Ортогональная характеристическая система

Б. Преобразование к ортогональной характеристической системе координат [c.253]

Рис. 37. Двухкомпонентная система, иллюстрирующая преобразование ортогональной характеристической системы.

Элементы третьего единичного характеристического вектора Хд можно рассчитать непосредственно по значениям векторов и х , не прибегая при этом к графическим построениям, а используя лишь соотношения ортогональности характеристических векторов друг другу, получаемые при преобразовании неортогональной системы веществ В в ортогональную систему координат. Преобразование вектора Ху в единичный вектор Ху ортогональной системы координат В проводится с помощью уравнения [c.203]

Симметричная матрица имеет два важных свойства 1) все ее характеристические корни являются действительными и 2) она имеет п независимых ортогональных характеристических направлений (векторов) [72]. Таким образом, исходное положение доказывается тем, что реакционная система может быть преобразована в подобную систему с симметричной матрицей констант скоростей. Это доказательство позволяет также сделать вывод, что характеристические корпи являются неположительными (отрицательными или равными пулю). Кроме того, оно дает возможность осуществить преобразование в ортогональную характеристическую систему координат, удобную для непрерывного контроля и для получения обратной матрицы Х >. [c.249]

Ху — /-ТЫЙ ортогональный характеристический вектор единичной длины в нормальной системе координат, или системе координат Л [c.274]

Первый способ состоит в линеаризации (2.4.55) с последующим аналитическим решением линейной системы [70]. Однако получаемый при этом характеристический определитель равен (4 4-4т), где ш — число ходов по трубному пространству, что исключает возможность аналитического решения. Аппарат аппроксимации трансцендентных передаточных функций не может быть использован, поскольку сами функции весьма трудно получить. Методы сведения дифференциальных уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений аппроксимацией изображения координат в комплексной плоскости ортогональными функциями не облегчают задачу, так как получаемая система обыкновенных дифференциальных уравнений не может быть решена аналитически ввиду ее высокой размерности. [c.81]

Принцип частичного равновесия позволяет осуществить дальнейшее преобразование в третью систему координат, в ко-торой характеристические направления ортогональны друг другу. Это преобразование подробно обсуждается в приложении I, ио мы уже пользовались ортогональной системой В для получения обратной матрицы (раздел П, Б, 2, в) (п/2) п— ) соотношений при условии соблюдения принципа частичного равновесия должны отвечать требованию, чтобы единичные характеристические векторы были ортогональны друг другу после этого преобразования. [c.109]

Преобразование, которое требуется, чтобы единичные характеристические векторы х - превратить в единичные векторы х,-для ортогональной системы координат В, дается соотношением [уравнение (А 17), приложение I] [c.109]

Векторы Хо и XI превращают [см. уравнение (85)] в единичные характеристические векторы для ортогональной системы В с помощью величин О /, Хо и Х1, которые определяются уравнениями (109), (104) и (107) соответственно это дает [c.123]

Пусть в п-компонентной системе будет т веществ, соответствующих Дг и Лз в схеме (190), которые не реагируют с образованием каких-либо веществ, но получаются за счет необратимых стадий реакции из других веществ. В этом случае имеется т характеристических векторов с характеристическими корнями, равными нулю, и любая линейная комбинация их также будет характеристическим вектором с нулевым корнем. Существует бесконечное количество точек равновесия, лежащих на т—1)-мерной плоскости , которая связывает концы т векторов чистых компонентов единичной длины. Веществам В, подвергающимся распаду, соответствуют п— тп характеристических векторов. При их перемещении вдоль одного из характеристических векторов с Я = 0 описывается (п — т)-мерное подпространство, в котором все пути реакции направлены к точке равновесия, соответствующей вектору, вдоль которого происходит перемещение. Бесконечному числу точек равновесия соответствует бесконечное число п — т)-мерных подпространств, параллельных друг другу в том смысле, что каждому из этих подпространств ортогональны одни и те же т независимых направлений в пространстве. [c.155]

Воспользуемся схемой (206), чтобы проиллюстрировать использование соотношений ортогональности в подпространстве пространства составов и ограничений для определения недостающего перемещенного характеристического вектора, который лежит вне симплекса реакции, в системах с бесконечным числом точек равновесия. Численное выражение равновесного состава для А1 А2 составляет 1 = 0,6000 и 2 = 0,4000. Логично использовать в качестве начальных составов смеси Ау и Л2 эти составы будем последовательно приближать к некоторым прямолинейным путям реакции внутри симплекса реакции, показанного на рис. 26. Величина которую мы получаем, равна [c.167]

Ху — /-ТЫЙ ортогональный единичный характеристический вектор, выраженный в нормальной системе координат, или системе координат Л хТ—транспонированный вектор х - [c.274]

X —характеристическая матрица в ортогональной системе координат [c.275]

При отсутствии обобщенных сил изменение системы во времени может быть представлено модами тепловой релаксации, что показано в 2.4. Эти моды представляют собой собственные решения, каждое из которых пропорционально экспоненциально убывающей функции времени. Свойство ортогональности релаксационных мод выводится в 2.5 одновременно с описанием соответствующих координат. Реакция системы в результате воздействия заданных тепловых сил выражается в замкнутом виде с помощью нормальных координат. При изложении материала особое внимание уделено важным частным случаям кратных и нулевых характеристических корней. Показано, что нулевые корни соответствуют стационарному тепловому потоку. [c.35]

Матрицу, обратную матрице X, можно рассчитать путем преобразования последней к ортогональной характеристической системе и использования того факта, что матрица, обратная матрице, составленной из ортогональных столбцевых векторов единичной длины, является этой же транспонированной матрицей [79]. Следовательно, после преобразования матрицы X к ортогональной системе с помощью уравнения (А17) нужно только привести длину ее столбцевых векторов к единичной длине в системе координат А. Уравнения (92) и (93) в тексте служат для такого приведения всех векторов матрицы в уравнении [c.257]

Поэтому матрица X должиа состоять из ортогональных векторов единичной длины (см. приложение 1, Г). Из уравиеипя (МР4) следует, однако, что матрица констант скоростей К становится диагональной после подобного преобразования Х КХ. Следовательно, матрица констант скоростей К должна быть симметричной, поскольку матрица X состоит из ортогональных столбцевых векторов (см. приложение I, Г). Это означает также, что после достижения равновесия количества всех компонентов равны. Но существует только одна система, для которой это справедливо. Мы уже знаем, что в общем случае матрица констант скоростей К для мономолекулярных реакционных систем не является симметричной. Матсен и Франклин утверждают В своем рассмотрении мы основываемся на предположении о существовании системы ортогональных собственных концентраций (наш термин — ортогональные характеристические направления). Мы видим, что такое предположение не оправданно, если используется состав а, на что прямо указывается в их статье. [c.245]

Отсутствие однозначности в выборе п независимых характеристических уравнений, обусловленное наличием бесконечного числа прямолинейных путей реакции в случаях вырождения, не вызывает затруднений. Пусть в п-компонентной системе т т п—1) характеристических корней равны между собой. Тогда абсолютная величина (п — т) характеристических векторов определяется однозначно. Остающиеся т векторов выбирают из бесконечного числа прямолинейных путей в т-мерном подпространстве симплекса реакции наилучшим выборо.м является ортогональная система т прямолинейных путей реакции. [c.100]

Численное значение элементов вектора р и матрицы Л в уравнении (460) отличается от соответствующих величин, ирименяв-шихся в основной части текста, вследствие изменения длины единичных векторов в ортогональной системе координат В. Это различие несущественно для проводимых здесь рассуждений. Другие различия между уравнениями (МРЗ) и (МР4), с одной стороны, и системой уравнений (460) — с другой, не являются столь очевидными и связаны с особенностями моиомо-лекулярной системы. Кроме того, Матсен и Франклин не пытаются связать собственные концентрации (нащ термин — характеристические направления) с экспериментально определяемыми величинами. Поэтому даже в особом случае, когда мат-рины констант скоростей являются симметричными (равные количества при равновесии), пх способ рассмотрения представляет лишь новый метод формального решения системы уравнений скорости для мономолекулярной системы и непригоден вопреки их утверждению для перехода от экспериментальных данных к величинам констант скоростей. Однако нх подход к решению вопроса в своей основе является правильным и ближе всего из описанных в литературе соответствует нашим исследованиям мономолекулярных реакционных систем [c.246]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология