Координата х и соответствующий ей импульс рх

Применим соотношение (И1,27) к идеальному одноатомно-> му га 1у, в котором состояние каждой молекулы полностью ха- рактеризуется тремя пространственными координатами и тремя соответствующими импульсами. Полученные результаты будут относиться и к идеальному газу с молекулами любой сложности, если считать эти молекулы упругими шарами и учитывать энергию только поступательного движения. Так как 5 в данном случае равно трем, запишем [c.95]

Однако макроскопические свойства системы могут быть выведены и иным путем — из анализа микроскопических свойств объектов и сил взаимодействия, существующих между ними. Наиболее простой и бесхитростный способ решения такой задачи состоит в том, чтобы, зная исходные данные (начальные условия), решить соответствующее уравнение связи для каждой частицы. Ситуация при этом носит достаточно общий характер — если объекты системы достаточно велики и подчиняются законам классической физики, то необходимо решать уравнения классической механики (Сравнения Ньютона) при знании начальных координат и импульсов каждого объекта если же речь идет о микрообъектах, подчиняющихся законам квантовой механики, то необходимо решать волновое уравнение Шредингера при знании начальных волновых функций и сил взаимодействия. Единственные затруднения такого прямолинейного анализа состоят в том, что, во-первых, число объектов в реальных системах весьма велико (например, при нормальных условиях Т = = 29.3 К, Р = 1 ат, в 1 см содержится N = 2,7-10 молекул — число Лошмидта, что означает необходимость решения 3-2,7-10 8-10 уравнений при 6-3-2,7 х X 10 5-10 значениях начальных условий) и, во-вторых, точные значения начальных условий неизвестны. Поэтому необходим иной подход [11]. [c.24]

Величина АЖ внутри отрезка интегрирования является критерием локальной погрешности точного решения и определяет выбор величины шага интегрирования. Пусть q = q. + Aq, p = -ь Др, где q Р/с векторы координат и импульсов в конце к-го шага интегрирования, а Aq и Др — соответствующие приращения на (/f-H)-M шаге. Аппроксимирующая поверхность имеет вид [c.80]

Однако многочисленные противоречия между теорией и опытом и невозможность охватить целые области опыта (например, молекулы) показали, что паллиативная механика Бора—Зоммерфельда не является адекватным выражением свойств микрочастиц. Требовалась ломка основных понятий, а не отбор некоторых орбит в качестве разрешенных. Такими основными понятиями, на которых базировалась физика XIX в., были понятия частицы и волны. Каждому этому понятию соответствовал определенный математический формализм. Любое сложное явление сводилось и математически описывалось на основе этих элементарных понятий. Частица — это сосредоточение веш,ества в некоторой части пространства, поэтому прежде всего она характеризуется координатой и импульсом. Законы движения частицы определяются уравнениями Ньютона. Волна в отличие от частицы описывает некоторый распределенный в пространстве и зависящий от времени периодический процесс. Таким периодическим процессом является, например, распространяющийся в некоторой среде звук или свет. [c.424]

Вычисление термодинамической вероят. ности. Состояние каждой простой молекулы в газе определяется тремя пространственными координатами (х, у, г) и тремя координатами движения или импульсов mvx, mVy, ти ). Если считать, что эти величины изменяются непрерывно, то любому макросостоянию будет отвечать бесконечно большое число микросостояний. Различие между микросостояниями выявится, если задать узкие интервалы координат и импульсов, а затем сравнивать количества молекул, соответствующие этим интервалам. В статистической термодинамике состояние молекул представляют в воображаемом многомерном пространстве , которое в отличие от геометрического пространства называется фазовым — пространство координат положения и импульсов. Разобьем фазовое пространство на ряд ячеек с ребрами х, у, (12, й (тЮх), й (ши ), (1 (ти ). Объем таких ячеек равен йх с1у йг с1 mVл) й тОу) х X й mVг). В данную фазовую ячейку попадают молекулы, координаты которых заключены в пределах от л до л + х, от у цр у йу, от г до 2 + йг. Все молекулы системы можно распределить согласно значениям их координат по соответствующим ячейкам фазового пространства. Молекулы, находящиеся в разных ячейках, становятся различимыми. Этот постулат, принятый в статистике Больцмана, позволяет найти число микросостояний, определяющих данное макросостояние системы, т. е. найти термодинамическую вероятность. Таким образом, для нахождения термодинамической вероятности надо подсчитать число комбинаций, которыми может быть осуществлено распределение молекул по фазовым ячейкам. Оно равно числу перестановок из наличного числа молекул. Учитывается, что перестановки внутри фазовой ячейки не дают нового микросостояния, поскольку там молекулы неразличимы. Допустим, что имеется всего три молекулы, которые могут размещаться только в двух ячейках фазового пространства. Обозначим ячейки клетками, а молекулы — цифрами. Рассмотрим такое макросостояние, когда в одной ячейке имеется две молекулы, а в другой одна. Очевидно, данное макросостояние реализуется тремя перестановками молекул между ячейками, т. е. тремя микросостояниями [c.100]

Поскольку спин не имеет классического аналога, отсутствует и соответствующее ему классическое соотношение, выраженное через координаты и импульс. В связи с этим невозможно получить в явном виде оператор спинового момента, пользуясь правилами написания квантово-механических операторов. [c.52]

Далее в фазовом пространстве N частиц будем объединять Л ячеек, которые соответствовали бы одному и тому же набору координат и импульсов после стирания номеров частиц, и будем считать, что эти ячейки относятся к одному и тому же микросостоянию. Нумеровать будем не ячейки, а состояния (т. е. каждую совокупность из N1 ячеек). Тем самым мы правильно определим множество элементарных событий, учтя лишь физически различные состояния. [c.115]

В классической механике полное механическое описание молекулы заключается в задании ее координат и импульсов. Для молекулы одноатомного газа необходимо задать шесть чисел, передающих ее координаты и значения проекций импульсов на соответствующие координатные оси. Если молекула содержит г атомов, то число ее степеней свободы равно Зг, так как для определения положения каждого атома в пространстве необходимо задать три координаты. Таким образом, полная механическая характеристика г-атомной молекулы требует задания 6г чисел (Зг координат и Зг импульсов). Эта характеристика может быть передана графически, если ввести так называемое фазовое пространство, по осям которого откладываются координаты и импульсы. Для одноатомной молекулы такое пространство будет иметь 6 осей — дс, /, 2, Рх, Ру, Рг, а для [c.141]

Мы рассмотрели распределение молекул по координатам и импульсам. Однако молекулы двигаются не только поступательно, они вращаются и, кроме того, входящие в них атомы участвуют в колебательном движении друг относительно друга. Важно установить, как распределяется средняя энергия молекул по этим разным типам движения. Каждый тип движения описывается через соответствующие координаты и импульсы. Как правило, точно, а в некоторых случаях приблизительно энергия выражается квадратично через эти координаты и импульсы. Действительно, энергия поступательного движения определяется составляющими импульсами движения молекулы [c.152]

Это уравнение полностью определяет функцию Ч при заданной функции состояния в начальный момент времени Ч (г г = 0) з Ч . В уравнении (3) Н есть не что иное, как оператор Гамильтона, получаемый из обычной классической функции Гамильтона путем замены встречающихся в ней координат и импульсов на соответствующие операторы, представленные в п. 2. Оператор Гамильтона часто называется также гамильтонианом. [c.21]

Данное выше правило позволяет рассчитать энергию системы, зная ее волновую функцию. Квантовомеханический оператор энергии, представляющий собой наблюдаемую, есть гамильтониан. Как было показано в гл. 2, замена импульса дифференциальным оператором (2.23) позволяет перейти от классического гамильтониана, представляющего собой энергию, выраженную через координаты и импульсы, к соответствующему квантовомеханическому гамильтониану. Поэтому, согласно формуле (5.9), среднее или ожидаемое значение энергии можно представить в виде [c.69]

Совр. вывод ур-ния (2), химически менее наглядный, основан на столкновений теории. Скорость р-ции отождествляется со скоростью перехода реагирующих хим. систем через Ы - 1 )-мерную пов-сть в пространстве конфигураций, разделяющую области реагентов и продуктов. В теории столкновений эта скорость наз. потоком через критич. пов-сть. Ур-ние в форме (2) получается, если провести критич. пов-сть через седловую точку ортогонально координате р-ции и принять, что на критич. пов-сти энергетич. распределение реагентов равновесно. Соответствующая область пространства координат и импульсов (фазового пространства) характеризуется той же статистич. суммой [c.74]

Отмеченная выше связь между точностью измерения координат и импульсов микрочастиц не встречается в классической механике В ней полагается, что каждая из характеристик - координата, скорость, импульс -независима одна от другой и что соответствующие величины можно измерить с любой наперед заданной точностью Все дело только в том, насколько совершенны приборы [c.15]

В дальнейшем показано, что полное квантовомеханическое описание состояния любой частицы дается четырехмерным вектором, производная которого по времени определяет энергию частицы, а три производные ио пространственным координатам дают соответствующие импульсы. Таким образом, соотношения (14) и (116) оказываются тесно связанными между собой. Первый из этих законов уже доказан. Остается сопоставить с опытом соотношения (116). [c.126]

В квантовой механике приходится рассматривать физические величины, не имеющие классического аналога (например, спин частицы), которые не выражаются через функции координат и импульсов. Позднее мы познакомимся с тем, как определяются операторы, соответствующие таким величинам. [c.30]

Применим полученные выше соотношения к координате и импульсу. Для простоты рассмотрим одномерное движение вдоль оси X. Импульс рх = р я координата х не зависят явно от времени, поэтому производные от операторов, соответствующих этим величинам, согласно (17,4), имеют вид [c.74]

Как было показано в 16, интегралом движения, т. е. величиной, среднее значение которой не меняется с течением времени в любом состоянии, является физическая величина, оператор которой явно не зависит от времени и коммутирует с оператором Гамильтона данной системы. Напомним, что в классической механике интегралом уравнений движения принято называть такую функцию координат и импульсов, которая остается постоянной при любых начальных условиях. Знание интегралов движения позволяет сформулировать соответствующие законы сохранения, имеющие большое значение для понимания физических свойств изучаемых явлений. [c.77]

Поскольку в классической механике любую физическую величину, характеризующую систему, можно выразить через координаты и импульс [как, например, в уравнениях (3.5) и (3.6) для гамильтоновой функции], при помощи описанного выше необычного способа перехода к квантовомеханическому выражению для импульса любой физической величине можно сопоставить выражение, которое мы будем называть оператором данной величины. Операторы физических величин мы будем обозначать рукописными латинскими буквами, соответствующими классическим символам. Например [c.16]

Постулат 1. Каждой наблюдаемой величине М соответствует линейный эрмитов оператор Ж, который можно определить при помощи такой процедуры в классическом выражении для соответствующей измеряемой величины, представленной в декартовых координатах и импульсах, необходимо [c.53]

Вообще говоря, величина k(E) зависит от процесса активации. При активации на гиперповерхности с энергией Е возникает некое распределение начальных точек со значениями координат и импульсов ( ,р). Изображающие точки в результате внутримолекулярного движения перемещаются из этих начальных точек вплоть до пересечения критической поверхности. Если известно начальное распределение, то значение k E) можно определить с помощью расчетов траекторий и соответствующего усреднения. Поскольку начальное распределение обычно бывает разным для различных способов активации, будут получаться различные значения k E). Однако полезная предельная модель реакции получена по статистической теории скоростей реакции в предположении равновесного распределения начальных точек. С учетом этого предположения можно вновь использовать выражение (1.90), ограничившись молекулами, находящимися на гиперповерхности с энергией Е. Отметим также, что критическая поверхность для расчета k E) может отличаться от поверхности, используемой для области верхнего предела по давлению. Общие уравнения для определения k E) и вывод выражения для случая гармонического осциллятора, например при Е > Ео, [c.90]

Еще раз подчеркнем, что представление об электроне как о шарике совершенно неверно. Оно противоречит многим физическим соображениям (в частности, теории относительности). Поэтому следует считать, что спин не имеет аналогии в классической физике, а является новой характеристикой микрочастицы, независимой от координат или импульсов. Поскольку в опытах спин проявляется так, как если бы электрон действительно имел собственный магнитный момент, соответствующий механическому моменту (П.22), то спин все же часто называют собственным моментом электрона. [c.47]

Обобщенные координаты г принято называть просто координатами, а обобщенные координаты р — импульсами гамильтоновой системы, сопряженными с ее координатами. Признак сопряженности в данном случае заключается в том, что каждой координате можно сопоставить соответствующий ей импульс. Важно при этом отметить, что использование терминов координата и импульс отчасти условно, поскольку в гамильтоновых макросистемах величины г не всегда имеют смысл координат точек физического пространства (пространственных координат), а величины р не всегда имеют смысл произведения массы на скорость, т. е. импульса. Число М координат (или импульсов) гамильтоновой макросистемы называют числом степеней свободы. Иногда обобщенные координаты гамильтоновой макросистемы, характеризующие некоторые внутренние свойства ее элементов (такой координатой может быть, например, значение внутренней энергии молекулы газа [c.16]

Ото соотношение паз. перестановочным. В некомму-тивности операторов координаты и импульса находят отражение соотношения неопределенностей. Именно, если операторы коммутируют, то соответствующие им физич. величины могут иметь одновременно определенное значение если операторы не коммутируют, то соответствующие величины не могут одновременно иметь определенное значение. [c.258]

Огрубленная функция распределения может быть получена в соответствии с формулой (В.3.2) из полной функции распределения г,р , х) интегрированием последней по всем возможным значениям обобщенных координат и импульсов всех элементов гамильтоновой макросистемы, кроме п выделенных. [c.69]

Для анализа распределения N частиц по состояниям при статистическом равновесии в данной системе вводится многомерное фазовое пространство, число измерений в котором равно удвоенному числу всех степеней свободы. К ним относятся характеристики местоположения частиц, соответствующего поступательным, вращательным и колебательным степеням свободы, и такое же количество импульсов этих частиц. Следовательно, в фазовом пространстве каждая частица характеризуется точкой, выражающей все координаты ее х,, у , г,,. .., qi и импульсы и ., Uy., и .,. .., и .. В соответствии с принципом неопределенности точное задание одновременно значений координат и импульсов невозможно, а потому каждое состояние частицы характеризуется местонахождением ее не в точке, а в объеме л-мерного фазового пространства [c.63]

Обобщенные координаты О и соответствующие им обобщенные импуль сы нормальных колебаний Р выражаем через исходные координаты и импульсы [c.73]

На основе предложенной в [114] схемы метода Монте-Карло были проведены расчеты для реакции рекомбинации Н-ьН-ьН Нг-нНв интервале температур 2000—5000 К. При этих температурах длина волны де Бройля атомов водорода, участвующих в реакции, мала, и их движение можно описывать уравнениями классической механики. Поверхность потенциальной энергии взаимодействия трех атомов водорода достаточно хорошо исследо-аана [372], и, следовательно, в данном случае не было необходимости в процедуре восстановления реакционного потенциала. Исходя из данных работы [159], / о ===2,5 - 10 см. Начальные значения координат и импульсов атомов генерировались в соответствии с формулами (3.66) — (3.71), а затем осуществлялся переход в систему центра масс. Численное интегрирование системы уравнений Гамильтона проводилось на ЭВМ БЭСМ-6 методом Кутта-Мерсона 4-го порядка [324]. Контроль вычислений осуществлялся по сохранению полной энергии и каждой из компонент момента импульса (гамильтониан сохранялся с точностью 0,1%, компоненты момента импульса — 0,01%). Эффективность предложенной схемы метода Монте-Карло составила 20%, т.е. только одна траектория из пяти оказывалась интересной для рассмотрения, эффективность схемы работы [306] (расчет траекторий в фазовом пространстве взаимодействующих атомов) составляла около 11%. [c.102]

Все остальные операторьс получаются из соответствующих выражений классической механики заменой по указанным правилам координат и импульсов на отвечающие им операторы (при дополнительном условии, о котором речь пойдет ниже операторы, отвечающие физическим величинам, должны быть эрмитовы). [c.20]

Операторы А, отвечающие наблюдаемым физ величинам, к-рые определены в классич механике (энергия, импульс и т п ), получаются, если в соотношениях, установленных для зтих величин классич физикой, заменить координаты частиц операцией умножения на эти координаты, а импульсы-операцией диф ренцирования (с точностью до множителя) по соответствующей переменной (т наз сопряженной координате) Напр, вместо координаты х употребляют оператор х Jtip = х<р, вместо компоненты [c.363]

Фазовое пространство в статистич. механике-многомерное пространство, осями к-рого служат все обобщенные координаты и сопряженные им импульсы , ( = 1, 2,. .., М) системы с М степенялш свободы. Для системы, состоящей из N атомов, и p соответствуют декартовой координате г и компоненте импульса р (а = х, V, нек-рого атома ] тл М = ЗМ. Совокупность координат и импульсов обозначаются д я р соответственно. Состояние системы изображается точкой в фазовом пространстве размерности 2М, а изменение состояния системы во времени-движением точки вдоль линии, наз. фазовой траекторией. Для статистич. описания состояния системы вводятся понятия фазового объема (элемента объема фазового пространства) и ф-ции распределения /(р, д), к-рая характеризует плотность вероятности нахождения точки, изображающей состояние системы, в элементе фазового пространства вблизи точки с координатами р, д. В квантовой механике вместо фазового объема используют понятие дискретного энергетич. спектра системы конечного объема, т.к. состояние отдельной частицы определяется не им-пулы ом и координатами, а волновой ф-цией, к-рой в стационарном динамич. состоянии системы соответствует энергетич. спектр квантовых состояний. [c.416]

Усреднение по микросостояниям проводят с использованием понятия статистического ансамбля. Ансамбль — это бесконечный тгабор идентичных систем, находящихся во всех возможных микросостояниях, соответствующих одному макросостоянию. Каждая система ансамбля — это одно микросостояние. Весь ансамбль описывается некоторой функцией распределения по координатам и импульсам р(р, q, t), которая определяется следующим образом р(р, q, I) dp dq — это вероятность того, что система ансамбля находится в элементе объема dp dq вблизи точки (р, q) в момент времени t. [c.134]

На диаграмме (рис. 3.4.1.2) показаны примерные области существования режимов движения восходящего газо-жидкостного потока по данным Хьюита и Робертса [49]. Диаграмма представлена в координатах потоков импульса соответствующих фаз р1(У1Е1) и Р2(г 2 2) , где У — приведенная к сечению трубы скорость фазы (индекс 1 относится к жидкости). [c.208]

При этом, например, левая часть формулы (45.6), у.мнои<енная па соответствующий 6х-мерный элемент объема фазового прострапства, дает вероятность того, что координаты и импульсы л- частиц находятся в бесконечно малом фазовом объеме х . .. (1х около точки фазового пространства х.,,. .., [c.181]

Следовательно, для вычисления средних значений квантовых операторов с помощью матрицы плотности смегаапного представления В (г, р) следует пользоваться обычными правилами классической статистической механики, усредняя вместо квантового оператора соответствующую ему классическую функцию и используя вместо классической функции распределения в фазовом пространстве координат и импульсов матрицу плотности смешанного представления. [c.210]

Получеиное выражение для интеграла столкновений непросто использовать, ибо неизвестен явный вид координат и импульсов частиц как функций времени, поскольку затруднительно в общем случае решение уравнений (61.2). Однако можно заметить, что для заряженных частиц ионизованного газа в большой области расстояний взаимодействие пары чаотиц япляется относительно слабым. Поэтому такое изаимодсйствие можно рассматривать с помощью теории возмущений. Заметим, что влияние на столкно-пенпя частиц с малыми прицельными параметрами (например, близкими к Гп1 п — е /хТ или Й/тогт) может оказать лишь чрезвычайно сильное поле. Действительно, гироскопический радиус электрона сравнивается с е /хТ , если напряженность магнитного поля оказывается порядка В—т,с [%Т е ] —ЮТ " , где температур выражена в градусах. Не полагая поле столь сильным, будем считать, что на столкновения с малыми прицельными параметрами магнитное поле не влияет. Поэтому очевидно, что в таких условиях можно говорить о применимости интеграла столкновений Ландау для области прицельных параметров от и до значений (по порядку величины), соответствующих гироскопическому радиусу вращения частиц. [c.279]

ГИББСА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — один из основных законов статистич. физики, определяющий вероятность пребывапия физич. системы в состоянии с данной энергией. Иначе этот закон наз. к а и о-н и ч е с к и м р а с и р е д е л е н и 6 м, т. к. макроскопич. система рассматривается как единая механич. система, состояние к-рой определяется заданием всех обобщенных координат и импульсов, а изменения в системе происходят в соответствии с капонич. уравнениями механики. В классич. статистич. физике канонич. распределение имеет вид [c.438]

Первым методом получения приближенного центрального поля, который мы рассмотрим, является метод Ферми и Томаса, исследовавших совокупность электронов, движущихся вокруг ядра при помощи методов статистической механики, с учетом принципа Паули, т. е. при помощи статистики Ферми — Дирака. Согласно этому методу, фазовое пространство, соответствующее координатам и импульсам каждого электрона, делится на элементы объема й , и принцип Паули учитывается ограничением числа электронов в каждой ячейке двумя (соответственно двум возможным ориентациям спина). Если р есть импульс электрона, то фазовый объем, отвечающий электронам с импульсами, меньшими чем р и находящимися в объеме физического пространства (IV, равен прЫх). Пусть число электронов в единице объема п. Предположим, что кинетическая энергия [c.326]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология