Выбор условий для решения уравнений

Разнообразие предложенных методов расчета ректификации (а также абсорбции) многокомпонентных смесей от ступени к ступени связано в основном со вторым условием решения уравнений методом последовательных приближений — выбором начальных данных и критерия сходимости задачи. Однако ввиду многообразия разделяемых смесей и большого различия их свойств пи один из методов решения нельзя считать универсальным. [c.506]

Нахождение граничных и начальных условий представляет весьма сложный вопрос, так как далеко не всегда ясно, как должны быть построены эти условия и какие сведения они должны выражать. Обычно они определяются из опыта и, следовательно, не могут быть найдены абсолютно точно. Поэтому при решении задачи всегда неизбежна некоторая погрешность, обусловленная погрешностью начальных и краевых условий. К отысканию последних необходимо относиться внимательно, так как правильный выбор их в значительной мере определяет единственность и достоверность результатов решения уравнений математического описания. [c.10]

В прикладных задачах приходится решать дифференциальные уравнения, для которых условия выбора единственного решения заданы в нескольких точках интервала определения интегральной кривой. Например, может оказаться, что для системы п уравнений первого порядка [c.379]

Хотя уравнение движения и дает информацию о возможных способах создания повышенного давления, выбор реальных конструкций, с помощью которых можно обеспечить эффективное использование этих принципов, а также выбор граничных условий для решения уравнения движения являются предметом творческого инженерного подхода к решению задач конструирования оборудования для переработки конкретного полимера. [c.306]

Выражение (2.28) называют условием нормировки волновой функции. Из уравнения (2.27) можно видеть, что энергия частицы не зависит от выбора нормировки. Если — решение уравнения (2.27), то (где к — произвольная постоянная) такл е будет решением этого уравнения. Если имеется ненормированное решение уравнения (2.27), его легко можно нормировать, умножив на постоянную Л , определяемую соотношением [c.25]

Явления, связанные с действием сил поверхностного натяжения при выращивании из расплава кристалла, изучены мало. Можно назвать лишь несколько работ [29—32], где на основании приближенных решений уравнения Лапласа даются рекомендации по выбору условий вытягивания из расплава кристаллов определенной формы. [c.95]

Из-за сложных нелинейных правых частей этих уравнений возникают трудности при их решении и выборе условий однозначности. Эти трудности не удалось преодолеть в работах [1, 3]. При этом в работе [1] вообще не удалось получить правильного решения системы уравнений (1), (2), а в работе [3] решение уравнений (3), (4) удалось получить только для частного случая. В работе [2] метод решения уравнений не рассматривался. [c.181]

Тепловые эффекты в пограничном слое должны быть хорошо описаны этой моделью, если не рассматривается непосредственное окружение щелей. С другой стороны, это отрицает тот факт, что -в данном устройстве на гидродинамический пограничный слой будет также влиять продувание жидкости через щели. Было показано, однако, в предыдущих разделах, что локальные изменения в поле потока оказывают только вторичный эффект на процесс переноса тепла. Математически выбор пашей модели означает, что уравнение для скоростного пограничного слоя при постоянных свойствах является таким же, как и на твердой стенке, и что распределение стоков и источников тепла задано дополнительно к уравнению энергии пограничного, слоя. Последнее уравнение является линейным для случая постоянных свойств газа. Это означает, что решение уравнения энергии может быть получено путем наложения двух решений, одно из которых учитывает сосредоточенные стоки тепла только как пограничное условие, в то время как другое решение получено для распределенных источников или стоков. Это последнее решение будет идентично с теми, которые были получены прежде на твердых поверхностях для соответствующего распределения теплового потока. Поэтому перенос тепла будет описан коэффициентами теплообмена ао на твердой поверхности, а тепловой поток от стенки найдем из Следующего соотношения [c.381]

Выбор начальных и граничных условий, необходимых для решения уравнения (2.1), зависит от условий работы источника и свойств подстилающей поверхности. [c.59]

Градиентный метод, или метод производных моментов, основан на решении системы алгебраических уравнений, составленных исходя из классической схемы радикальной полимеризации, при определенном выборе условий эксперимента (например, отсутствие передачи цепи на полимер). [c.114]

Выбор начальных и граничных условий. Определение постоянных интегрирования. Чтобы использовать изображение решения уравнения диффузионной модели (У.бб) для конкретного случая, необходимо определить постоянные интегрирования и 2. С этой целью нужно выбрать начальные и граничные условия. [c.111]

В литературе решение уравнения (4.4) рассматривается с тремя разными граничными условиями для канала бесконечной, полубесконечной и ограниченной длины. Выбор граничных условий зависит от конструкции аппарата и методики проведения эксперимента по изучению продольной турбулентной диффузии. Наиболее близкими к реальным условиям течения газожидкостных потоков в массообменных аппаратах являются граничные условия для канала конечной длины, в соответствии с которыми распределение концентраций трассера рассматривается по всей длине аппарата или контактного устройства, а за пределами аппарата принимается отсутствие турбулентной диффузии в потоке [c.128]

В частности, возникает задача, связанная с выбором граничных условий для случая, когда в системе, связанной с потоком, член, учитывающий диффузию, мал. Для случая, рассмотренного в разд. 2.1, требовалось граничное условие для потока, текущего вниз. Исходя только из физических соображений, можно предложить решение задачи путем записи уравнения для одной части потока и уравнения для расположенной ниже другой части потока, а также потребовать, чтобы условия на выходе первой части потока соответствовали условиям на входе для второй части потока. Если система состоит из множества пО следовательных частей, то при решении уравнений (в соответствии с логикой) должны учитываться требования такого рода ) [c.223]

Решить систему уравнений (III. 47), (III. 49) относительно С и А можно только прп определенном выборе условий эксперимента (отсутствие передачи цепи на полимер или ее независимое определение). Важно отметить, что в уравнение входят две переменные Л и С, в то время как уравнений (число моментов ММР) может быть больше. Однако в правых частях стоят экспериментальные величины, определенные с погрешностью. Кроме того, некоторые моменты вычисляются по хвостам ММР, т. е. определяются с большей погрешностью. Поэтому необходима проверка получаемых решений с привлечением не двух, а большего числа моментов. [c.220]

В тех случаях, когда внешнее температурное возмущение не выходит на стационарный режим и условие (3.291) нарушается, для улучшения сходимости приближенного решения выбор оптимальной системы базисных координат производится следующим образом. В качестве первой координатной функции с точностью до постоянного множителя берется решение уравнения (3.290) для периода квазистационарного режима. Например, при линейном подъеме температуры на границе [ф (Fo) =Го(1+Р0 Fo) ] положим [c.152]

В отношении выбора функций, принимаемых для представления распределений скорости, никаких общих правил установить невозможно. В принципе в равной мере допустимо использование функций любого вида. Однако существенные преимущества создает применение функций, построенных на основе результатов точных решений. В работе К. Польгаузена использованы степенные полиномы (полиномы четвертой степени). Согласование полиномов с граничными условиями приводит к уравнениям для определения содержащихся в них коэффициентов. Что касается таких индивидуальных особенностей процесса, как физические свойства жидкости и скорость ее натекания на тело, то влияние их должно быть отражено в решении через критерий Рейнольдса. Но из предыдущего ясно, что посредством соответствующего выбора переменных решению можно придать автомодельную форму, и, таким образом, исключить критерий Ке из числа аргументов. Разумеется, в приближенной теории пограничного слоя автомодельные решения играют столь же важную роль, как и в точной. [c.141]

В этих условиях, когда невозможно убедиться, что задача поставлена правильно, когда выбор системы исходных уравнений и условий единственности решения не подкрепляется моделью процесса, должным образом обоснованной в целом и в существенных деталях, применение метода характеристических масштабов с целью получения универсальных зависимостей было бы соверщенно бесплодным. Поставим перед собой более ограниченную задачу попытаемся использовать возможности метода для анализа связей между исходными представления- [c.296]

Выбор оптимальных решений относится к классу вариационных задач, состоящих в решении системы уравнений со многими неизвестными при дополнительном условии, что некоторая функция этих неизвестных, называемая целевой, принимает экстремальное значение. [c.153]

Недостатки этого метода проб и ошибок присущи любому численному методу решения граничных задач, необязательно связанных с вариационным исчислением. Во-первых, возникает проблема выбора подходящего приближенного уравнения. В приведенном выше примере использована только одна из многих возможностей. Во-вторых, нужно правильно выбрать величину шага Д. Оба эти вопроса тесно связаны между собой, так как численное решение дифференциальных уравнений всегда требует исследования сходимости и устойчивости. Третья проблема состоит в отыскании такого способа получения исходного приближения для начального значения производной, которое существенно уменьшало бы число проб. Четвертая проблема связана с многомерными задачами, когда примеры, аналогичные приведенному выше, приходится решать для многих переменных. В этом случае нередко оказывается, что при некотором выборе начальных значений производных граничные условия удовлетворяются лишь для части переменных. Чтобы удовлетворить всем граничным условиям, могут потребоваться весьма трудоемкие вычисления. Кроме того, решение, даже удовлетворяющее граничным условиям, может быть не единственным. [c.110]

В работах [1—4] были предложены методы теоретического расчета процесса гомогенизации дисперсных смесей применительно к двухкомпонентным системам с неограниченной взаимной растворимостью компонентов друг в друге. Схема теоретического расчета заключается в выборе геометрической модели распределения частиц в дисперсной смеси, решении уравнения диффузии с начальными и граничными условиями, соответствующими выбранной модели, и расчете распределения сплавов по концентрациям. Расчеты были проведены для металлических систем, в основном Си— Ni иРе — Ni. [c.100]

Из функций этого ряда строится решение уравнения (2-128), причем краевые условия диктуют их выбор и вид окончательной функции. Для краевых условий типа 3 функция имеет общий вид [c.109]

Ясно, что выбор нулевого приближения в виде (21.10) уже полно- тью определяет ход последовательных приближений (разумеется, с учетом условия разрешимости неоднородного уравнения в случае, когда однородное уравнение имеет нетривиальное решение). При этом решение уравнения h(H —Ц ) Ф Ц ) dH = F [R) ехр isH) с медленно меняющейся функ< [c.179]

Выбор точки обрыва кривой % = а определяется условиями измерений (точностью и чувствительностью измерительных элементов), поскольку экспериментальная кривая слулшт для оценки правильности выбора самой модели. Число уравнений в системе (11,19) определяется количеством параметров модели. Для некоторых моделей >(например, для ячеечной и для ячейки с застойной зоной, см. стр. 114) величина Mf может быть выражена в аналитической форме. В тех -случаях, когда это сделать не удается ввиду сложности аналитического решения уравнений модели, значение М следует искать непосредственным интегрированием решения уравнений модели. [c.106]

В заключение рассмотрим атом углерода. Электронную конфигурацию свободного атома можно записать в виде 18 2А 2р . Два 15-электрона па первой или 7(Г-оболочке взаимно насыщаются так же, как и 25-алектроны на второй или -оболочке. Только два 2р-электрона могут дать валентные связи с другими атомами. Если бы в действительности осуществлялась эта конфигурация, углерод оказался бы двухвалентным. Хорошо известно, однако, что углерод четырехвалентен. Чтобы объяснить этот факт, представим себе, что один из 25-электронов перешел на уровень 2р, благодаря чему возникло состояние 1.ч 28 2р . Теперь атом углерода может об. 1адать четырьмя простыми связями, три из которых обусловлены р-электронами п расположены под прямыми углами, а четвертая, обусловленная 25-электропом, безразлична к выбору направления. Эта модель, хотя она и лучше первой, все же неверна, так как противоречит хорошо известному пз органической химии алифатических углеводородов факту абсолютной эквивалентности четырех валентных связей в метане. Истолкование этого явления методами во.лновой механики дано Полингом. При этом не учитывается разница энергий 25- и 2р-элек-тропов. В основе объяснения лежит факт, что если гр(25), 2р ), (2р ) и гр (2р,) являются волновыми функциями для четырех электронов, то любая их линейная комбинация такн- е является законным решением уравнения Шредингера для атома углерода. Найдя коэффициенты, аналогичные а и Ь в уравнении (203), и использовав условие, что энергия молекулы должна быть минимальной, можпо показать [18], что четыре валентности атома углерода должны быть одинаковыми и расположенными под углом а, определяемым уравнением соза= /з. Как показано в гл. XII, это как раз угол, необходимый для построения правильного тетраэдра. [c.185]

Плодотворность подхода Бьеррума при условии подходящего выбора d была продемонстрирована Гуггенгей-мом [24] путем сравнения с результатами точного численного решения уравнения для одно-одно- и двух-двухва-лентных электролитов различных ионных диаметров. Таким же образом он показал, что одинаково хорошее согласие может быть получено при значительном интервале изменения пар d и /(. Для водного раствора двухдвухвалентного электролита величина = 10 А так же хорошо описывает экспериментальные данные, как и величина d = 14,3 А, полученная из уравнения (34), но при меньших значениях d соответствие значительно ухудшается. При = 10 А на 20% больше, чем при Н = 14,3 А. Чем меньше й, тем меньше ионов / насчитывается в непосредственном окружении и больше — на далеком расстоянии. Это приводит к увеличению а и уменьшению у, но произведение ау почти не изменяется. Следовательно, изучение электропроводности или коэффициентов активности не может являться очень точным способом определения степени ассоциации ионов. Это вообще характерно для такой ситуации, когда экспериментальные данные описываются двухпараметрической функцией. [c.259]

Существующие в настоящее время представления о динамике ионного, обмена смесей основываются ни отдельных работах, в основном экспериментального характера [1—31. Установление теоретических закономерностей связано с математическими трудностями, обусловленными решением нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Анализ экспериментальных и полученных на основе послойного метода на электронной вычислительной машине расчетных данных по динамике обмена трехкомпонентных смесей позволил более детально рассмотреть некоторые закономерности динамического метода разделения смесей [4]. Полученные результаты позволяют утверждать, что характерное для динамики смесей взаимное вытеснение ионов, а следовательно, и степень очистки, оцениваемая количеством выделенного в чистом виде вытесняемого компонента, определяется отношением констант обмена разделяемых компонентов смеси. При этом вытесняемый ион, продвигаясь по слою ионита, образует зону, в которой концентрация иона может превышать концентрацию его в исходном растворе. Пределом возрастания концентрации вытесняемого иона в ионите является полная обменная емкость, а пределом возрастания концентрации иона в фильтрате — суммарная концентрация обменивающихся ионов в исходном растворе. После достижения указанных пределов концентрации выход чистого компонента увеличивается пропорционально длине слоя ионита. Выбор условий динамического получения одного из компонентов в чистом виде определяется общими закономерностями ди-намикй сорбции. Очевидно, что динамический метод более целесообразно применять при очистке солей малосорбируемого компонента (в данном случае натрия) от более сорбируемых примесей. [c.119]

Для определения потока. 7 молекулярной диффузии компонента при известном общем диффузионном потоке необходимо найти величину стефанова потока / , т. е. отыскать средневзвешенную скорость смеси д. Для этого, очевидно, достаточно принять определенное значение весового коэффициента в уравнении (2.65) или воспользоваться условием и = 0 ,. Совокупность условий для средневзвешенной скорости смеси и, следовательно, для соотношения диффузионных потоков по уравнению (2.67) определяет скорость системы отсчета диффузионных потоков 7,. В зависимости от принятого условия для средневзвешенной скорости смеси различают следующие системы отсчета среднемольную, среднемассовую, среднеобъемную и растворителя. Выбор системы отсчета определяется условиями диффузии и удобством расчета. Естественно, что при наличии растворителя следует принимать систему отсчета растворителя, для диффузии в газе обычно принимают среднемольную, а для диффузии в жидкости — среднеобъемную систему отсчета. При совместном решении уравнений диффузии и гидродинамики удобным оказывается использование среднемассовой системы отсчета. В дальнейшем изложении принята среднемольная система отсчета, наиболее удобная при рассмотрении массопередачи в гетерогенных системах. [c.47]

В качестве нулевого прибли кения можно использовать любук> функцию, удовлетворяющую условию Т](о) (х) (х). В частности, аа нулевое приближение можно принять функцию г) (х). Расчет показал , что метод последовательных приближений малочувствителен к выбору нулевого приближения и очень быстро, начиная с третьего-четвертого приближения, сводится к решению уравнения (4.24), давая результат, отклоняющийся от точного решения не больше чем на 10—15%. [c.356]

Это уравнение является исходным для выбора условий хроматографического разделения смесей в присутствии комплексообразующих реагентов, в частности, разделения смесей р. з. э. при условии образования в системе несорбируемых катионитом комплексов. Справедливость такого вывода подтверждается тем, что такое же уравнение было получено нами с А. М. Со-рочан [10] в результате решения систем уравнений балансов ионов, участвующих в ионообменном процессе. Уместно отметить, что оно полностью передает особенности хроматографического опыта, поскольку коэффициент распределения Ка связан с типичной для хроматографии величиной Умакс (объем раствора, отвечающий максимальной концентрации компонента на выходной кривой) простым уравнением [c.285]

На рис. 16.14 схематически изображена методика расчета для каждого реагента, продукта или активированного комплекса. Нашей целью является выбор такого метода, который позволил бы провести расчеты полностью в указанном объеме с разумными затратами машинного времени. В принципе следует рассмотреть возможность использования для этого полуэмпирических и неэмпирических методов. Приходится откровенно признать, что здесь имеется еще много нерешенных проблем. Первый этап расчета (см. рис. 16.14) связан с определением минимумов на энергетической гиперповерхности каждой из компонент реакции. Минимизация энергии должна осуществляться по всем координатам h (i=h 2, п). Эта задача становится чрезвычайно трудной уже для пятиатомных несимметричных молекул, а для более сложных молекул ее решение вообще невозможно было бы получить классическим способом (путем последовательной минимизации по отдельным переменным). В неэмпирических расчетах практикуется использование экспериментальных данных о геометрии реагентов и продуктов. В отличие от этого в полуэмпирических расчетах проводят оптимизацию их геометрии при помощи одного из недавно разработанных приемов, среди которых своей эффективностью выделяется метод, изложенный в работе [28]. В сущности, этот метод представляет собой удобное сочетание итерационной процедуры метода ССП с вычислением градиента полной энергии при достижении энергетического минимума должно выполняться условие grad Е = 0. Найденные оптимальные значения координат i, (i = l, 2,. .., п) позволяют вычислить моменты инерции (следовательно, функцию рвращ), а также силовые постоянные и частоты нормальных колебаний (т. е. функцию С кол) и получить решение уравнения Шрёдингера для основного состояния [c.457]

Здесь п (0, Сеых) — выражения для скорости химической реакции. В критерий (П-2) и уравнения (П-4) параметры Vag входят в форме отношения обозначив это отношение через ц и назвав средним временем пребывания реакционной смеси, будем считать его искомой величиной. Решение у является вектором с составляющими р., 0, входной и выходной концентрациями. Таким образом, размерность у равна [2 (т. -f- 1) -f- 2]. На эти переменные наложено (т -f- 1) -f 2 условия в форме равенств (П-4). Так как число переменных больше числа условий в форме равенств, остается свобода для выбора оптимального решения. [c.50]

Первое из этих допущений уже заложено при выводе (1.8). Для теоретического анализа допущение (1.17) можно было бы принять в более общем виде А =соп8Ь Однако для определенности принимают к —ко. Решение уравнения (1.8) позволяет вычислить Сь и, следовательно, Св по формуле Св = к ь- Для решения уравнения (1.8) необходимо задать два граничных (краевых) условия. Первым из них всегда принимается условие сохранения массы у фронта кристаллизации [(1.11) или (1.13)]. Выбор второго граничного условия зависит от других особенностей направленной кристаллизации. В качестве начального условия всегда используется условие однородного распределения примеси в исходном расплаве [c.221]

Опубликованы также относительно немногочисленные работы, посвященные созданию автоматизированных подсистем, назначением которых является программное обеспечение решения задачи анализа условий паро-жидкостного равновесия. Так, в работе [143] представлен алгоритм выбора из совокупности уравнений Рейделя, Отмера и Дрейсбаха, наилучшего-для описания зависимости давления паров чистых компонентов от температуры. [c.40]

Выполнение расчетов промышленных аппаратов связано с рядом трудностей при учете влияния продольного перемешивания на процесс разделения в колонне. Трудности вычислительного характера обычно преодолевают, принимая целый ряд допущений, которые не всегда соответствуют реальному процессу. Так, например, допускают отсутствие продольного перемешивания в одной из фаз или принимают линейное равновесное распределение в рабочей области, что порой является грубым приближением. Наиболее простым методом решения уравнений математической модели с учетом обратного перемешивания является итерационный метод с заданием начального приближения по концентрации на одном конце аппарата и проверкой выполнения граничного условия на другом конце [78]. Если граничное условие не выполняется, то ыбирается новое приближение, вычисляют новый профиль концентрации по высоте аппарата и вновь проверяют выполнение условия на границе. Вычисления повторяют до тех пор, пока рассчитанное и заданное значение концентрации на границе не будут совпадать с заданной точностью. Недостаток данного метода заключается в трудности выбора начального приближения, поскольку про- [c.125]

Во втором варианте, обычно называемом методом интегральных преобразований Гринберга — Кошлякова, предварительно находится вид ядра интегрального преобразования. С этой целью решается граничная задача при нулевых граничных условиях для некоторого дифференциального уравнения, связанного с дифференциальным выражением теплового восприятия Ь[Т М, /)]. После того как ядро будет найдено, дальнейшая реализация второго варианта в основном аналогична реализации первого. Если поле температуры зависит от нескольких координат текущей точки, то последовательное применение интегральных преобразований Гринберга—Кошлякова по всем этим переменным приводит решение уравнения теплопроводности к решению задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка. При этом, конечно, задача выбора ядер может привести к уже известным класснческим интегральным преобразованиям. С этой точки зрения второй вариант [c.26]

Изложив физические идеи, лежащие в основе метода Хартри, можно перейти к более общим формулировкам. Если пренебречь корреляцией электронов, то вероятность нахождения данного электрона в данном элементе объема не должна зависеть от положения других электронов. Тогда, проводя рассуждение в обратную сторону, придем к выводу, что полная волновая функция системы может быть представлена в виде произведения од ноэлектронных функций ф . Задача заключается в выборе таких п одноэлектронных функций ф , чтобы их произведение было как можно лучшим приближением к истинной волновой функции системы, т. е. такой функции, в которой учитывается корре ляция электронов. Можно показать, что функциями, удовлетворяющими этому условию, действительно являются решения уравнений Хартри. Однако эта формулировка является более общей, чем данная Хартри, так как она допускает и другие методы нахо кдения таких функций [c.56]

При оптимальных значениях параметров стадии накопления величина минимальной концентрации составляет г/мл. Определение более низких концентраций ограничивается большим значением средиеквад-ратического отклонения холостого опыта. Переход к более низким концентрациям возможен при повторении эксперимента в диапазоне концентраций холостого опыта 5-10 г/мл с выбором условий для уменьшения ст. Соотношения (21, 22) и соответствующие уравнения для /а и а можно применять также при решении задачи выбора параметров стадий процесса при заданной величине концентрации примеси (например, по ГОСТу) и точности определения. Таким образом, одним из вариантов повышения чувствительности метода АПН является оптимизация процесса определения путем решения на минимум соотношений для минимально определяемой концентрации. Предваригельно определяется зависимость величины анодного тока холостого опыта и его среднеквадратического отклонения от параметров всех [c.30]

Метод обобщенных переменных используется на всех стадиях исследования общих закономерностей процесса при предварительном анализе задачи, постановке опытов, обобщении полученных результатов. В этом случае имеются щирокие возможности для рационального выбора условий эксперимента. Вообще говоря, здесь не обязательно наличие полной математической модели процесса (т.е. системы уравнений и условий единственности реще-ния), так как соответствующие обобщенные переменные можно получить и на основе анализа размерностей (см. (2.6)). При этом опыт можно рассматривать как метод проверки правильности самой постановки задачи, а не только как способ ее решения. [c.42]