Факторгруппа

В дополнение к трансляционной симметрии и симметрии факторгруппы полезно определить локальную группу симметрии, или сайт-группу. Это подгруппа фактор-группы, состоящая из операций, переводящих данную молекулу саму в себя. Она представляет, очевидно, подгруппу точечной группы молекулы и образуется пересечением фактор-группы и точечной группы молекулы. В кристаллах нафталина локальной группой является группа Сг, потому что только операции идентичности и инверсии переводят молекулу саму в себя. Некоторые группы симметрии ряда более простых ароматических углеводородов приведены в табл. 2. [c.519]

Состояние кристалла с к= 0. Типы факторгруппы (Сг ). [c.523]

Строгое определение числа активных колебаний, симметрии и состояния поляризации света может быть проведено при использовании теории групп теми же методами, что и в случае простых многоатомных молекул. Факторгруппа пространственной группы, описывающей симметрию длинной полимерной молекулы будет включать такие элементы симметрии, как винтовые оси и плоскости скольжения, которых нет в точечных группах. Однако в том случае, когда может быть найдена точечная группа, изоморфная такой фактор-группе, определение типов симметрии колебаний и т. п. производится точно так же, как и для известной точечной группы [36, 37]. Таким образом, находятся свойства симметрии ЗМ — 4 нормальных колебаний, но частоты этих колебаний должны определяться из рассмотрения колебательного движения аналогичных [c.293]

Симметрию структуры молекулы (которая представлена на рис. 33) можно описать линейной группой, характеризующейся следующими операциями симметрии отражение в плоскости симметрии Стд (ху) (проходящей через группы СНОН), винтовые повороты вокруг винтовой оси второго порядка Сг (г) (параллельной оси г) и инверсия в центре / каждой связи С — С. Эти три операции симметрии вместе с операцией идентичности Е образуют фактор-группу линейной группы Сг . Таблица характеров этой факторгруппы приведена ниже (табл. 21). [c.137]

Для описания симметрии цепных молекул и правил отбора в колебательных спектрах введены понятия одномерных пространственных (линейных) групп [3, 23] и факторгрупп [3, 12]. Все возможные линейные группы для 1 олекул полимеров рассмотрены в работе [3]. В настоящем обзоре лишь кратко остановимся на наиболее важных из них. [c.247]

Очевидно, что минимальная, возможная для бесконечной регулярной цепочки симметрия такова, что в цепи имеется лишь винтовая ось, совпадающая с осью цепи (группа Sm [7]). Как известно [3, 12], спектрально активными в колебательных спектрах являются лишь колебания, получающиеся из неприводимых представлений факторгруппы [3, 12]. [c.247]

Если внутри звена цепи возможны дополнительные элементы симметрии, то появляются новые элементы симметрии всей цепи и соответственно новые группы. Рассмотрим одну из них — диэдрическую факторгруппу 0 2яд/р)- В этом случае перпендикулярно оси цепи имеются оси симметрии второго порядка Сг, при поворотах вокруг которых полимерная цепочка совмещается сама с собой. Эта факторгруппа изоморфна точечной группе Ор [3, 12]. Общее число нормальных колебаний для макромолекул, которые описываются этой группой, также равно Зтр — 4, однако правила отбора, а следовательно, и вид спектра несколько изменяются. В табл. 2 приведены характеры, число нормальных колебаний, их активность и поляризация в колебательных спектрах для диэдрической факторгруппы П 2лд/р) [12]- [c.249]

Здесь С та же операция симметрии, что и в циклической факторгруппе, но кроме этого появляются еще операции / Сг. Из данных, приведенных в таблице, видно, что ИК- и КР-спектры в этом случае упрощаются, причем в ИК-спектре число полос с параллельной поляризацией уменьшается наполовину. Число нормальных колебаний, принадлежащих представлениям А1 и Аг, может быть легко найдено по известным формулам теории групп [12] и равно [26] [c.249]

Любую кристаллическую структуру можно описать при помощи одной из 230 пространственных групп [49]. Пространственная группа наряду с различными операциями симметрии обязательно включает трансляции (Пай, ПъЬ и ПсС) вдоль осей элементарной ячейки, которые переводят одну элементарную ячейку в другую. Можно легко показать, что любая пространственная группа есть произведение группы трансляций (образованной операциями трансляций) и некоторой другой группы, называемой факторгруппой (или группой элементарной ячейки). Факторгруппы всегда изоморфны одной из 32 точечных групп. (Последние определяют различные кристаллические классы.) Таким образом, характеры любой факторгруппы совпадают с характерами соответствующей точечной группы, хотя факторгруппа может содержать такие операции симметрии (плоскости скольжения и винтовые оси), которые не являются операциями точечной группы. [c.368]

Общий метод состоит в получении для всех операций симметрии Н) точечной группы, изоморфной факторгруппе, характеров неприводимых представлений, соответствующих различным [c.368]

Правильно выполненный теоретико-групповой анализ приводит к следующему распределению оптических мод по неприводимым представлениям факторгруппы Ти. [c.490]

Подгруппа трансляций — это инвариантная подгруппа пространственной группы е- Можно ввести понятие факторгруппы элементы которой суть комплексы (Рг, тлг) (приложение А, 6) [c.52]

Классификация фундаментальных колебаний кристаллов по типам симметрии (по неприводимым представлениям факторгруппы) легко выполняется в рамках метода позиционной симметрии при помощи корреляционной теоремы (гл. 5, 2, г). [c.369]

И1-2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СВОЙСТВ ТОЧЕЧНОЙ ГРУППЫ, ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ГРУППЫ И ФАКТОРГРУППЫ [c.68]

Факторгруппы важны при анализе спектров твердых тел. Группы, которые содержат в качестве элементов симметрии примитивные трансляции, очевидно, являются группами бесконечного порядка. Это можно видеть из выражения (П1, 1-7) постоянные 1х, ty и <2 могут иметь любые целочисленные значения. Однако в эти бесконечные группы примитивных трансляций входят конечные группы, обозначаемые /, которые являются инвариантными подгруппами 73 пространственных групп. Бесконечную группу можно записать следующим образом [c.71]

Конечная группа I содержит элементы этой группы 01 1.. (где I велико, а /, обозначает tix, и /,>). Согласно определению, данному выше, факторгруппа содержит произведения одного элемента группы / и элементов Е, 81+2, , Имеется взаимнооднозначное соответствие между элементами факторгрупп и 32 точечных групп другими словами, факторгруппа изоморфна соответствующей точечной группе. [c.71]

Диопсид (С2/с—С2/,, Z=4) принадлежит к широко распространенному классу пироксенов — силикатов с цепочечными анионами (8120д)аз, несколько идеализированная конфигурация которых описывается одномерной пространственной группой с факторгруппой, изоморфной С2 . Решетка диопсида с постоянными центрированной ячейки а=9.746 А, 6 = 8.899 Л, с = 5.251 А,р =105°38 схематически показана на рис. 1, где на одной из проекций обозначен возможный способ выделения примитивной ячейки. [c.30]

Факторгруппа для рассматриваемого случая линейной группы Sm называется циклической и записывается в виде С 2лд1р). Эта факторгруппа изоморфна циклической точечной группе Ср [3]. Операции симметрии в этой группе суть Е — тождественная операция С — вращение на угол 2aqjp вокруг оси спирали с последующей трансляцией на /р долю периода идентичности С означает, что операция С применена k раз последовательно- В табл. 1 приведены характеры, число нормальных колебаний, их спектральная активность и поляризация для факторгруппы С 2лд1р) [24]. [c.247]

Эта факторгруппа описывает симметрию и колеба-тельные спектры таких полимеров, как полиоксимети- [c.249]

Если в ячейке кристалла содержится Z молекул, то вековое уравнение (20) имеет степень 6Z по отношению к v . Вообще говоря, это вековое уравнение необходимо решить для каждого из N значений, которые в соответствии с циклическими граничными условиями может принимать волновой вектор в первой зоне Бриллюэна. Для случая q=0 задачу можно упростить, введя симметрические координаты, преобразующиеся по неприводимым представлениям факторгруппы симметрии кристалла эти координаты представляют собой линейные комбинации функций типа (17). [c.164]

Пространственная группа кристаллов граната Он 1аЫ) и фононные моды кристаллической решетки также преобразуются в соответствии с неприводимыми представлениями факторгруппы О н- Факторгрупповой анализ колебаний кристаллов этого типа [27] приводит к следующим основным выводам. В примитивной ячейке кристалла граната содержится 80 атомов. Они обусловливают появление 237 фононных мод, распределение крторых по неприводимым представлениям факторгруппы дано в табл. 5. [c.136]

Сравнение спектров КР УОаО Ь и УОаО (рис, 3) показывает, что в первом спектре появляются специфические линии. Детальные поляризационные измерения линий КР УСаО подтвердили, что линия при 358 см соответствует симметрии T2g либо Eg и Alg, две линии при 346 и 339 см — симметрии Гг (первая линия) и Eg или Лlg. Тщательное исследование контура линии КР УОаО Ь при 354 см показало, что она слегка антисимметричная. Эти данные подтверждают, что факторгруппо-вое расщепление в различных кристаллах различно, и это обусловливает особенности спектров КР в области 350 см . [c.139]

В качестве иллюстрации этого метода на рис. 7 приведена корреляционная диаграмма для низкотемпературной фазы кристаллической НС1. Внутримолекулярное валентное колебание vi в приближении позиционной симметрии преобразуется в колебание типа А (движение происходит в плоскости симметрии, принадлежащей позиционной группе). Эта примитивная ячейка содержит две молекулы, поэтому в спектре кристалла следует ожидать появления двух валентных колебательных мод. В первой колебательной моде (типа А в представлениях факторгруппы Сгс) растяжение связей двух молекул ячейки происходит синфазно во второй (типа В2) — растяжение связей молекул происходит в противофазе. (Однако колебания двух этих типов находятся в фазе с соответствующими колебаниями молекул в других примитивных ячейках.) ИК-спектр и спектр КР молекул НС1 и D 1 при температуре 70 К приведены на рис. 8 [69]. Предсказываемое факторгрупповое расщепление явно наблюдается в этих спектрах, более того, ИК-спектр и спектр КР совпадают (в пределах ошибки эксперимента). Также видно, что все полосы асимметричны, а в спектре КР отчетливо наблюдаются высокочастотные плечи. Эти более сложные детали будут рассмотрены ниже (разд. V). [c.383]

В колебательном спектре Ср4 в фазе II. Начнем со спектра КР. Среди 230 пространственных групп в четырех есть подходящая комбинация группы позиционной симметрии и факторгруппы, приводящая к двум активным компонентам для всех частот в спектре КР, за исключением частоты VI, которая должна проявляться в спектре как синглет. Отбор облегчается тем обстоятельством, что группа позиционной симметрии должна быть подгруппой точечной группы свободной молекулы, а факторгруппа— надгруппой группы позиционной симметрии. (Любая группа [c.402]

Набор смежных классов Fi—Fh образует фактор-группу пространственной группы. Для сокращения часто называют факторгруппой сами элементы симметрии E1R2 . Rh- Фактор-группы не являются точечными группами, поскольку они содержат также и такие элементы, для которых никакая точка молекулы или элементарной ячейки не остается неподвижной при применении [c.34]

Из теории групп известно, что сопряженные совокупности группы по инвариантной подгруппе можно рассматривать как элементы некоторой новой группы (фактор-группы), в которой инвариантная подгруппа играет роль единичного элемента. Порядок фактор-группы равен индексу инвариантной подгруппы, или отношению порядка группы к порядку подгруппы. Факторгруппа Фо/Га пространственной группы решетки Браве по группе трансляций в терминологии теории групп изоморфна точечной группе Gq (Фо/Га -<-> Gq). Это означает, что между элементами групп Фо/Га и Gq существует взаимно-однозначное соответствие. Так, элементу Е группы Gq соответствует вся группа трансляций Га (единичный элемент фактор-группы), элементу gi группы Со — совокупность элементов gijial группы Фо, где ta пробегает всю группу трансляций. [c.28]

При — По — Пз = 3 РЭЯ содержит 27 примитивных ячеек (7 = 27), группа Гтоа Га-— соответственно 27 трансляций, представляющих собой целочисленные комбинации векторов трансляции примитивной ячейки, не выводящие за пределы РЭЯ. Условие (2.7) (при к =0) при таком выборе РЭЯ выполнено только для внутренних точек ЗБ 6 точек типа А, 12 точек типа 2 8 точек типа А. В группе 7 векторы кл и кл относятся к разным звездам, хотя в силу вещественности гамильтониана энергии в этих точках одинаковы. Поскольку все перечисленные точки лежат внутри ЗБ, структура факторгрупп 0 /7 а и О /Та одинакова (см. табл. 2.5). [c.118]

Ранее упоминалось, что активность колебаний в ИК-и КР-снектрах зависит только от структуры повторяющейся единицы в макромолекуле. Типы симметрии могут быть предсказаны, исходя из рассмотрения элементов симметрии этой единицы. Элементы симметрии наряду с поступательным перемещением повторяющейся единицы (эквивалентно операции идентичности Е) образуют подгруппу линейной группы, которую, иногда называют группой единичной ячейки, или факторгруппой. Факторгруппа не является точечной группой, так как может включать винтовые оси и плоскости скольжения. Однако существует точечная группа, которая изоморфна с факторгруппой. Она может быть найдена, если составить полную таблицу произведений для подгруппы и сравнить ее с таблицами произведений тридцати двух кристаллографических точечных групп. Одна из них будет в точности соответствовать таблице произведений факторгруппы Это можно проиллюстрировать табл. 3.2 и 3.3 для точечной группы >2/г и изоморфной факторгруппы для линейного полиэтилена. Таблицы произведений строят по следующему принципу. В верхней строке и первой колонке записывают все элементы симметрии (включая идентич- [c.58]