Правильный симплекс

Симплексный метод планирования эксперимента и оптимизации. В сравнительно недавнее время появились работы з1-зз в которых предлагается на стадии восхождения использовать симплексный -метод планирования экспериментов (симплекс-планирование). Начиная восхождение, планируют исходную серию опытов так, чтобы точки, соответствующие условиям проведения этих опытов, образовывали правильный симплекс в многомерном. факторном пространстве. Под правильным симплексом понимается совокупность А +1 равноудаленных друг от друга точек в /с-мерном пространстве. В одномерном пространстве симплексом является отрезок прямой. Для двух факторов симплексом служит равносторонний треугольник, для трех факторов правильная треугольная пирамида — тетраэдр и др. [c.210]

Одним из методов экспериментального поиска оптимума является симплексное планирование [9]. Оно заключается в том, что вначале для к входных переменных ставят (к + 1) опыт. Эти опыты планируют так, чтобы в /с-мерном пространстве (пространстве входных переменных) точки, полученные сочетанием безразмерных переменных в каждом опыте, образовывали правильный симплекс. [c.65]

Выбор вида исходного симплекса вызывает некоторые затруднения, но обычно пользуются правильным симплексом — фигурой с равными сторонами- Это требует перехода от размерных переменных к безразмерным (стр- 26)- [c.186]

Рис. 14. Оптимальная проекция га-мерного правильного симплекса на плоскости чертежа

При использовании симплексных планов требуется переход от размерных переменных к безразмерным, как и при использовании ПФП и ДР. Выбор вида исходного симплекса вызывает некоторые затруднения. В ранних работах пользовались правильным симплексом — фигурой с равными сторонами. В случае трех переменных исходным симплексом может быть равносторонний тетраэдр со стороной, равной единице (высота тетраэдра составляет около 0,82 его стороны). Для случая, когда 2 его грань представляет собой равносторонний [c.35]

Для простоты всей процедуры планирования лучше использовать правильный симплекс. Этот исходный симплекс перемещается по поверхности отклика следующим образом. Из опытов первой серии выбирают точку с наихудшим результатом критерия оптимальности и исключают ее. Затем определяют координаты новой точки, представляющей собой зеркальное отражение точки с наихудшим результатом относительно противоположной грани симплекса. Получается новый симплекс, смещенный в сторону улучшения результатов. [c.150]

Очевидно, что в этот квадрат можно вписать множество симплексов. Однако сразу же надо отказаться от неправильных симплексов, т. е. в данном случае от неравносторонних треугольников, поскольку правильность симплексов важна с практической точки зрения, так как гарантирует простоту реализации всей процедуры поиска оптимума. [c.154]

Рассмотрим еще один правильный симплекс сМ и соответствующую ему матрицу. [c.155]

Симплексом называется множество (/с+1) независимых точек в к-мерном пространстве, образующих выпуклую фигуру. Показано, что минимальное число экспериментальных точек, необходимое для линейного приближения поверхности отклика, образует правильный симплекс для к = 2 равносторонний треугольник, для к = 3 тетраэдр. Вообще правильным будет симплекс, все вершины которого равноотстоят друг от друга, причем это обеспечивает ротатабельное планирование первого порядка. [c.454]

В качестве начального симплекса при применении симплексного метода поиска лучше всего использовать правильный симплекс со всеми вершинами и гранями, соответственно одинаково удаленными от центра симплекса. Для таких начальных симплексов поиск производится наиболее эффективно. Примерами правильных симплексов на плоскости и в трехмерном пространстве являются соответственно равносторонний треугольник и тетраэдр, образованный равносторонними треугольниками. [c.515]

Процедура поиска оптимума напоминает изложенную выше оптимизацию методом крутого восхождения , но еще проще и не требует описания даже исходной области. Первый этап оптимизации симплекс-методом заключается в выборе центральной точки я построении вокруг нее правильного симплекса. Центральная точка может выбираться практически в любом месте, и нет необходимости начинать исследование вдалеке от ожидаемого экстремума, как это рекомендовалось в методе крутого восхождения . Однако выбор интервалов варьирования факторов (масштабы по осям) не совсем произволен — они не должны быть ни слишком большими, ни слишком малыми, что определяется ходом собственно поиска экстремума. После реализации симплекс-плана первого порядка сравнивают результаты опытов и выбирают наихудший. Можно полагать, что экстремум функции будет находиться от центра в направлении, противоположном радиусу-вектору наихудшего опыта, поэтому исходный симплекс опрокидывают в направлении ожидаемого экстремума. Отбросив наихудший опыт и поставив новый в симметричной точке, мы тем самым построим новый, правильный симплекс, с которым вся процедура. поиска новой наихудшей точки, опрокидывания симплекса и т. д. повторяется вновь. [c.457]

Доказано [5], что при применении правильных симплексов направление движения в симплексном методе совпадает с направлением градиента, если, естественно, симплекс достаточно мал. Вместе с тем, реализация данного метода не требует существенного увеличения вычислительных затрат с повышением размерности решаемой задачи, поскольку на каждом шаге рассчитывается только одно значение целевой функции независимо от числа переменных. В то же время при использовании градиентных методов поиска с возрастанием числа независимых переменных соответственно увеличивается число вычисляемых значений целевой функции при расчете производных по всем переменным. [c.515]

Наиболее простой метод математического планирования эксперимента— симплекс-метод. Он предложен в 1962 г. Спиндлеем для оптимизации дискретных процессов. Правильным симплексом называется совокупность л+1 равномерно удаленных друг от друга точек в л-мерном пространстве, где п — число факторов, влияющих на процесс. В одномерном пространстве симплексом является отрезок прямой. Для двух факторов правильный симплекс представляет собой равносторонний треугольник, для трех факторов — тетраэдр и т. д. [c.150]

Для двухкомпонентных систем симплекс — прямая содержание компонентов определяется соотношением отрезков. При 9—З правильный симплекс — равносторонний треугольник. Каждая точка треугольника отвечает одному определенному составу тройной системы и, наоборот, [c.268]

При q—A правильный симплекс — тетраэдр, каждая вершина которого соответствует чистым компонентам. Ребро представляет собой двухкомпонентную систему, грань — трехкомпонентную. Точки внутри тетраэдра соответствуют четырехкомпонентным системам. Так, компонент X, отсутствует на грани х х , а по сечениям тетраэдра, приближающимся к верщине х,, содержание компонента х, увеличивается. [c.269]

Дадим геометрическую интерпретацию результатов предыдущего раздела. Сначала рассмотрим вопрос о построении в правильном симплексе (его правильность следует из (1)) с заданной точкой с точки минимума с функции С на Ва- [c.272]

Для двухкомпонентных систем симплекс — прямая содержание компонентов определяется соотношением отрезков. При <7 = 3 правильный симплекс — равносторонний треугольник. Каждая точка треугольника отвечает одному определенному составу тройной системы и, наоборот, каждый состав представляется одной определенной точкой. Состав может быть выражен в мольных, весовых или объемных долях или процентах. Вершины треугольника соответствуют чистым веществам, стороны — двойным системам. Опус- [c.249]

После проведения первой серии опытов выявляется точка (опыт), отвечающая условиям, при которых получаются наихудшие результаты. Эта точка заменяется новой, представляющей собой ее зеркальное отражение относительно противоположной грани симплекса (гранью называют совокупность п точек -мерного симплекса). Указанная точка вместе с оставшимися снова образует правильный симплекс, центр тяжести которого смещен по сравнению с исходным в направлении худшая точка — центр тяжести остальных точек. Это направление в общем случае не является наиболее крутым, однако оно обращено в сторону повышения качества процесса. [c.315]

Доказано, что для нахождения коэффициентов приведенной формы регрессионного уравнения вида (I -206) надо поставить эксперименты, координаты которых расположены внутри (к—1)-мерного правильного симплекса, если число компонентов смеси равно к. [c.461]

Для /С = 3 двумерный правильный симплекс — равносторонний треугольник (рис. 115)—получается, если соединить в декартовой системе координат точки Xi= 1, т. е. выполнить условие нормирования. Координаты точек такого симплекса удобно записывать в треугольной системе координат, где вершины треугольника отвечают Xi — 1 (рис. 116). Они не обязательно соответствуют чистому компоненту данной смеси, а лишь соответствуют максимальной его добавке к основному веществу (катализатору, полимеру и т. д.), удовлетворяющей условию нормирования. На рис. 116 показано нахождение состава, отвечающего точке М в треугольных координатах. Стороны симплекса отвечают двухкомпонентным смесям, точки внутри треугольника — тройным смесям. Для четырехкомпонентной смеси симплекс будет представлять собой тетраэдр с двойными смесями на ребрах, тройными — на гранях и четырехкомпонентными — внутри тетраэдра. [c.461]

Приведем способ построения правильного симплекса , предложенный в работе [17]. Координаты вершин правильного симплекса для любого числа факторов приведены в табл. 27. [c.65]

Вершины правильного симплекса равно удалены от центра. [c.65]

Координаты вершин правильного симплекса для кодированных переменных [c.66]

Правильный симплекс — фпгура, все вершины которой находятся на равном расстоянии друг от друга. Правильным симплексом на плоскости (к = 2) является равносторонний треугольник, в пространстве к = 3) — равносторонний тетраэдр. [c.65]

В программе автоматической оптимизации используется метод последовательного комплекс - планирования. Исходная точка при оптимизации задается с пульта уставок, относительно этой "точки Т й по программе оптимизации планирует эксперимент (меняя увта -ки), отдельные опыты которого располагаются в вершинах правильного симплекса в относительных единицах (переход к новому опыту осуществляется пооде окончания предыдущего). В каждом опыте по программе оцениваются расчетным путем величины удельных затрат и определяется производстьенный режим с наименьшими удельными затратами при учете ограничений на величины регулируемых переменных и показателей качества готового продукта (производительность задается). [c.149]

Строению многокомпонентных систем первого класса соответствует структура простеЙ1пих многомерных фигур — правильных симплексов. [c.23]

На стадии восхождения удобно использовать симплекс-, ный метод планирования экспериментов (сиплекс-планирование), в соответствии с которым исходную серию опытов планируют так, чтобы точки, соответствующие условиям проведения этих опытов, образовывали правильный симплекс в многомерном факторном пространстве. Под правильным симплексом понимается совокупность k+ равноудаленных одна от другой точек в 1 -мерном пространстве. В одномерном пространстве симплексом является отрезок прямой, для двух факторов симплексом служит равносторонний треугольник, для трех — правильная треугольная пирамида — тетраэдр и т. д. [c.111]

Такие фигуры представляют собой сечения симплексов более высокой мерности и, в свою очередь, могут быть подразделены на симплексы. Енеке показал, что трехмерная трехгранная призма подразделяется двумя треугольными сечениями на три тетраэдра. Радищев установил, что четырехмерный тетраэдрический гексаэдроид разделяется тремя тетраэдрами на четыре пентатопа [19], Отсюда следует, что аналогичная фигура пятого измерения может быть разбита при помощи четырех нентатопов на пять гексатопов, что вообще фигура данного типа п-го измерения может быть разбита при помощи (п — 1) правильных симплексов (п — 1)-го измерения на п симплексов п-го измерения Укажем, что если бы мы захотели изображать систему второго класса КЦ2 при помощи симплексов, то каждый такой симплекс отвечал бы примерно 1/К части системы. Неудобство заключалось бы при этом не только в большом числе фигур, но в диаграммах состояния приходилось бы считаться с возможностью распространения областей кристаллизации отдельных фаз, образованных (К—1)-компонентами, вне пределов соответствующего симплекса. Но такое весьма вероятное положение, ввиду обратимости реакций взаимного обмена, создало бы дополнительные трудности. [c.28]

Для изображения многокомпонентных систем первого класса применяются правильные симплексы — пентатоп, гексатоп, гепта-топ и т. д. Оптимальные проекции пентатопа, гексатопа или любого п-мервого симплекса представляют собой проекции на треугольные грани соответствующих фигур. [c.58]

Если теперь из гиперкуба выделим два правильных симплекса, опираюш,ийся каждый на четыре противоположные вершины [c.167]

Планы первого порядка, О-оптимальиые при ограничениях на кубе, также О-оптимальны на шаре, в который вписан этот куб. Кроме того, на шаре можно построить другие О-оптималь-ные линейные планы. Например, планы, для которых число наблюдений в вершинах любого вписанного в шар правильного симплекса будет одинаково. [c.91]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология