Теорема (вариационный принцип)

Теорема (вариационный принцип) 141 [c.141]

Теорема (вариационный принцип) [c.141]

Теорема 1 соответствует вариационному принципу для конечных систем, ссли -А интерпретировать как вклад в энергию от одного узла решетки. [c.24]

Это доказывает утверждение (а) (Ь) следует из (а) и вариационного принципа для Р (теорема 3.12). [c.91]

Утверждение (Ь) вытекает из вариационного принципа для Р (теорема 3.12), утверждения (а) и следующих легко проверяемых фактов [c.92]

В настоящее время большинство аналитических методов решения экстремальных задач обобщены и сведены Дубовицким и Милютиным в одну теорему, которую можно назвать основной теоремой математического программирования. Из нее, как следствия, вытекают все основные теоремы вариационного исчисления, принципа максимума, линейного и нелинейного программирования. [c.130]

Эта чрезвычайно важная формула позволяет рассчитать , если только известна функция г] . Здесь можно действовать двояким образом либо пытаться угадать вид функции (если имеется определенная химическая интуиция, то этот прием, как мы увидим в дальнейшем, оказывается весьма эффективным), либо воспользоваться теоремой , известной под названием вариационного принципа . [c.70]

Посмотрим, как осуществляется нахождение волновой функции электрона в молекуле. Оно осуществляется с помощью применения вариационного принципа или с помощью метода последовательных приближений. В квантовой механике существует теорема, что истинная волновая функция, описывающая основное состояние электронов в молекуле, соответствует минимуму полной энергии. Этот принцип выражает реальный объективный закон, согласно которому устойчивое состояние системы возможно лишь в том случае, если внутренняя энергия ее достаточно мала. Подбирая коэффициенты при атомных функциях так, чтобы получить минимум энергии, мы приходим к выражению, лучше соответствующему истинной волновой функции, чем исходные слагаемые. Повторяя многократно такую операцию, мы получаем все лучшее и лучшее приближение к действительности. Значит ли это, что отдельные слагаемые здесь резонируют Из квантовой механики не следует ничего подобного. Отдельных слагаемых самих по себе нет. Они не более как члены ряда, в виде которого представлена искомая функция при помощи коэффициентов. [c.250]

Благодаря свободе в выборе все эти результаты, хотя и интересны, являются скорее формальными, чем физическими, пока дополнительно не проведен более количественный анализ величины оператора Я —Я . Так, мы могли бы заменить F любым другим одноэлектронным оператором, удовлетворяющим уравнению (1), и формально результаты остались бы теми же. Или, наоборот, мы, конечно, могли бы выбрать 0, , а значит, и так, чтобы ни одна из функций 0 не была чистым одноэлектронным возбуждением или их суммой. В подобном случае теорема Бриллюэна не приводила бы к сколько-нибудь интересным следствиям для приближения НХФ. Единственным исключением будет, разумеется, то утверждение, что Е содержит ошибку лишь второго порядка малости. Как уже указывалось, оно справедливо при любом выборе Я . причем это полностью согласуется с вариационным принципом. [c.92]

В процессе нашего анализа неявно будет предполагаться, что читатель знаком с соответствующими теоремами для точных собственных функций. Но это не столь уж обязательно, поскольку паши достаточные условия всегда будут формулироваться для гильбертова пространства в целом (в случае вариационного принципа — для множества пробных функций), а значит, наши выводы оказываются справедливыми в качестве частного случая и для точных собственных функций. В этой связи нужно очень четко представлять себе следующее. При выводе здесь и в дальнейшем результатов для собственных функций г[ и собственных значений Е всегда достаточно считать, что в качестве множества пробных функций используется линейное многообразие г з = 4, где А — произвольная (или произвольная с точностью до определенных требований симметрии) функция всех переменных, ибо в этом случае, очевидно, кчк мы того и желали, вариационный метод будет давать ф (= 4) = 1 ) и = Е. [c.102]

В 3.7 вариационный принцип развивается для взаимосвязанных систем. Он позволяет сформулировать уравнения для сложной системы с известными тепловыми сопротивлениями подсистем. В результате приходим к аналогу общей теоремы механики, в которой внутренние силы можно исключить с помощью понятия виртуальной работы. Предлагается также иная форма этого принципа. Из рассмотренных вариационных принципов легко вывести один из вариантов метода конечных элементов . [c.59]

Гамильтониан Ж для данной системы обычно легко написать, но для большинства систем необходимо предугадать вид волновой функции. Если выбрана правильная волновая функция, то в принципе можно получить истинное значение энергии для данной системы. Действительно, пусть установлена правильная волновая функция, именно та, которая приводит к правильному значению энергии Ец. Другие волновые функции тогда будут приводить к иным значениям энергии. Вариационная теорема утверждает, что среди многих Е1, значение является низшим собственным значением данного оператора. Тогда для нормированных волновых функций [c.551]

В основе только что рассмотренных теорем лежит теорема (Д. 9), относящаяся к вариации суммы потенциалов рассеяния по параметрам Г,. Соответственно (Д. 9) представляет собой дополнительную теорему, которая обеспечивает справедливость в квазилинейном случае интегрального принципа, записанного в универсальной форме (А. 1) или (А. 18). Иначе говоря, справедливость основного принципа процессов рассеяния доказана также для случая, когда проводимости и сопротивления зависят от полевых величин Гг(г, t). Таким образом, формулировки универсального типа представляют собой и в общем случае точный вариационный [c.291]

Законы сохранения (дивергентные формы уравнений) широко применяются в методе интегральных соотношений, при построении консервативных разностных схем и при постановке вариационных задач газовой динамики. Примерами являются публикации [1-4]. Теорема Нётер и ее обобщение [5] позволяют находить законы сохранения для систем дифференциальных уравнений второго порядка. Для применения этих теорем необходимо изучить групповые свойства исходных уравнений [6] и использовать вариационный принцип, из которого эти уравнения следуют. Для вырожденных функционалов, порождающих уравнения первого порядка, теряется взаимно однозначное соответствие между группами, допускаемыми уравнениями, и законами сохранения некоторым группам могут соответствовать дивергентные уравнения, состоящие из нулей [5]. Теорема Нётер использована, например, Ибрагимовым [7] для получения полной системы законов сохранения безвихревых течений газа, описываемых уравнением второго порадка для потенциала скоростей. [c.17]

Для нахождения волновой функщ1и основного сосгоя1шя необходимо наименьший корень уравнения (1.68) подставить в систему уравнений (1.67) и найти коэффициенты с,. Таким способом можно найти и волновые функции возбужденных состояний. Следует помнить, однако, что в общем случае вариационная теорема и, как следствие, вариационный принцип позволяют корректно определить только низшее энергетическое состояние. Кроме того, укажем, что волновая функция, оптимальная для энергии, не обязательно оптимальна для расчета других свойств квантово-механической системы. [c.22]

Следующая теорема содержит вариант этого вариационного принципа для термодинамтеского предела А / ос. [c.68]

I2) = (I1) + (I2), то Р,(Л) = Р,,(ЛО+Р,, (Лг). (Ср. Уолтерс [1], теорема 2.2 (viii). Воспользуйтесь определением давления в терминах чтобы доказать неравенство Рт А) < РгДЛх) + Р-г А2), и вариационным принципом — для доказательства обратного неравенства.) [c.153]

Так, Е. Черри и У. Миллар [263], а также Г. Биркгоф и Д.Б. Диаз [278] рассмотрели некоторые идеи и общие теоремы, относящиеся к нелинейным энергетическим и механическим системам , и новые вариационные принципы для нелинейных систем, которые должны, по их мнению, прийти на смену приведенного выше принципа наименьшего теплового действия, сформулированного Максвеллом для линейного случая (см. об этом в гл. 7). [c.10]

Другую часть общей теории, существенную при рассмотрении процессов кристаллизации, образует теорема о минимальной скорости возрастания энтропии [18]. Она требует, чтобы в стационарном состоянии скорость возрастания энтропии была минимальной. К этому минимальному значению вполне применим вариационный принцип, аналогичный используемому в термодинамике равновесных процессов принципу Гиббса о минимальности свободной энергии. К сожалению, можно показать, что этот принцип , хотя и применявшийся некоторыми исследователями к изучению роста кристаллов, может привести к неверным результатам при описании совсем простых систем (дискуссия Кана и Маллинза к статье Киркалди [22]). С другой стороны, дифференциальные уравнения переноса можно записать в вариационной форме и получить из них действительно верные результаты. [c.371]

Как только мы допустим неоднородность действия структурной группы 30(3)1>Т(3), от нас потребуется чрезвычайная осторожность, так как мы начинаем игру с основами ньютоновой механики. Действительно, в механике Ньютона каждая частица имеет три поступательные и три вращательные степени свободы относительно соседних частиц, так что только одна частица в данный момент времени может быть отнесена к инерционной системе отсчета. Поэтому во избежание грубых ошибок нам потребуется пересмотреть все основные положения механики Ньютона. Поиск новой основы — нелегкая задача без верного ориентира в миллиардах возможных альтернатив. К счастью, вариационные принципы и теоремы Нётер обеспечивают самосогласованный формализм, оставляющий инвариантным функционал действия при действии на него группы законов сохранения, которым должны удовлетворять все решения полевых уравнений. Если действовать дальше в том же духе, то требование инвариантности функционала действия при действии на него яеоднородной группы 5 0(3)р>Т(3) будет гарантировать [c.16]

В полном расчете по методу Рутана с теоретической оценкой всех интегралов подходящие АО можно найти с помощью вариационного метода. В нашем полуэмпирическом подходе этого сделать нельзя, поскольку вариационная теорема применима только в том случае, когда энергия находится прямым интегрированием с использованием правильного гамильтониана для рассматриваемой системы. Поэтому если необходимо получить надежные результаты и для этого учитывать сжатие орбиталей, можно идти двумя путями. Во-первых, можно рассматривать сжатие орбиталей как параметр, определяемый эмпирически. Это было бы в принципе наилучшим решением, но практически такой подход затруднителен до сих пор расчеты такого типа, по-видимому, не производились. Альтернативный путь состоит в том, чтобы компенсировать изменение энергии АО соответствующей модификацией какой-либо другой части выражения для полной энергии молекулы. Тогда возможно использовать в расчете нормальные АО с тем преимуществом, что соответствующие атомные параметры могут оцениваться из экспериментальных данных для атомов. Именно такой путь использовался до сих пор при всех попытках точного вычисления теплот а Гомизации молекул с сг-связями. [c.553]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология