Элементарные волновые решения

Pi = P exp (St) exp ( k x) которые называются элементарными волновыми решениями. Здесь [c.81]

Будем предполагать, что произвольное возмущение стационарного решения уравнений гидромеханики псевдоожиженного слоя можно представить в виде разложения по элементарным волновым решениям вида (3.3-14). Тогда, для того чтобы стационарное решение было устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы любое решение вида (3.3-14) затухало во времени. [c.82]

Классический подход к решению подобных задач устойчивости — это метод элементарных волновых решений, заключающийся в сведении линейной начально-краевой задачи к проблеме собственных значений. Так как линейные уравнения (1.13) — (1.16) инвариантны относительно сдвига во времени и по координатам хи г, предположим, [c.26]

Если получаемые таким способом элементарные решения образуют полную систему то эволюцию во времени любого возмущения, возникшего в момент времени 1 = О, можно проследить, рассматривая его разложение по элементарным волновым решениям. Отметим, что в результате решения (1.28) получается только абсолютная величина временного множителя е ", но не его фаза, которая зависит от начальных условий. Таким образом, изучаемое возмущение не определяется однозначно стационарными краевыми условиями. А поскольку стационарное движение полностью задано ими, можно сказать, что возмущение обладает дополнительной степенью свободы [Ландау, Лифшиц, 1986]. [c.30]

Если отсутствуют ограничения, связанные с симметрией, и элементы 1, 2,..., п различимы друг от друга, то данное частное решение представляет одно собственное состояние системы. Любое изменение распределения п элементов по элементарным волновым [c.383]

Однако, как уже было указано, с точки зрения современной физики две одинаковые частицы нельзя считать различимыми. Поэтому любое изменение в распределении п элеметов по вол-ловым функциям не приводит к возникновению нового собственного состояния. Полная собственная функция Ф уже не будет изображаться уравнением (50.1), поскольку соответствующее решение должно быть линейной комбинацией функций, образующихся яз всех возможных перестановок п элементов по g элементарным волновым функциям. Таким образом, без учета нормирующего множителя [c.384]

Как было указано, квадрат волновой функции пропорционален, ноне равен вероятности нахождения электрона в данном элементарном объеме х(1уд.г. Это вытекает из того факта, что если Ч " — это решение волнового уравнения, то умножение на любую постоянную величину А даст волновую функцию А , которая также будет решением волнового уравнения. Поэтому нельзя говорить, что интеграл равен вероятности он лишь пропорцио- [c.47]

Уравнение Шредингера для атома водорода имеет строгое решение в элементарных функциях, в результате которого находятся волновые функции (как функции сферических координат) и разрешенные значения энергии системы в стационарных состояниях. Эти функции могут быть представлены в виде произведения [c.30]

Для органических соединений характерны ковалентные связи. Первое их объяснение на основе модели поделенных электронных пар было предложено в 1916 г. независимо друг от друга Льюисом и Косселем. Согласно современной теории молекулярных орбиталей, электроны в молекуле размещаются на молекулярных орбиталях (МО), подобно тому как в атомах электроны размешаются на атомных орбиталях (АО). Теория МО основана на приближенном решении уравнения Шредингера, которое описывает поведение элементарных частиц с помощью представлений о волновом движении в пространстве. Как и АО, МО различаются своим видом и энергией. Нужно отметить, что, когда говорят об энергии орбитали, имеют в виду энергию размещенного на этой орбитали электрона. [c.52]

В момент времени tg молекулярная система находится в стационарном невозмущенном состоянии с волновой ф-цией ф и подвергается внеш. воздействию. Требуется определить вероятность найти систему в другом стационарном состоянии с волновой ф-цией <р после прекращения воздействия в момент времени (Х , (задача о вероятности перехода). Эта задача-частный случай задачи об эволюции, однако ее выделяют особо, поскольку оиа играет важную роль в изучении динамики элементарного акта хим. р-ции и в теории молекулярных спектров. В частности, решение этой задачи приводит к правилам отбора для квантовых переходов. [c.412]

При решении необходимо принять во внимание, что до элементарного акта волновая функция Ч совпадала с Вероятность перехода дается выражением [c.61]

Магнетизм представляет собой релятивистское явление, связанное с наличием спина у элементарных частиц. Если релятивистские эффекты достаточно малы, то их можно рассматривать как возмущение решений нерелятивистского уравнения Шредингера. В тех случаях, когда такое приближение оправданно, волновую функцию системы можно факторизовать, представив ее как простое произведение пространственной и спиновой функций. Обычно магнитные энергетические уровни разде- [c.352]

Создание подлинно фундаментальной теории строения атомов оказалось возможным лишь после того, как было установлено, что элементарные частицы, в том числе и электроны, подчиняются законам не классической, а квантовой (волновой) механики. Решение волнового уравнения для системы, состоящей из протона и электрона, позволило получить точную количественную теорию атома водорода, находящуюся в полном соответствии с экспериментальными данными. [c.27]

Я непрерывны на поверхности раздела жилы и оболочки. Для того чтобы это волокно не рассеивала распространяющуюся вдоль негр энергию, требуется также, чтобы среднее временное пропускание через боковую поверхность жилы равнялось нулю. Для удобства принимают, что материалы жилы и оболочки обладают нулевой проводимостью и одинаковой магнитной проницаемостью. Имея в виду указанные предположения, были решены однородные волновые уравнения для жилы и оболочки При рассмотрении физического смысла решения будет показано, что типы волн волновода состоят из элементарных однородных плоских волн и перпендикулярны к плоскостям колебаний этих волн (лучи) образуют с нормалью к стенке волокна некоторые углы, которые можно определить из корней характеристического уравнения, приведенного ниже. Для этого предположим, что были достигнуты экспериментально такие условия, при которых в волокне распрост- [c.210]

Такое же заключение можно вывести более точным методом, используя некоторые элементарные положения квантовой ме-ханш и. Рассмотрим две совершенно одинаковые частицы с координатами и 2 соответственно. Предположим, далее, что имеется две собственные функции и и, следовательно, решение волнового уравнения для двух отдельных частиц можно представить в виде и д ) и М(, (дг. ) или ( з) и (<7 ). Поскольку обе частицы совершенно одинаковы, очевидно, что существует два возможных решения уравнения Шредингера для системы в целом, как и в случае молекулы водорода, разобранном [c.380]

Волновые функции ф, представляющие собой решения волнового уравнения, связаны с распределением вероятности нахождения электрона. Однако, в то время как функция вероятности может быть только действительной и положительной, г обычно является комплексной функцией (т. е. включает и действительную и мнимую части) и может быть отрицательной. Предполагается, что распределение вероятности нахождения электрона передается не самой т] , а произведением этой величины и комплексно-сопряженной функции. Последняя представляет собой такую же математическую функцию, но в ней каждое I заменено —Таким образом, вероятность Р нахождения электрона в элементарном объеме йх определяется выражением [c.17]

Волновая функция Хр при решении уравнения (3.5) может принимать различные значения, в частности быть величиной мнимой и отрицательной. Но вероятность нахождения электрона в данном элементарном объеме атома должна быть величиной действительной и положительной. Поэтому все наблюдаемые свойства электрона [c.29]

Волновой функции ф мы не можем приписать ясного физического смысла, тогда как можно рассматривать как вероятность нахождения электрона в элементарном объеме йу. Общее решение волнового уравнения для 11 (или для 1 ) в переменных г, 0 и Ф нельзя наглядно представить в удобной форме, поскольку графическое изображение решения уравнения с тремя переменными возможно только в четырехмерном пространстве. [c.39]

Проводимое разложение эквивалентно переходу из физического пространства в спектральное пространство частот и волновых чисел. Рассматриваемые решения представляют собой собственные (свободные или не вынужденные) гидродинамические волны, быстро осциллирующие по д и 2 на масштабе локальной параллельности Ь А, где Я — длина волны возмущения с амплитудами, мало изменяющимися на этой длине волны. Отметим, что при такой редукции начально-краевой задачи необходимо проверять полноту получаемой системы волн, поскольку не исключено, что часть элементарных решений может иметь другой вид (см. п. 1.7). [c.27]

Теперь необходимо учесть влияние, оказываемое ограничениями, связанными со свойствами симметрии. Свойства симметрии являются инвариантной характеристикой элементов, составляющих данную систему. И теоретически и опытным путем можно показать, что характер симметрии представляет собой основное свойство, не изменяющееся со временем. Предположим сперва, что собственная функция ф симметрична. Тогда обмен координатами между любыми двумя элементами, например а (гО 6 Ы 9 (9п) на иа д2)иь(д,). . . ид(д ), не приведет к изменению знака. Этому условию удовлетворяет уравнение (50.2), которое представляет собой симметричное решение волнового уравнения п не различимых друг от друга элементов. Ниже будет показано, что в случае антисимметричных собственных функций волновые функции любых двух элементов не могут быть одинаковыми. Это ограничение, однако, не относится к симметричному решению. В случае, который рассматривается сейчас, с любой данной элементарной волновой функцией может быть связано два или большее число элементов. Таким образом, Мо( ,) и и ,(д() могут быть идентичными. Постулат о существовании системы не различимых друг от друга элементов, для которых возможны только симметричные решения, лежит в основе так называемой статистики Бозе—Эйнштейна. Этот вид [c.384]

Элементарным решением этого уравнения является е , где собственное значение В вычисляется пз соотпошепия (7.224). Было также показано, что это решение удоплетворяет стационарному волновому (диффузионному) уравнению (см. 7.4,ж). Далее, единственным решением диффузионного уравнения (5.134), которое сферически симметрично и всюду ограничено, является [ср. с уравнением (5. 139)] [c.273]

Многие волновые уравнения доп> скают решения в виде плоской или монохроматической волны и=Аехр (<к,х>-ш1) , к, х е Р". При этом, частота а и волновой вектор к не произвольны, а связаны некоторым соотношением, обычно называемым дисперсионньш. Однако большая часть решений не допускает выражения через такие элементарные функции и поэтому имеет смысл искать решения не такого вида, а близкие к ним, при этом мерой близости является некий малый параметр О < 1, входящий в математическую модель. Решения, которые удается построить, носят асимптотический характер. Они представляют собой (в простейшей ситуации) ряды по мало.му параметру, и близость к точному решению понимается как матость невязки, получаемой при подстановке такого представления в исходную задачу. [c.200]

В момент времени t возмущение отсутствует, система находится в состоянии с волновой ф-цией (/о. Требуется описать поведение системы при наличии возмущения в момент времени t > (задача об эволюции). Знание решения этой задачи требуется при анализе взаимод. молекул с излучением, при изучении динамики элементарного акта хим. р-ций оно используется в теории дифракц. методов исследования строения молекул. [c.412]

Мы как бы имеем две волны, бегущие вокруг оси г в противоположных направлениях (по часовой стрелке и против нее). Это приводит к появлению электрических токов. Поэтому соответствующие функции можно обозначить через р 1 и заменить набор Рх, Ру, Рг другим возможным набором ро, р , где Ро обозначает просто функцию Рг. Упомянутые выше электрические токи приводят к появлению соответствующих магнитных моментов. Если их величину выражать в единицах элементарного магнитного момента екЦлтс (называемого магнетоном Бора), то их компоненты вдоль оси г будут иметь значения, численно равные индексам О, 1. Это представление особенно удобно в задачах, связанных с магнитным полем, поскольку при наличии такого поля вырождение, о котором говорилось выше, снимается, причем расщепление уровней оказывается пропорциональным числам О, 1 и т. д. Совершенно аналогично вместо рассмотренных выше пяти -орбиталей можно использовать функции о, ь 2. Заметим, что, подобно тому как бегущие волны можно получить, комбинируя две или более стоячие волны (например, р =рх 1ру), сами стоячие волны допустимо рассматривать как результат наложения двух или более волн, бегущих в различных направлениях с подходящей разностью фаз. В этом отношении электронные волны не отличаются от волн других типов. Читатель несомненно заметит, что рассмотренный нами сейчас набор функций в точности совпадает с функциями (2.14), которые получаются в результате непосредственного решения волнового уравнения. [c.56]

Однако решить секулярное уравнение удается только при периодическом расположении элементов решетки, так как при этом уравнение можно существенно упростить (разд. И, 4.2). В случае простой решетки Браве решение секулярного уравнения содержит три частотные ветви, которые соответствуют трем возможным независимым ориентациям вектора поляризации волн решетки и которые называются акустическими ветвями, так как при больших длинах волн они описываются соотношением (П. 117) (где Ср—скорость звука). В случае сложных решеток, элементарная ячейка которых содержит п структурных элементов, к акустическим ветвям добавляются 3(/1—1) оптических ветвей, которые при определенных условиях отделены друг от друга и от акустических ветвей энергетическими щелями. Тот факт, что реальные твердые тела должны иметь конечное значение теплоемкости в противоположность бесконечно большому значению теплоемкости бесконечной решетки, учитывается введением периодических граничных условий и проведением нормирования плотности спектрального распределения к 3N степеням свободы. Колебательный спектр периодической решетки характеризуется наличием особенностей у функции распределения частот. Это обусловлено тем, что в пространстве волнового вектора вследствие дискретности решетки на поверхностях (f) = onst имеются критические точки, групповая скорость в которых равна нулю. [c.60]

Как было указано, квадрат волновой функции пропорционален, ноне равен вероятности нахождения электрона в данном элементарном объеме йхйуйг. Это вытекает из того факта, что если ЧГ — это решение волнового уравнения, то умножение на любую постоянную величину А даст волновую функцию ЛЧ ", которая также будет решением волнового уравнения. Поэтому нельзя говорить, что интеграл Г4 д йг/йг равен вероятности он лишь пропорционален вероятности нахождения электрона в данном объеме. Но поскольку умножение на постоянную величину возможно, то обычно удобно умножать волновую функцию на такую постоянную, которая сделает квадрат результирующей волновой функции равным вероятности. [c.47]

Усложненный вариант анализа такого типа — учет эффектов критических точек (так называемый метод анализа критических точек ). Теория колебаний кристаллической решетки с поляризующимися атомами рассматривалась Каули (1962). Уравнения, решение которых дает Зр собственных значений и собственных векторов фононов для данного волнового вектора (р — число атомов в элементарной ячейке), включали матрицы силовых постоянных, учитывающих взаимодействие различных ячеек. Силы дальнодействия аппроксимировались кулонов-скими взаимодействиями точечных зарядов и точечных диполей, которые легко оценить. Для малых расстояний, когда такое приближение не выполняется, взаимодействия оценивались эмпирически. Значения соответствующих силовых постоянных (по предположению не зависящих от волнового вектора) подбирались так, чтобы получить согласие с экспериментальными данными, например с значениями диэлектрической проницаемости и константы упругости. [c.233]

Если на контуре С известны значения функции Dj и ее нормальной производной dDjldn (эти значения могут быть заданы произвольно лишь для контуров, которые пересекаются прямыми х +2= onst в одной точке [153]), то (11.46) дает решение задачи об определении волнового поля в любой точке кристалла (рис. 103). При этом функция G и ее производные являются функциями влияния, описываюш,ими распространение локального возмуш,ения волнового поля и играют в оптике рентгеновских лучей такую же роль, какую в световой оптике играет функция R ехр (ikR), описываюш,ая, согласно принципу 1 юйгенса-Френеля, распространение возмуш,епия от элементарного источника. [c.307]

Надо помнить, что числа п, I, т определяют составные части волновой функции поэтому с точки зрения квантовой механики следует говорить не об орбитах, а лишь о волновых функциях, позволяющих рассчитать вероятности вместо термина орбита предложено пользоваться термином орбиталь , обозначающим характерную для электрона волновую функцию. Итак, оказывается, что дискретность значений энергии и момента количества движения, угаданные Бором, являются естественным следствием решений уравнения Шрёдингера, т. е. по существу особенностью атома, вытекающей из волновой природы элементарных частиц. [c.87]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология