Общие сведения о дифференциальных уравнениях

Общие сведения о дифференциальных уравнениях [c.88]

Возникает вопрос об источнике сведений, относящихся к волновой функции. Каким образом можно определить ее вид Общие соображения о требованиях, предъявляемых к волновым функциям, имеют физическое содержание были упомянуты в начале этой главы. Но конкретные математические данные-можно получить, если удастся решить дифференциальные уравнения, содержащие производные волновых функций. Необходимо подчеркнуть, что эти уравнения хотя и записаны в операторной форме, тем не менее отражают классические законы физики и характерные свойства исследуемой системы. Важнейшим из них является уравнение Шредингера, отражающее закон сохранения энергии. Если найдены решения этого уравнения, то тем самым найдена и волновая функция данной системы. Но для решения уравнения необходимо знать зависимости потенциальной и кинетической энергии от координат. Точные сведения [c.61]

Общее решение дифференциального уравнения само по себе дает не очень много сведений. Однако нам известны ограничения, накладываемые на данную частную систе 1у, называемые граничными условиями. Так как частица не должна существовать вне ящика, необходимо, чтобы волновая функция была равна нулю на стенках ящика. Это значит, что для одномерного ящика, показанного на рис. 2-2, ( ) = О в точке х = 0. Итак, в точке х = О [c.48]

Не все указанные вопросы освещены в настоящей книге, однако инженеру всегда следует иметь в виду общую конечную цель исследования—производство. При изложении постоянно используется математический аппарат, но это не требует от читателя книги специальной подготовки, выходящей за рамки элементарных дифференциальных уравнений и ряда методов числового расчета. Некоторые сведения по математике приведены для справок в главе ХП. [c.15]

В предыдущей главе для сведения моделей с распределенными параметрами к системе обыкновенных дифференциальных уравнений использовался модифицированный метод коллокации. Получаемые дифференциальные уравнения оказывались линейными, но это объяснялось не характером метода, а было результатом предшествовавшей линеаризации. Вместо линеаризации уравнений (VII, 58) можно получить более общие уравнения (VII, 13), если воспользоваться подстановкой (VII, 45) [c.204]

ОБЩИЕ сведения О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ [c.165]

Логику появления полинома, как математической модели объекта исследования, можно изложить следующим образом [321. Исследователь полагает, что математическую модель объекта принципиально можно представить дифференциальными уравнениями. Но,, учитывая то, что необходимых сведений о природе явлений в объекте не имеется, сделать это не удается. Отсутствие дифференциальных уравнений не дает возможности получить их решение — это очевидно. Однако в общем виде искомое решение можно представить функцией [c.193]

Бесселевы функции играют очень важную роль при решении различных уравнений, возникающих в инженерных приложениях и в особенности при анализе теплопередачи развитых поверхностей. Часто бывает достаточно трудно предсказать заранее, являются ли функции Бесселя решениями рассматриваемых уравнений. Следовательно, желательно в общем случае исследовать возможность сведения заданных линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами к уравнению Бесселя. [c.55]

Не приводя полной системы уравнений реагирующего потока газов, отметим, что решение ее в общем случае (не только для турбулентного, но и для ламинарного потока) сопряжено, как правило, с практически непреодолимыми трудностями. Последние обусловлены прежде всего необходимостью интегрирования с учетом соответствующих граничных условий сложной системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Серьезным препятствием на пути получения полного решения задачи наряду с этим является недостаточность сведений и надежных количественных данных по кинетике химических реакций горения сложных смесей, в особенности применительно к турбулентному режиму течения. К тому же при расчете турбулентного горения газов в полной мере сохраняются обычные для гидродинамики трудности, связанные с незамкнутостью системы [c.14]

В работе предлагается использовать для решения дифференциальных уравнений три метода программирования (общий, модифицированный общий и метод операторной формы) и сопоставить их на примере решения одного уравнения. Эта работа основана на теоретическом материале работы 3 и использует сведения, изложенные в предыдущих работах. [c.136]

Общее решение этой системы можно найти путем сведения ее к одному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами. [c.156]

Обратимся к другому примеру. Постараемся построить упрощенное дифференциальное уравнение катодного генератора. Но сначала повторим в двух словах некоторые общие сведения. [c.133]

Как отмечалось, прямым путем расчета факела, как и других случаев горения в потоке газа, было бы интегрирование основных уравнений, содержащих распределенные в объеме источники. Этот путь в виде аналитического решения задачи и даже численного расчета на ЭВМ весьма затруднителен из-за нелинейности основной системы дифференциальных уравнений (движения, энергии и диффузии) и наличия существенно нелинейных источников тепла и вещества. Более того, отсутствие в настоящее время достаточных сведений о закономерностях турбулентного переноса и кинетики реакций в пламенах (не говоря уже об общей незамкнутости системы уравнений Рейнольдса для сжимаемого газа) существенно снижает эффективность численных расчетов. Наряду с этим со значительными трудностями сопряжено и прямое экспериментальное исследование процесса горения в потоке газа и, в частности, исследование турбулентного газового факела. [c.173]

Расположение глав и последовательность изложения в них материала обусловлены порядком проведения расчетов экстракционных аппаратов. Первые четыре главы, посвященные рассмотрению общих закономерностей равновесия в экстракционных системах, гидродинамики, массо- и теплообмена, содержат необходимые сведения о способах расчета основных параметров экстракционных процессов и аппаратов, а также расчетные уравнения, которые могут быть использованы практически для любого типа экстракционного аппарата. В пятой — седьмой главах приводятся аналитические зависимости, необходимые для проведения расчетов основных конструктивных элементов и показателей работы дифференциально-контактных, ступенчатых и центробежных аппаратов. Восьмая глава книги посвящена вопросам математического моделирования и оптимизации экстракционных аппаратов. В девятой главе рассматриваются вопросы, связанные с технико-экономической оценкой оптимального выбора экстрактора. Методики расчета типовых экстракционных аппаратов иллюстрируются числовыми примерами. [c.4]

Опубликована обширная монографическая литература, в той или иной степени посвященная отдельным вопросам термодинамики. Характеризуя эти исследования по основному содержанию, их можно разбить на четыре группы. Одну из них составляют работы [8616—86271 (см. также [86551), в которых освещены некоторые общие вопросы. Так, в [8627] приводятся сведения о методологических и методических разработках, в частности, о постановке и построении общей теории дифференциальных уравнений термодинамики. К перечисленным можно присоединить статью Бриллюэна [8628], посвященную термодинамике, статистической физике и информации, и небольшую книгу Шамбодаля [8629. [c.65]

Основные сведения о ядерном эффекте Оверхаузера (ЯЭО) были изложены в разделе 2.2.6. Для протеинов одномерные экспериментальные методики определения ЯЭО не имеют большого значения, так как в спектрах ЯМР н существует весьма ограниченная область, в которой удается достичь разрешения, необходимого для наблюдения отдельных резонансных линий, в общем случае необходимо провести двумерный ЯМР-эксперимент, рассмотренный нами ранее (NOESY), в котором перекрывание резонансных линий не играет существенной роли. Для двухспиновой системы временную зависимость ЯЭО можно найти путем интегрирования дифференциальных уравнений (2.20) и (2.21). Временная зависимость амплитуды кросс-пиков в переходном ЯЭО и эксперименте NOESY описывается формулой (для случая медленного движеиия > > 1) [c.115]

Математическая теория горения имеет дело с комбинацией уравнений химической кинетики, с одной стороны, теплопроводности и диффузир — с другой. Скорость реакции всегда зависит от температуры существенно нелинейным образом (обычно по закону Аррениуса). Эта нелинейность является важнейшей характерной особенностью явлений горения без нее исчезают критические условия и теряет смысл самое понятие горения. Отсюда следует, что в отличие от многих других разделов прикладной физики, в теории горения полная линеаризация уравнений недопустима. Теория горения имеет дело с дифференциальными уравнениями, в которые искомая функция (температура) входит существенно нелинейным образом, но ее производные входят линейно. Такие уравнения в математике называются квазилинейными. Общие сведения о квазилинейных уравнениях и их приложениях можно найти в обзоре Гельфанда [52]. Один из разделов этого обзора, составленный Баренблатом, содержит прекрасное изложение основ теории горения с чисто математической точки зрения. [c.284]

Анализ системы уравнений (3.1) — (3.3) показывает, что в общем случае кинетические закономерности двухкомпонентной хемосорбции определяются величиной безразмерных параметров Ма, Мс, вв = Вв/Г>А, с = Ов/Ос, Яа и Яс. в гл. 2 показано применительно к хемосорбции одного компонента, что расчет скорости поглощения может быть сведен к раздельному определению Рж и у, причем значения у не слишком чувствительны к виду модели, особенно при 0вл 1. Это позволяет искать у на основе упрощенных, но доступных для решения моделей. Ввиду сложности получения даже приближенного решения системы дифференциальных уравнений (3.1) — (3.3) коэффициенты ускорения уа и ус целесообразно искать без учета конвективного переноса вещества. [c.77]

Стало традиционным изложение сведений о строении вещества в курсе общей и неорганической химии. Но эта информаци тонет в общем потоке многочисленных сведений по общей и неорганической химии и не складывается в основу дальнейшего изучения вереницы химических дисциплин. Для того чтобы дать этот материал в систематическом изложении и на более высоком уровне, в Московском химико-технологическом институте им. Д. И. Менделеева в 1964 г. преподавание цикла химических дисциплин было начато с чтения в первом семестре курса Строение вещества , который предшествовал изложению неорганической и органической химии. Введение такого курса потребовало-перестройки преподавания высшей математики в первом семестре было дано концентрированное изложение основ дифференциального и интегрального исчислений и методов решения простейших дифференциальных уравнений со смыслом понятий про- изводная , интеграл , дифференциальное уравнение студенты ознакомились уже на первых лекциях. Эксперимент удался — курс Строение вещества был хорошо усвоен и это позволило значительно повысить уровень преподавания не только химических, но и других дисциплин. В МХТИ им. Д. И. Менделеева решено практиковать данную систему обучения. [c.3]

Это дифференциальное уравнение является частным случаем уравнения Бесселя — уравнением Бесселя нулевого порядка от комплексного аргумента ( Уj j (краткие сведения из теории уравнений Бесселя приведены в пргложени ). Его общий интеграл [c.76]

Как известно, общие методы решения нелинейных дифференциальных уравнений отсутствуют. Обзор имеющихся методов линеаризации и сведения нелинейного уравнения в частных производных к обыкновенному нелинейному уравнению можно найти в работах [6, 10—12]. В монографии [6] приведены примеры решения задач о прогреве полубезграничного тела при условиях первого рода на поверхности тела и зависимости коэффициента температуропроводности материала от температуры вида [c.48]

Спектр дифференциального оператора Хилла. Имея в виду показать применение изложенных выше общих результатов к исследованию спектра одномерного двучленного дифференциального оператора с периодическим потенциалом, напомним сначала основные сведения из теории уравнения Хилла. [c.281]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология