Диаграммы Юнга

Покажем теперь, как построить этот стандартный базис. Перед этим, однако, сначала остановимся на связи диаграммы ветвления и диаграмм Юнга. [c.97]

В табл. 7.2 приведены таблицы характеров для групп 8(2), 8(3) и 8(4). Таблицы характеров для следующих групп перестановок, вплоть до 8(7), помещены в приложении 7. Фигурки из квадратиков, изображенные в левой части таблиц характеров в табл. 7.2, являются диаграммами Юнга для соответствующих представлений. Нетрудно видеть, что они состоят из строк, число квадратиков в которых соответствует структуре определенного разложения. Каждая строка диаграммы отвечает определенной длине цикла, и для каждого цикла имеется своя строка. Эти строки располагаются в порядке убывания числа квадратиков и выравниваются по левому краю. [c.137]

Допустимые типы перестановочной симметрии спиновых функций можно получить непосредственно путем рассмотрения диаграмм Юнга. Если собственный угловой момент частицы преобразуется по представлению группы К(3), то для системы из N таких частиц представление, по которому преобразуется полный собственный угловой момент, определяется произведением О ) и соответствующими перестановочными ограничениями. Допустимыми перестановочными представлениями группы 8(УУ) являются только те, которые имеют не больше 2 + 1 строк в своих диаграммах Юнга. Для электронов 8=1/2, и допустимые диаграммы Юнга могут включать не больше двух строк. С помощью табл. 7.2 можно убедиться, что два эквивалентных электрона могут обладать перестановочной симметрией, которая соответствует представлениям [2] и [Р] группы 8(2) три эквивалентных электрона имеют перестановочную симметрию, отвечающую представлениям [3] и [2, 1] группы 8(3), а четыре эквивалентных электрона — перестановочную симметрию, отвечающую представлениям [4], [3,1] [c.139]

И [2 ] группы 5(4). Значения полного спина 5, соответствующие этим представлениям, можно определить, приписывая максимальное значение каждой ячейке в верхней строке диаграммы Юнга и последовательно уменьшающиеся значения Шз — нижним строкам, а затем суммируя указанные значения по всем ячейкам диаграммы Юнга. Для электронов всем ячейкам в верхней строке диаграммы Юнга приписывают значение + 1/2, а ячейкам второй строки — значение —1/2. Для частиц со спином 5=1 число Шз принимает значения - -1, О и —1, Такие значения приписывают трем строкам допустимых диаграмм Юнга. [c.140]

Для иллюстрации сказанного рассмотрим систему из четырех эквивалентных электронов. Допустимыми перестановочными представлениями такой системы являются [4], [3, 1] и [2 ]. Приписывая соответствующие значения ячейкам диаграмм Юнга, получим следующие результаты [c.140]

Если требуется установить только терм основного состояния прн заданной конфигурации, то можно полностью обойтись без проектирования на представления симметрической группы с использованием формулы (7.9). Дело в том, что возможно прямое построение диаграмм Юнга, соответствующих должному значению квантового числа Ь при заданном значении спинового квантового числа 5, и для нахождения максимального значения Ь можно применять методику, аналогичную той, которая использовалась при выводе формул (7.5) — (7.7) для определения полного спина. Диаграмма Юнга, соответствующая наличию нескольких эквивалентных электронов в оболочке с заданным значением I, должна включать не больше 2/ + 1 строк. Максимальное значение т, отвечающее рассматриваемому значению I, приписывается верхней строке диаграммы, а ее следующим строкам приписываются последовательно убывающие значения т. Результирующее максимальное значение I определяется суммой найденных таким образом значений т. Например, для р"-оболочек получаются диаграммы Юнга для пространственных функций, соответствующих максимальному значению спина 5 [c.149]

Диаграммы Юнга. Диаграммы, выражающие внутреннюю структуру неприводимых представлений симметрической группы в виде построений из блоков. [c.460]

Каждое неприводимое представление фактически более просто определять с помощью рассмотрения проекционных операторов, которые при действии на произвольную функцию N переменных дают функции, осуществляющие указанное представление. Каждый такой оператор проектирования выражается через специально отбираемые операторы перестановок спиновых переменных, которые удобно наглядно представлять так называемыми диаграммами Юнга . Диаграммы Юнга для представлений, осуществляемых спиновыми функциями с данными 5, имеют одинаковый вид каждая составляется из N клеток, располагаемых в два ряда [c.94]

Если внутри этих клеток расставить числа 1, 2,. .., М, то получим одну из диаграмм Юнга. Диаграммы Юнга с более чем двумя рядами клеток определяются сходным образом, но мы их не будем рассматривать, так как они соответствуют таким представлениям симметрической группы, которые никак нельзя построить, исходя из двух базисных спиновых функций а и р. Возьмем, к примеру, случай Л =5 и для конкретности возьмем функции, которые преобразуются как отдельные спиновые переменные 1, 2, 5. Для спина 5=1/г, очевидно, имеется 5 = 120 различных диаграмм Юнга соответственно различным способам расстановки пяти чисел [c.94]

Число стандартных диаграмм Юнга в точности равно размерности неприводимого представления, которое само задается определенной диаграммой Юнга без чисел в ее клетках в рассматриваемом примере число диаграмм Юнга оказалось равным числу спиновых функций в методе диаграммы ветвления для 8= /2- Диаграммы Юнга можно представить в так называемом порядке по правилу последнего числа и, таким образом, фиксировать некоторый стандартный порядок изображаемых базисных векторов представления диаграммы, для которых последнее число 5 появляется во втором ряду, должны идти после диаграмм, в которых оно стоит в первом ряду в диаграммах, разделенных таким образом на две подгруппы, в каждой подгруппе надо посмотреть на предпоследнее число 4, и если оно стоит во втором ряду, то такие диаграммы должны идти после диаграмм, в которых оно находится в первом ряду и т. д. Таким образом, каждой диаграмме Юнга мы приписываем свой номер г, и если г>5, то это означает, что диаграмма г следует за диаграммой з, так что все диаграммы Юнга оказываются определенным образом занумерованными. [c.95]

Проекционный оператор, связанный с каждой диаграммой Юнга, составляется из перестановок, которые переставляют числа между клетками первого или второго рядов, а также перестановок, которые переставляют числа в столбцах. Типичный такой оператор, который с точностью до числового множителя будет идемПотентом (разд. 3.1), имеет вид [c.95]

Таким образом, например, с диаграммой Юнга (1) мы связываем следующий проекционный оператор [c.95]

Ниже приводятся стандартные спиновые функции и связанные с ними диаграммы Юнга, а также соответствующие им пути на диаграмме ветвления [c.97]

Диаграммы Юнга удобно использовать для определения взаимосвязей между представлениями групп. Обратим внимание на то, что в каждой группе 8(Л ) каждой диаграмме Юнга можно сопоставить другую диаграмму, которая образуется из первой путем перестановки ее столбцов со строками, если только такая перестановка не оставляет диаграмму без изменения. Представления с такой взаимосвязью между их диаграммами Юнга называются сопряженными друг другу. Так, в группе 8(4) представления [4] и [И] образуют сопряженную пару, то же самое можно сказать о представлениях [3, 1] и. [2, 1 ]. Представление [2 ] называется самосопрялсенным. Понятие [c.137]

Применим теперь схему связи Рассела — Саундерса для установления допустимых принципом Паули состояний и символов термов еще двух систем. В качестве первого примера рассмотрим конфигурацию основного состояния азота N (ls) (2s)2(2p) . Эта система имеет три электрона в незамкнутой р-оболочке. Ей соответствует перестановочная группа 8(3). Из диаграмм Юнга для группы 8(3) (см. табл. 7.2) видно, что допустимыми спиновыми представлениями данной системы являются [3] и [2, 1]. Эти представления соответствуют значениям 5 = 3/2 и 1/2, а следовательно, квартетному и дублетному спиновым состояниям. Пространственную функцию для квартетного состояния нужно спроектировать на представление [1 ], сопряженное представлению [3], а пространственную функцию для дублетного спинового состояния — на представление [2, 1], поскольку оно является самосопряженным. Пространственные р-орбитали преобразуются по представлению Проектирование тождественного преобразования на представление [1 ] дает [c.145]

Для частиц со спином 1/2 главной группой в цепочке (17.10) является группа 8и(2). Эта группа локально изоморфна (т. е. имеет общую производящую функцию) с группой Н(3), если включить в группу К(3) четномерные (имеющие полуцелые индексы) представления. Следовательно, информация об угловом моменте, которую дает группа 81/(2), аналогична получаемой при помощи группы К(3). При задаршой перестановочной симметрии возможно только одно-единственное значение полного спина. (Мы убедились в этом при помощи диаграмм Юнга, рассмотренных в гл. 7.) Однако дело обстоит иначе для систем из частиц с более высоким спином. [c.356]

В рассматриваемом примере (Л =5) различные схемы связи, приводящие к 5= задаются всевозможными путями на диаграмме ветвления, которые приводят в соответствующую точку диаграммы ветвления (см. рис. 8), все эти пути проиллюстрированы на стр. 93. Так, путь / / /соответствует связыванию первых двух спинов в нулевой спин и затем привязыванию следующих двух с нулевым полным спином, причем пятый спин остается свободным. Из формул (3.6.18) очень легко видеть, что соответствующая данному пути спиновая собственная функция идентична со спиновой спаренной функцией которая в свою очередь равна стандартной базисной функции, соответствующей диаграмме Юнга (1). Сопоставляя рекуррентную процедуру построения функций по методу диаграммы ветвления, с одной стороны, и неприводимые представления—с другой, легко также показать, что каждая функция метода диаграммы ветвления идентична стандартной базисной функции одной из диаграмм Юнга. Для того чтобы получать спиновые функции в одном и том же порядке, удобно обозначить генеалогию каждой спиновой функции в методе диаграммы ветвления, используя символы Яманучи [16]. При этом каждая функция записывается как 0(Г у, гл -1, гО, где каждое Г = 1, если г-й электрон увеличивает спин на и г,- = 2, если он уменьшает спин на Так что, например, 0< ) следует обозначать символом 0(12121). Диаграмму Юнга, которой данная функция соответствует, можно легко построить, интерпретируя числа Г как номер строки (1 или 2), в которой стоит число г. [c.97]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология