Ланжевена функция

Таблица VII.З Зависимость функции Ланжевена от параметра е

Зависимость (УП.19) L от X называется функцией Ланжевена. [c.193]

Функцией Ланжевена Ь х) называют. [c.240]

Для уже рассмотренного примера углеводородной цепи с длиной развернутой цепи 125,5 нм напряжение достигает величины, необходимой для ее разрыва при условии г> 124,7 нм. Другими словами, лишь 2 из 333 случайных звеньев длиной 0,377 нм направлены перпендикулярно вектору, соединяющему концы цепи, в то время как все остальные полностью выстроены в одном направлении. Даже для такого предельного растяжения функция Ланжевена дает хорошее приближение зависимости напряжение—деформация случайно свернутой цепи. Это становится очевидным при сравнении с так называемым точным решением Трелоара [2с], которое опирается исключительно на геометрическое (и комбинаторное) рассмотрение явления и для которого в случае предельных растяжений имеем [c.121]

В не очень сильных полях цН < k T, следовательно, Р < 1. В этом случае функцию Ланжевена можно разложить в ряд и ограничиться первыми двумя членами разложения [c.299]

Функция Lj (P) называется обобщенной [функцией Ланжевена [или функцией Бриллюэна. [c.300]

Это предположение эквивалентно утверждению, что распределение X (г) описывается гауссовским законом. Уравнение Ланжевена можно также рассматривать как определение функции X (i). [c.49]

Сумма по состояниям (208, 209)—статистическая характеристическая функция, с помощью которой все термодинамические величины можно выразить через параметры молекулярной модели системы (207). Первоначально входит в рассмотрение как нормировочный множитель при определении вероятности данного энергетического состояния вращательная для классическою волчка (234), для заторможенного вращения (236) колебательная (223) Ланжевена (238—240) —вращательная сумма по состояниям для жесткого ротатора во внешнем поле. Полезна для расчета средней энергии межмолекулярного взаимодействия поступательная (218) электронная (242) ядерная (243). [c.315]

Здесь Yi — вектор, коллинеарный h,-, а следовательно,, и Хг, причем = (i ), где ti — относительное растяжение цепи, т. е. h,, деленное на длину максимально вытянутой цепи Ьтли, и —обратная функция Ланжевена v=m/m — единичный вектор направ--ления сегмента. [c.112]

Ph . 128. График функции Ланжевена Lj/2 (P) и [c.300]

Различие в том, что вместо наведенного дипольного момента в них нужно подставлять среднюю величину проекции р постоянного диполя молекулы на направление поля. Кроме того, при поляризации полярных веществ труднее найти связь между напряженностью заданного внешнего поля, в которое помещается исследуемый образец вещества, и напряженностью Е, внутреннего поля, действующего на молекулы этого вещества. В слабых внешних полях аргумент функции Ланжевена г-с1, и тогда сама функция =р , / ЗкТ. Следовательно, в слабом поле величина проекции диполя на направление поля растет пропорционально напряженности поля и, согласно уравнению (3.9.15), р =р Е, / ЪкТ. Тогда ориентационная поляризуемость молекулы (коэффициент поляризуемости) полярного вещества = р / о / определяется формулой [c.648]

Упражнение. Запишите уравнение Крамерса (8.7.4) в форме Ланжевена. Упражнение. Запишите (8.4.11) как многомерное уравнение Ланжевена и примените флуктуационно-диссипативную теорему для получения матрицы Г,у. Упражнение. Трудность с интерпретацией уравнения (8.8.15) возникает из-за сингулярной природы L (/). Покажите, что между (8.8.7) и (8.8.18) нет разницы, если функция ( ) ограничена. Однако в этом случае (8.8.3), конечно же, не справедливо, а у (t) не может быть марковским процессом. [c.227]

Это открывает основное направление в приложениях приближения Ланжевена к системам с внутренним шумом, обладающим нелинейным феноменологическим законом. Феноменологическое уравнение (8.9.10) справедливо только в таком приближении, когда флуктуациями можно пренебречь. Это подразумевает, что функция А у) определяется феноменологически с некоторой долей неопределенности порядка размера флуктуаций. Если бы удалось вывести определенный вид А (у) из теории или из эксперимента, в котором флуктуациями пренебрегалось, то это не могло бы служить достаточным основанием для того, чтобы постулировать, что именно этот вид А (у) следует использовать в (8.9.2). Между ними может быть небольшое расхождение, значение которого совпадает с значением флуктуаций. На это можно не обращать внимания в макроскопическом законе, но в уравнении для самих флуктуаций такой реакцией пренебречь нельзя. Расхождение между (8.9.1) и (8.9.3) относится как раз к такому типу. [c.230]

Здесь 2 = рЕ / кТ — безразмерная (выраженная в единицах кТ) энергия диполя во внешнем однородном поле. Выражение (3.9.14) называется функцией Ланжевена. Степень ориентации I соответствует среднему значению косинуса угла между направлением поля и направлением оси диполя, так что величина р является средней величиной проекции дипольного момента на направление поля [c.648]

Как уже отмечалось, значения функции Ланжевена L в локальном и суммарном поле отличаются незначительно. Это отличие можно выразить через приращение [dL/di,]( - i) локального значения = Z,( /) с помощью формулы [c.663]

Кинетику химических реакций с учетом турбулентных пульсаций можно рассчитать, если известна временная эволюция одноточечной функции плотности вероятности пульсаций (ФПВП) температуры и концентраций. Обычно ФПВП либо задаются а priori, причем используется нормальное распределение, либо определяются из уравнений движения и диффузии или из уравнения Ланжевена [152] с привлечением эмпирических гипотез. [c.184]

Зто уравнение совпадает с (8.8.15) и, следовательно, не является настоящим уравнением, пока мы не добавим правило интерпретации либо правило Ито, либо Стратоновича. Результаты оказываются разными, а значит, возникает ощущение, что дилемма Ито—Стратоновича имеет физический смысл. Однако, согласно последнему упражнению 8.8, эту разницу можно скомпенсировать изменением А (у), которое, естественно, имеет тот же порядок, что и значение флуктуаций. Как мы видим, приближение Ланжевена дает возможность определить А (у) в (8.9.4), Следовательно, с этой доли неопределенности и противоречие Ито—Стратоновича является артефактом, связанным с неточностью при идентификации А (у) с феноменологической функцией, использованной в (8.9.1). [c.231]

Стохастическое дифференциальное уравнение — это дифференциальное уравнение, коэффициенты которого являются случайными числами или случайными функциями независимых переменных. Так же как и у обычных дифференциальных уравнений, коэффициенты считаются заданными, т. е. их стохастические свойства определены. аранее и не. зависят от решения, которое нужно найти. Следовательно, стохастические дифференциальные уравнения описывают системы с флуктуациями, вызванными внешним воздействием. Примеры броуновская частица и описывающее ее уравнение Ланжевена любая небольшая система, взаимодействующая с большим резервуаром (при условии, что малая система существенно не влияет на резервуар) электромагнитные волны в турбулентной атмосфере рост популяции в флуктуирующем климате. В противоположность этому почти во всех примерах из предыдущих глав источник шума был внутренним, т. е. присущим самой природе системы. [c.344]

Иногда начальное значение а также является случайной величиной (ИЛИ вектором). Получающийся в результате стохастический процесс и [г/], а] тогда является функцией случайной переменной й, функционалом, зависящим от функции у. Поскольку это является тривиальным обобщением задачи с фиксированным начальным 1начением а, нет необходимости рассматривать случайные начальные значения отдельно. Уравнение Ланжевена (8.8.1) и более общее уравнение Ито (8.8.15) представляют собой примеры стохастических дифференциальных уравнений. Действительно, в большей части математической литературы название стохастическое дифференциальное уравнениел ограничивается именно этими случаями . [c.344]

I. Линейные дифференциальные уравнения, в которых только неоднородный член является случайной функцией, как в уравнении Ланжевена. ч акие уравнения были пазъаны аддитивными, ив принципе их можно решить. [c.345]

Величина 1 1 тН / кТ) представляет собой упоминавшуюся ранее функцию Ланжевена (рис. 3.65), а выражение в скобках — это аргумент функции Ланжевена. Обычные парамагнетики в любых технически достижимых полях далеки от состояния насыщения. Для них значение аргумента ХотН кТ) С 1, поэтому справедливо соотнощение [c.657]

Если пренебречь магнитным взаимодействием частиц коллоидного ферромагнетика, то взвесь однодоменных частиц можно рассматривать как парамагнитное вещество, т. е. намагниченность взвеси будет описываться уравнением (3.9.70). Существенно, что вследствие большой величины магнитного момента коллоидных частиц аргумент ро/иЯ / кТ функции Ланжевена даже в слабых полях может стать много больше единицы, и поэтому взвесь легко намагничивается до насыщения. Подчеркивая эту особенность парамагнетизма магнитных коллоидов, их называют суперпарамагнетиками. Один из самых доступных ферромагнитных материалов — магнетит (ЕсзОд). Его намагниченность насыщения 0,47 10 А/м. При размере частицы 10 м (объеме около 4 10м ) ее магнитный момент равен [c.658]

А м". Тогда в магнитном 1юле с напряженностью 1 А/м аргумент функции Ланжевена > тН1кТ= = 1,2 10 2 10 "/4 10 " = 1000. Намагниченность насыщения взвеси частиц в атмосфере (или выше) с концентрацией 0,1 об. % равна 470 А/м, а начальная магнитная восприимчивость х (восприимчивость в очень слабом поле) достигает, согласно формуле [c.658]

Размер частиц, при котором это условие выполняется, сильно зависит, согласно формуле (3.9.77), от намагниченности насыщения ферромагнитной фазы. Для магнетита и многих ферритов М = 4,7 10 А/м. Оценка радиуса частиц а по формуле (3.9.77) дает при этих условиях а < 5 нм. Действительный размер частиц магнетита в феррожидкостях близок к указанной величине. Что касается другого безразмерного параметра — аргумента функции Ланжевена = [ отпНе / кТ во внешнем поле, то он может расти неограниченно с увелтением напряженности поля Я приближая намагниченность феррожидкости к намагниченности насыщения. Этот же параметр, а следовательно, напряженность поля, определяет характер и силу взаимодействия частиц между собой. [c.662]

Механизм воздействия внешнего поля на взаимодействие магнитных диполей связан с тем, что вращательное тегиювое движение частиц вынуждает флуктуировать магнитные оси диполей вблизи направления суммарного поля Н, действующего на диполь. Средняя величина косинуса угла (Нт) между направлением поля Н и диполя т и есть функция Ланжевена ( ). В отсутствие внешнего поля при Я= Hi, следовательно, А, = . Поэтому при условии (3.9.81) и, согласно формуле (3.9.70а) i( ) = )1о г,Я / ЪкТ. Здесь использованы принятые выше индексированные обозначения магнитного момента т, и локального поля Я, партнеров по взаимодействию. Вращательная тепловая диффузия оси диполя nij не слишком сильно влияет на напряженность локального поля Hj. Согласно формулам (3.9.75) и [c.662]

В другом предельном случае, когда напряженность внешнего поля Н существенно больше напряженности локального поля, можно считать, что Н= Н , и тогда значение функции Ланжевена 1(У определяется ее аргументом = 1опгНе / кТ во внешнем поле в соответствии с общим выражением (3.9.70). [c.662]

Приращение функции Ланжевена происходит при небольшом увеличении аргумента функции Ланжевена от величины = [U>mHi I кТ д.о т = тН / кТ, т. е. на величину ()1о 2 / kT) H H ). Согласно формуле (3.9.88), H-Hi = Яесоза, и тогда [c.663]

Таким образом, имеется все необходимое для записи в развернутом виде функции Ланжевена в формуле (3.9.84), подлежащей усреднеьшю по углу а [c.663]

Физика и химия твердого состояния (1978) -- [ c.299 ]

Механические свойства твёрдых полимеров (1975) -- [ c.7 ]

Количественная молекулярная спектроскопия и излучательная способность газов (1963) -- [ c.205 ]

Полимерные электреты Издание 2 (1984) -- [ c.79 ]

Биогенный магнетит и магниторецепция Новое о биомагнетизме Т.2 (1989) -- [ c.43 , c.51 , c.275 , c.311 , c.330 ]

Биосенсоры основы и приложения (1991) -- [ c.365 ]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология