравнений базируется на методе разделения переменных. Широко используются операторный метод, методы конечных разностей, аналогий и др. Рещение конкретно при заданных краевых (начальных и граничных) условиях и параметрах массопроводности. [c.96]

В газовой динамике внешних и внутренних течений различают еще два класса задач прямую и обратную. Прямая задача состоит в определении ноля течения нри заданной форме обтекаемого тела (для внешних задач) или канала (ддя внутренних задач) и заданных граничных условиях. Прямая задача сводится в общем случае к краевой задаче, для которой, как правило, не доказаны теоремы существования п единственности. Обратная задача состоит в определении поля течения при условиях, заданных на некоторой поверхности, и условиях в начальном сечении. При этом форма обтекаемого тела (или канала) не задана и определяется в ироцессе решения. Обратная задача сводится к задаче Коши. В обратных задачах о течении за отошедшей ударной волной задается форма ударной волны и в процессе решения находится форма обтекаемого тела. В обратной задаче теории сонла задается распределение скорости, например, на оси сонла, а поверхность сопла определяется в процессе решения. [c.34]

Совместное решение систем уравнений (5.38) и (5.74) позволяет численно оценить параметры транспортирования многокомпонентных жидкостей по системе разветвленных каналов с открытым руслом. Для замыкания модели (5.38, 5.74) задаются краевые условия. В качестве начальных условий принимаются начальные распределения для искомых функций [c.473]

Начальные и краевые условия. В начальный момент времени глинистая корка на стенках скважины отсутствует. Для давления водной фазы на стенке скважины радиусом имеем гранич- [c.51]

Представим следующее приближение в виде и +aSu. Подставим его в уравнение (и в краевые, начальные или другие условия) и разложим в ряд по а, сохранив только линейные члены. Тогда относительно аЬи получится новое уравнение с коэффициентами, зависящими только от независимых переменных. [c.452]

После подстановки автомодельной зависимости (10.21) в начальные и граничные условия (10.19), (10.20) формулируется краевая задача для системы (10.23), (10.24) [c.308]

Рассмотрим ту же краевую задачу (13.1), описывающую фильтрацию упругой жидкости. Для получения дискретного (конечно-разностного) аналога краевой задачи нужно представить в конечно-разностной форме уравнения, начальные и граничные условия. [c.385]

Уравнения, описывающие химический процесс в реакторе, учитывают только наиболее принципиальные особенности, присущие множеству родственных, но отличающихся одно от другого явлений. При этом независимо от вида дифференциального уравнения его решение (при условии, если оно существует) в общем случае должно удовлетворять всем явлениям данного класса. Другими словами, уравнение имеет бесчисленное множество различных решений. Но лишь одно из них отражает именно ту связь между переменными, которая отвечает данному конкретному явлению. Это решение и будет представлять собой не только решение данного уравнения, но и решение данной задачи, связанной с конкретным процессом. Математически отыскание указанного однозначного решения сводится к нахождению решения уравнения, удовлетворяющего некоторым дополнительным условиям, которые в большинстве случаев определяются физико-химической сущностью задачи. Дополнительные условия обычно принято называть граничными (краевыми) и начальными условиями. [c.8]

Нахождение граничных и начальных условий представляет весьма сложный вопрос, так как далеко не всегда ясно, как должны быть построены эти условия и какие сведения они должны выражать. Обычно они определяются из опыта и, следовательно, не могут быть найдены абсолютно точно. Поэтому при решении задачи всегда неизбежна некоторая погрешность, обусловленная погрешностью начальных и краевых условий. К отысканию последних необходимо относиться внимательно, так как правильный выбор их в значительной мере определяет единственность и достоверность результатов решения уравнений математического описания. [c.10]

Полагается, что капля начинает двигаться из состояния покоя. Тогда в начальный момент времени скорость жидкости внутри и вне капли равна нулю. Краевые условия такие же, как и в стационарной задаче Адамара. Поскольку в уравнении (1.94) переменные по времени разделяются, то и для капли решение осуществляется с помощью методов операционного исчисления. [c.27]

Такая система уравнений учитывает все величины, характеризующие работу элемента процесса, и вместе с начальными и краевыми условиями в принципе пригодна для полного описания элемента процесса. Однако практическое ее применение ограничено вследствие трудности получения аналитического решения. Обычно для быстрого инженерного расчета приходится прибегать к упрощениям этой системы уравнений. [c.143]

Выше указывалось, что система уравнений Дамкелера с начальными и краевыми условиями полностью описывает элемент процесса. Начальные и краевые условия характеризуют определенное физикохимическое состояние параметров системы. Способы их выбора могут быть различны. [c.144]

Таким образом, одно и то же изменение в системе рассматривается инженером-проектировщиком и инженером-производственником с разных точек зрения, поэтому решение системы уравнений Дамкелера должно проводиться ими для различных начальных и краевых условий. [c.144]

При определении краевых условий следует учитывать, что в начальный момент (т = 0) во всех ячейках аппарата, кроме той, в которую импульсно введен трассер, его концентрация равна [c.52]

Полученная таким образом замкнутая система дифференциальных, интегральных и алгебраических уравнений при соответствующих начальных условиях и составляет полную математическую модель ДЖР. Подобная система уравнений, как правило, не имеет аналитического решения п должна решаться численными методами. В случае противоточного реактора начальные условия задаются на обоих концах реактора и поэтому речь идет о решении краевой задачи. Эта задача всегда имеет решение [6], так как выполняется условие Липшица [7]. [c.118]

Система уравнений (II.8), (П.33), (11.34) образует математическое описание процесса. Краевые и начальные условия для этой системы могут быть заданы различным образом (подробнее об этом см. в главе III), но в любом случае как аналитическое, так и численное решения оказываются затруднительными. Поэтому наиболее обстоятельно исследованы математические описания изотермического процесса. В этом случае в математическое описание войдут уравнения материального, баланса сорбата для подвижной и неподвижной фаз [c.89]

Для того, чтобы от общего математического описания группы однотипных процессов (например, сорбции) перейти к конкретному описанию одного процесса (например, сорбции пропана цеолитом в аппарате определенных размеров), исходная система дифференциальных уравнений должна быть дополнена начальными и краевыми условиями (т. е. условиями поведения функции в начале или в конце процесса и на геометрических границах аппарата) и физическими характеристиками обрабатываемых веществ. Эти дополнения называют условиями однозначности. [c.134]

Система уравнений (2.40) - (2.47) макроскопической электродинамики позволяет найти однозначное решение конкретной зэдачи при наличии краевых (начальных и граничных) условий. В зависимости от поведения во времени характеристик электромагнитного поля различают частные случаи. В статических полях (электростатическое и магнитостатическое поля) напряженности полей не зависят от времени, т. е. в вышеприведенных уравнениях выполняется условие вида 9 (.. . . )/dt = 0. Кроме того, электростатический случай характеризуется дополнительным равенством 7 = О, в отличие от стационарного, когда 7 = onst. Медленно изменяющиеся во времени поля называют квазистационарными. [c.34]

Для теоретического исследования дуги постоянного тока, горящей в канале в продольном потоке газа, требуется решение краевой задачи, описываемой системой дифференциальных уравнений электромагнитной газодинамики с учетом нелинейно зависящих от температуры и давления электро- II теплофизнческих свойств движущейся плазмы. Основные трудности решения подобного рода системы заключаются во взаимном влиянии различных по физической природе процессов — тепловых, газодинамических и электродинамических, т. е. во взаимосвязи уравнений. Математически задача осложняется еще и тем, что даже при предположениях о линейных зависимостях свойств плазмы уравнения остаются существенно нелинейными. Особые трудности возникают, как отмечалось, при постановке граничных условий в начальном сечении ствола дуги. [c.121]

В отличие от ЦВМ аналоговые машины позволяют отыскивать не только конечный результат решения, но и дают возможность моделировать ход самого процесса во времени в соответствии с его действительным протеканием в физической модели. Различие может быть лишь в масштабе физико-химических величин и, в отдельных случаях, в масштабе времени. Для этих машин характерны сравнительнб простые методы решения, экономия времени при расчетах (решение практически осуществляется мгновенно), наглядность получаемых результатов и, наконец, относительная дешевизна их. Однако аналоговая машина решает уравнения только с начальными условиями, в то время как многие задачи математического моделирования являются краевыми. Для решения последних на АВМ обычно пользуются методом проб и ошибок, т. е. последовательно подбирают начальные условия такими, чтобы условия в конце интервала интегрирования были выполнены. [c.12]

Введение дополнительных слагаемых, учитывающих неравновесность, повышает порядок уравнения для определения насыщенности. Оно принимает вид типичного уравнения второго порядка гиперболического вида, линейного по старшим производным, характеристиками которого являются координатные линии. Постановки краевых задач неравновесной двухфазной фильтрации в [23, 44, 181] не обоснованы, не обсуждается конкретный вид начальных и граничных условий. Это приводит к рассогласованию начальных и граничных условий. Краевая задача оказывается недоопределенной. [c.57]

Таким образом, математическая модель (2.204) представляет собой в развернутом виде систему шести одномерных дифференциальных уравнений в частных производных (2.204а-в) относительно десяти неизвестных функций пространственной координаты и времени. Соотношения (2.204г) учитываются при решении как условия сопряжения на межфазной границе. Для замыкания системы (2.204) ее следует дополнить уравнениями связи термодинамических параметров. Чтобы получить однозначное решение данной системы требуется также задать граничные и начальные условия (краевые условия). [c.121]

Приложение (6.39) или (6.40) к решению конкретных задач предполагает возможность установления характера диффузионного процесса и формулирования краевых условий. Ниже кратко рассматривается решение (6.39) применительно к двум проблемам, имеющим важное практическое значение. В обоих случаях используется одна и та же модель системы, в которой протекает линейная диффузия — полубесконечиая труба, ограниченная с левой стороны, но не источником вещества, как гри выводе уравнения (6.39), а его поглотителем. Труба в начальный момент целиком заполнена раствором некоторого вещества с концептрацией Со. Задача сводится к тому, чтобы выяснить, как изменяется концентрация во времени и ио длине трубы (по оси х). Начальные и краевые условия формулируются в следующем виде. [c.147]

Рещения системы (9.66) представляют наибольщий интерес с точки зрения приложений. Эта система уравнений описывает вытеснение неоднородной жидкости из полубесконечного пласта ( 0) при нагнетании в него другой жидкости, которая может находиться в одно-, двух-и трехфазном состояниях. Простейший вариант начально-краевых условий для системы (9.66) состоит в задании кусочно-постоянных значений насыщенностей. Если состав закачиваемой жидкости считать неизменным во времени, то задача о вытеснении сведется к решешпо системы (9.66) при условиях [c.287]

Концентрация хемосорбента на поверхности капли уменьшается со временем от единицы до нуля, достигаемого в момент времени Тх. Начиная с этого момента, вступают в силу граничные условия (6.86), (6.87). Таким образом, обшее решение задачи сводится к последовательному решению двух задач сначала ддя временного интервала 0< <г<Т] решаются уравнения (6.84), (6.85) при условии, что на поверхности поток хемосорбента задан выражением (6.90), а затем для т>т, решается система уравнений (6.89), (6.90) с условиями согласования на фронте реакции и рассмотренными выше начальными и краевыми условиями. Значение т, определяется при решении первой задачи из условия [c.279]

На основе описанных методик представляется возможным определить характеристики продольного и поперечного перемешивания газового потока и твердых частиц. Однако при этом нам не удалось использовать опубликованные в литературе решения нестационарных уравнений или из-за некорректности решения или из-за использования не соответствуюпщх эксперименту краевых и начальных условий. Ниже будут рассмотрены полученные нами решения и выполненные на их основе расчеты коэффициентов перемешивания. [c.117]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология