Собственные функции пространственных координат

Групповая скорость соответствует скорости распространения вершины импульса. Часть энергии распространяется со скоростью, превышающей групповую, и возможно частичное наложение сигналов, переносимых различными волнами. Поэтому особое значение приобретает рассмотрение нестационарных процессов, обусловленных импульсным возбуждением звукопровода. Соответствующая задача может быть решена применением к уравнениям движения, а также начальным и граничным условиям двойных интегральных преоб -разований - синус-косинусного преобразования Фурье для пространственных координат и преобразования Лапласа по времени. Решения в замкнутом виде получены лишь для простейших случаев, имеющих ограниченное практическое значение. Однако можно предположить, что на значительном расстоянии от места возбуждения для не слишком высоких частот характер возмущения практически не зависит от распределения возмущающей нагрузки по возбуждаемому сечению стержня. Показано, что если изменение возбуждающей функции/(0 происходит за время, которое велико по сравнению с наибольшим периодом собственных колебаний тела, эффекты, обусловленные пространственным распределением приложенной силы, затухают на расстояниях, сравнимых с размерами тела, определяющими наименьшую частоту собственных колебаний (динамический принцип Сен-Венана). [c.122]

Метод МКЭ представляет собой разновидность способов приближенного численного интегрирования дифференциальных уравнений движения сплошной среды, позволяющих определить вид непрерывных функций, описывающих поле некоторых скалярных или векторных величин (давлений, скоростей). При использовании этого метода непрерывная область или тело подразделяется на конечное число подобластей (рис. 16.5). Каждый элемент может иметь свой собственный размер и свою форму, которые выбирают так, чтобы они наилучшим образом соответствовали форме и размерам тела Этот метод МКЭ отличается от метода конечных разностей, при ко тором используется сетка с ячейками одинакового размера, описы ваемыми теми же координатами, что и тело. Точки пересечения кри вых, ограничивающих соседние элементы, называются узлами Значения переменных, вычисленные в узлах, дают искомое решение Обычно конечные элементы в двухмерных задачах имеют треуголь ную, прямоугольную или четырехугольную форму (см. рис. 16.5) при решении трехмерных задач используют элементы, имеющие форму прямоугольных призм и тетраэдров. Внутри каждого элемента подбирается интерполяционная функция, описывающая изменение определяемого параметра. Выбранные аппроксимирующие функции называются пробными функциями или пространственными изменяемыми моделями. [c.596]

Некоторые сведения о строении атомов. Атомная система, состоящая из положительно заряженного ядра и отрицательно заряженной оболочки, устойчива лишь в состоянии движения. Движение электронов в электростатическом поле ядра и оболочки описывается в квантовой механике функцией или так называемой волновой функцией. Последняя в случае устойчивого атома зависит только ot пространственных координат, например х, у, г, и может быть найдена в вИде так называемой собственной функции путем рещения некоторого дифференциального уравнения в частных производных (независимого от времени уравнения Шредингера). Обычно существует большое число таких решений, н каладой собственной функции соответствует определенное собственное значение энергии Однако бывает и так, чto одному собственному значению соответствует несколько различных собственных функций. Этот случай называется вырождением. Собственное значение энергии и соответствующая собственная функция каждого электрона определяют его состояние (орбиту) в атоме. Наглядная интерпретация собственных функций, по Борну, заключается в следующем квадрат значения х, у, г), умноженный на элемент объема = йхйуйг в точке х, у, г, т. е. представляет собой критерий ве- [c.47]

Как и в других уравнениях волнового движения, интегрирование волнового уравнения дает стационарные решения функции лишь для определенных собственных значений полной энергии Е, определяемой квантовыми числами п, равными 1, 2, 3. . . . После подстановки значений и га в дифференциальное уравнение (19) путем интегрирования получают большое число решений, каждое из которых представляет как функцию пространственных координат. Эти уравнения называются орбитальными волновыми функциями или просто орбиталями. Каждая из них определяет одно возможное состояние электрона в атоме, характеризующееся как своей энергией, так и своей геометрией, [c.79]

Другим фактором, влияющим на вероятность ядерного перехода, является изменение четности системы. Ядерное состояние может быть четным или нечетным в зависимости от того, меняет ли волновая функция знак при изменении знаков всех пространственных координат системы. Собственно говоря, четность — это более общая форма азимутального квантового числа, и так же, как электронный переход зависит от квантового числа /, ядерный переход зависит от изменения четности. Вместо того, чтобы рассматривать 5-, р-, й-, /-состояния, можно говорить о четности или нечетности-, четные /-состояния, такие, как -, й -, имеют четную природу, а состояния р-,[-,к--нечетную природу. Таким образом, при рассмотрении переходов между различными ядерными состояниями одно из квантовых условий будет связано с тем, изменяется или нет четность. [c.406]

Вернемся на этом этапе к понятию спина электрона. Напомним, что спином называется свойство электрона, которое может быть по аналогии с классической механикой интерпретировано как собственный момент количества движения Проекция его на любое выбранное направление, как было отмечено выше, принимает два значения +1/2 А и -1/2 А Состояние электрона будет характеризоваться пространственными координатами и значением спина В соответствии с этим волновая функция каждого электрона запишется в виде у = y l(x,y,z)a или , где — рассмотренная выше волновая функция, характеризующая пространственное расположение электрона, а или р — спиновые составляющие полной волновой функции Функция а соответствует проекции спина +1/2 А, а функция р--1/2 А Значение спина следует рас- [c.66]

Чтобы обсудить метод валентных схем более подробно, надо уяснить представление о собственном угловом моменте электрона — о спине. Как показало изучение атомных спектров, состояние электрона полностью не характеризуется его пространственным положением. Обычно волновая функция электрона может быть представлена в виде произведения двух функций, в одной из которых аргументом являются пространственные координаты, а в другой — спиновые. Спин электрона (если рассматривать его проекции на оси координат) может принимать лишь два противоположных значения. [c.42]

При учете спина необходимо вместо волновых функций Ф рассматривать волновые функции г з, содержащие спиновые координаты. Функции ) должны, во-первых, быть антисимметричными по отношению к перестановкам между собой пространственных и спиновых координат любых двух электронов и, во-вторых, являться собственными функциями спиновых операторов и б г- [c.78]

Решение волнового уравнения для атома водорода включает три квантовых числа п, I и nti (ср. с решением для трехмерного ящика), каждое из которых имеет определенный набор разрешенных значений. Решение, найденное для конкретного набора п, I и rni, называется собственной функцией и соответствует одной атомной орбитали водорода. Полное графическое изображение решения волнового уравнения будет, таким образом, четырехмерным, с тремя пространственными координатами (декартовыми X, у. Z или полярными г, 0, ф) и четвертой координатой — функцией Ч . Поэтому волновую функцию Ч часто разделяют на три составляющие, каждая из которых — функция только одной пространственной переменной при использовании полярных координат электрона по отношению к ядру волновая функция принимает выражение [c.26]

Вопрос о роли спина в теории многоэлектронных систем не нов, он возник уже в конце 1920-х гг. Суть проблемы состояла в том, что гамильтониан такой системы" (например, молекулы) в нерелятивистском приближении не зависит от ее полного спина (5) и, каза лось бы, его собственные значения (т. е.. значения энергии) также не должны зависеть от 5. Между тем, как мы уже видели на примере молекулы водорода, наблюдаемые в действительности значения энёргии существенно зависят от того, в каком спиновом сбг стоянии находится многоэлектронная система. Это противоречие было формально разрешено в принципе антисимметрии, согласно которому, напоминаем, Ы- электронная волновая функция должна быть антисимч метричной относительно перестановки переменных любой пары электронов. При этом в число переменных, наряду с тремя пространственными, скажем, декартовыми, координатами,. обязательно должны входить спиновые переменные (о) электронов. [c.157]

Свойства симметрии комплексных, нормальных координат Qr(q) нам известны они определяются неприводимыми представлениями пространственной группы симметрии кристалла (гл. 4, 4). В силу того что Pr(q)= Qr(q), момент i r(q) имеет ту же симметрию, что и Qг(q). Соотношение (2.32) и подобные ему соотношения говорят о том, что операторы Ь% и b- r имеют такие же свойства симметрии, как и нормальная координата Qr(q) Точно так же, заменив q на —q, видим, что операторы и при операциях симметрии преобразуются по закону Рг(—q) = Qp(q). Пусть фо будет функцией вида (2.19), у которой все квантовые числа ицл равны нулю. Она описывает состояние, в котором в кристалле нет фононов — состояние фононного вакуума. Это единственное невырожденное состояние можно предположить, что соответствующая функция фо инвариантна по отношению ко всем операциям пространственной группы симметрии кристалла. Симметрия состояния фонона (я, г), описываемого собственной функцией определяется симметрией Ь г- Таким образом, она оказывается такой же, как симметрия координаты Qr(q). [c.192]

X. е. его точечная группа симметрии определяется одноэлектронными операторами первого члена (7.1.2), так как второй член (межэлектронное взаимодействие) зависит только от разностей координат электронов и потому инвариантен относительно преобразований пространственной симметрии. В 4.2 мы видели, что принадлежащая собственному значению энергии Е волновая функция имеет трансформационные свойства базиса неприводимого представления размерности g точечной группы симметрии [c.165]

В рассматривавшихся до сих пор примерах атома Не и молекулы Hj не возникало никаких серьезных трудностей при составлении линейных комбинаций детерминантов, дающих собственные функции операторов полного спина и S эти собственные функции можно было выразить в виде функций-произведений, составляемых из пространственных и спиновых функций, каждая из которых оказывалась симметричной или антисимметричной при перестановках пространственных или спиновых электронных координат симметричные спиновые функции соответствовали состоянию 5 = 1, М=0, 1 (триплет) и антисимметричные — состоянию 5=Л1=0 (синглет). Мы говорим, что спины электронов векторно связаны в результирующий спиновый угловой момент 5 = 1 или 5=0 в зависимости от того, параллельны или антипараллельны оба связываемых спина, каждый из которых имеет значение [c.83]

Если рассматриваемая система или часть ее состоит из тождественных частиц, например электронов, то на функцию Т накладывается существенное дополнительное условие, определяемое свойствами симметрии такой системы. В этом дополнительном условии важную роль играет спин электрона, т. е. его собственный момент количества движения. Поскольку электронный. спин может иметь две проекции на любую фиксированную в пространстве ось, то для характеристики спина вводится специальная спиновая координата, которая может принимать два значения. Таким образом, волновая функция системы электронов зависит от четырех координат каждого электрона (три пространственных и одна спиновая). Упомянутое дополнительное условие, накладываемое на функцию Ч ", состоит в том, что волновая функция системы электронов должна быть обязательно антисимметрична по отношению к перестановке четырех координат любых двух электронов, т. е. меняет знак при этой операции. Если набор координат А -го электрона обозначить через г ,., — спиновая коор- [c.89]

Напомним, что не зависит от времени.) Таким образом, спектр собственных значений оператора I определяет эволюцию каждой функции а следовательно, и в масштабе времени г . Разумеется, зависит от пространственной координаты (но не от г ), поэтому в I параметром входит г. Вследствие этого спектр собственных значений может меняться при изменении координаты. Собственные значения можно найти из уравнения [c.165]

Исчезновение различных членов разложения матричного элемента в ряд имеет определенное теоретическое обоснование. Общее изменение спина (А/) ядра для перехода должно быть равно целому числу величин /г/2зт, и точно так же, как это было найдено для атомных переходов, существуют некоторые правила отбора, которые определяют величину изменения спина и для ядерных превращений. В первоначальной теории Ферми использовал для разрешенных переходов правило отбора А/ = 0. Это частное правило отбора получено в результате использования простейшей из пяти основных форм ядерного взаимодействия, которые совпадают с теорией. Оказалось, что существует некоторое несовпадение между теорией и экспериментом в этом простом типе взаимодействия. Более сложная форма была использована Гамовым и Теллером и привела к правилу отбора А/= О, 1. Хотя не существует теоретического обоснования для формы взаимодействия, выбранной Гамовым и Теллером, оказалось, что совпадение между теорией и экспериментом вполне хорошее. Другим фактором, влияющим на вероятность ядерного перехода, является изменение четности системы. Ядерное состояние может быть четным или нечетным в зависимости от того, меняет ли волновая функция знак при изменении знаков всех пространственных координат системы. Собственно говоря, четность — это более общая форма азимутального квантового числа, и так же, как электронный переход зависит от кван- тового числа I, ядерный переход зависит от изменения четности. Вместо того, чтобы рассматривать р-, й-, /-состояния, можно говорить о четности или нечетности-, /-состояния, такие, как 5-, д-, имеют четную природу, а состояния р-, к—нечетную природу, Таким образом, при рассмотрении переходов между различными ядерными состояниями одно из квантовых условий будет связано с тем, изменяется или нет четность. [c.387]

Гамильтониан любой системы остается инвариантным при любом изменении системы координат и любой перестановке эквивалентных частиц. Если входящие в систему индивидуальные частицы обладают собственной (внутренней) симметрией (собственным угловым моментом, или спином), то полная группа симметрии гамильтониана должна также включать и эту симметрию. Взаимосвязь между внутренней симметрией и перестановочной симметрией приводит к перестановочным ограничениям, налагаемым на волновую функцию системы (т. е. к принципу Паули). В этой главе мы сосредоточим внимание на симметрии, связанной с изменением системы координат, т. е. на пространственной симметрии. [c.264]

Наиболее общая формулировка принципа Паули основана на учете свойств перестановочной симметрии. Для систем, состоящих из фермионов (частиц с полуцелым собственным угловым моментом, т. е. с полуцелым спином), полная волновая функция должна быть антисимметричной по отношению к перестановке двух эквивалентных частиц. Волновую функцию отдельной частицы можно рассматривать как произведение функции пространственных координат (орбитали) и функции спиновых координат (собственного углового момента). Тогда многочастичную волновую функцию можно записывать как произведение спинорбиталей, т. е. пространственных и спиновых функций каждой частицы. Окончательный результат представляет собой произведение функций всех спиновых и всех пространственных координат системы. [c.135]

Как и предполагалось еще несколько лет тому назад [147, 148], вполне возможно, что для элементов, у которых энергии связи 5/-и 6й-электронов почти равны, электроны 5/ и 6с (и внешние) в некоторых соединениях и комплексных ионах участвуют в образовании химической связи. Это создает возможности для образования связей. Майер теоретически доказала, что собственные /-функции ведут себя совершенно своеобразно по сравнению с 5-, р-или -функциями [149]. Собственные /-функции при некоторых значениях атомного номера испытывают внезапные изменения в пространственной и энергетической системах координат. Эффективная потенциальная энергия /-электрона в поле остающегося атома имеет две отрицательные области, расположенные после минимума, наблюдаемого в районе Z=47. Вначале внешний минимум потенциала является преобладающим, так что собственные 4/-функции имеют в этом месте максимум и являются внешними функциями, т. е. пространственно они достигают или выходят за пределы 5й- и б -функций. Однако 4/-оболочка находится в более высоком энергетическом состоянии, чем 5й или 6 , и поэтому эти две оболочки заполняются первыми. С увеличением порядкового номера внутренний потенциальный лганимум становится более глубоким, причем настолько быстро, что он уже определяет характер 4/-функций в небольшом интервале значений Z форма кривой резко изменяется и начинает соответствовать внутренней орбите. Быстрое уменьшение потенциала вызывает настолько сильное падение энергии, что 4/-уровень начинает заполняться с церия (2=58), и с этого момента 4/-функции находятся уже внутри 5 - и 5р-электронных оболочек. Об этом свидетельствует незначительное влияние /-электронов на валентные свойства атомов редкоземельных элементов. [c.515]

Однако из квантовой механики известно, что с учетом собственного момента количества движения электрона (спина) в силу принципа Паули волновая функция системы электронов должна быть антисимметричной по отношению к перестановке координат (пространственных и спиновых) двух электронов, т. е. менять знак на обратный при такой перестановке. Приведенные выше два произведения 1 ,1 на 11)( в отдельности не отвечают этому требованию, но из них можно составить такие линейные комбинации, к-рые в сочетании с соответствующими спиновыми функциями удовлетворяют необходимым условиям антисимметрии. Ими будут [c.314]

Часто имеет смысл разделить переменные, описывающие различные свойства системы, например ее спиновые (5) и пространственные (г) координаты. В этом случае волновую функцию следует записывать в виде произведения двух функций Ф(г,5) = Ф(г)Ф(5). Если эти два набора переменных действительно независимы, такая форма записи является точным равенством. Однако во многих случаях подобный способ описания представляет собой лишь некое приближение. Так, например, при описании состояния молекул обычно стремятся выделить волновые функции электронов характеризующие систему при некотором фиксированном положении ядер, и собственно волновые функции ядер [c.13]

В определении нормальных координат существенную роль играет симметрия системы. Действительно, так как уравнение (IV. 1) есть уравнение Шредингера с гамильтонианом, обладающим той же симметрией, что и пространственная симметрия системы, то его собственные функции и значения (а вслед за ними и Ыа) должны классифищфоваться по неприводимым представлениям группы симметрии задачи (см. раздел IX. 4). Иначе говоря, неприводимые представления группы симметрии соединения определяют типы симметрии возможных нормальных колебаний, а вместе с ними — форму колебаний, кратность вырождения частот и др. Оказывается, что, используя методы теории симметрии, можно сравнительно просто заранее определить эти харак-теристики [27, 132]. [c.95]

Если a была собственной функцией операторов 8 , Sy и 8 , это означало бы, Что можно одновременно и абсолютно точно измерить три составляющих спинового момента электрона. В свою очередь такие измерения точно определили бы ось спина. Рассмотрим ось, проходящую под прямым углом к оси спина. Угловая координата электрона относительно этой оси была бы точно иавестна, так же как и соответствующий угловой момент (равный 0). Поскольку эти величины представляют собой сопряженную пару пространственных координат и импульсов, такой результат нарушал бы принцип неопределенности. [c.325]

Как обычно, мы пренебрегаем спин-орбнтальным взаимодействием, так что оператор Гамильтона Н — функция только пространственных координат [уравнение (2.43)]. Поэтому Н коммутирует с операторами 5 и и, следовательно, любая собственная функция оператора Н должна быть одновременно собственной функцией операторов и а также собственной функцией операторов углового момента Мг и М . Далее, компонента полного спинового момента вдоль оси 2 равна сумме вкладов отдельных электронов то же справедливо для соответствующей компоненты Мг полного углового момента. Каждое микросостояние на рис. 9.1 является собственной функцией операторов Мг и 8г с собственными значениями, которые могут быть легко найдены сложением соответствующих значений для отдельных электронов. Рассмотрим, например, микросостояние /. В нем электроны имеют противоположные спины, так что их вклады в 8г равны - -Ь 2 и —Й/2 соответственно и 5г-компонента полного спинового момента равна -)-й/2 — й/2, т. е. нулю. Аналогично один электрон занимает 2ро-АО с Мх = О, а второй — 2р 1-А0 с Мг = —Ь. Компонента Мг полного углового момента равна, таким образом. О, й или —Ь. [c.461]

Если в уравнении Пуассона — Больцмана считать диэлектрическую проницаемость заданной функцией не пространственных координат, а электрического поля, то сам вид уравнения меняется. Такое уравнение называют модифицированным [75, 157]. Кроме диэлектрического насышеиня в нем учитывается также собственный объем противоионов. Рассмотрим оба эти. фактора по отдельности. [c.183]

Как видно, решение (IV.2.14) содержит два множителя, зависящие от времени t и пространственной координаты. Множитель ехр(гА г) (аналогичный синусоиде siniir r) в (IV.2.6) характеризует отклонение от однородного стационарного состояния в точке г для собственных функций с волновым числом к = кп = пк/1) (ср. (IV.2.6)). Множитель exp pt) дает динамику отклонений во времени. Подстановка (IV.2.14) в уравнения для 5(i, г) и y)(i, г) (аналогично подстановке (IV.2.10) в (IV.2.9)) дает дисперсионное нахождение показателя р (ср. (1.3.16)) [c.94]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология