Симметрия кристаллов операции

В непосредственной взаимосвязи с локальной симметрией находится трансляционная симметрия, которая указывает на пространственную природу симметрии структурного образования. Аналогично перемещению составляющих молекулы на микроуровне можно представить операции симметрии, связанные с перемещением элементов структуры структурного образования. Важнейшими из указанных операций симметрии являются простая трансляция, винтовая ось, плоскость скольжения. Еще раз отметим необходимость четкого представления особенностей симметрии кристаллов чистых веществ, заключающейся в закономерностях атомного строения, внешней формы и физических свойств кристаллов. Симметрия свойств кристалла обусловлена симметрией его строения. Кристалл может быть совмещен с самим собой путем поворотов, отражений, трансляций — параллельных переносов и других преобразований симметрии, а также комбинаций этих преобразований. [c.184]

При изучении кристаллов вводят еще одну операцию — трансляцию. Группы симметрии в этом случае называют пространственными. Анализ и классификация групп симметрии кристаллов впервые выполнены Е. С. Федоровым (1890) и имели основополагающее значение для теории строения. [c.174]

Еще в XIX в. минералоги установили, что для описания внутреннего расположения атомов или молекул в кристаллах необходимы два класса операций симметрии. Собственные операции, такие, как вращение или параллельный перенос, сохраняют хиральность объекта. Напротив, несобственные операции превращают объект в его зеркальное изображение, то есть приводят к изменению конфигурации хирального тетраэдрического атома с К на 8. Операции симметрии проводят над точками, осями и плоскостями, которые называют элементами симметрии. В кристалле подобные операции приводят к переносу атомов или молекул в положения с идентичным окружением. Например, кристаллическая структура, имеющая оси вращения п-го порядка, будет казаться неотличимой от первоначального положения при вращении на угол 2тг/п (360°/п) вдоль этой оси. В результате внутренней периодичности для кристаллов возможны оси с п = 1 (первого порядка), 2 (второго порядка), 3 (третьего порядка), 4 (четвертого порадка) и 6 (шестого порядка). Кристаллографические символы для этих осей и симметрично-эквивалентные положения, получаемые при их использовании, приведены на рис. 11.2-2. Параллельный перенос описывает смещение объекта в данном направлении и, конечно, сохраняет хиральность объекта неизменной. В кристаллах вращение на 2тг/п можно сочетать с параллельным переносом на (г/п) х (г = 1,2,..., п — 1 х = а, Ь, с), что приводит к т.н. винтовым осям симметрии Пг. [c.392]

Взаимная ориентация симметрически связанных узловых сеток не зависит от того, включает ли соответствующая операция симметрии трансляционный перенос. В этом смысле узловые сетки нечувствительны к замене операции зеркального отражения на операцию скользящего отражения или простого поворота на аналогичный винтовой поворот. Поэтому по симметрии рентгенограмм можно судить лишь о точечной, но не пространственной группе симметрии кристалла. [c.68]

К счастью, большая часть свободных радикалов, захваченных в монокристалле, может занимать лишь ограниченное число типов центров, определяемое, как правило, операциями симметрии кристалла-хозяина. Для данного радикала число типов центров локализации обычно связано с числом молекул в элементарной ячейке. Поэтому для успешного анализа спектра ЭПР ориентированных радикалов нужны детальные сведения о кристаллической структуре матрицы. Если магнитное поле направлено параллельно или перпендикулярно одной из кристаллографических осей, то некоторые или все типы радикальных центров могут стать эквивалентными. При этом спектр ЭПР существенно упрощается. Спектр на рис. 8-1 соответствует определенной ориентации радикала, полученного рентгеновским облучением -янтарной кислоты НООС—СНг—СНа—СООН [159]. Когда. магнитное поле перпендикулярно оси Ь кристалла и образует угол 100° с осью а, соответствующие главные оси радика- [c.180]

Закон Фриделя можно рассматривать как частный случай принципа Неймана всякое физическое явление обладает определенной собственной симметрией, которая накладывается ( умножается ) на симметрию кристалла. В данном случае собственная сим.метрия рентгеновской оптики — операция инверсии. [c.69]

Из равенства (7.17) видно, что так как —элемент группы, то каждая группа должна содержать тождественную операцию Е. Группы симметрии молекул называют точечными группами, потому что все элементы симметрии, которыми может обладать молекула, т. е. центр симметрии, оси симметрии, зеркально-поворотные оси или плоскости симметрии, имеют по крайней мере одну общую точку пересечения. Важный класс групп, которые не обладают этим свойством, составляют группы, описывающие симметрию кристаллов. Их называют пространственными груп-пами. Они будут кратко рассмотрены в гл. 10. [c.143]

Кристалл состоит из упорядоченной совокупности атомов или молекул. Если, например, в молекулярном кристалле произвольно выбрать отдельную молекулу, то все остальные молекулы в кристалле будут, как правило, связаны с ней по симметрии или операцией точечной группы (аналогичной тем, которые были описаны в гл. 7), операцией трансляции, или при помощи комбинации их обеих. Однако можно представить себе кристалл состоящим из фундаментальных строительных блоков (элементарных ячеек), таких, что весь кристалл можно рассматривать как созданный из этих элементарных ячеек, причем элементарные ячейки связаны между собой только чистыми трансляциями. Удобно представлять эти трансляции трехмерной сеткой такого типа, как на рис. 10.1. [c.216]

Для всех операций, связанных с математической обработкой экспериментальных наблюдений и изучения симметрии кристаллов, достаточно знания какого-либо одного типа сложных осей симметрии — зеркально-поворотных или инверсионных. Разные авторы предпочитают тот или иной тип осей в различных случаях, поэтому знание их необходимо. [c.21]

Совокупность точек можно расположить в пространстве с помощью различных операций симметрии. Аналогично этому было найдено, что положения атомов в кристалле связаны между собой характеристическими соотношениями симметрии. По симметрии все кристаллы разделяются на следующие семь классов кубические, тетрагональные, ромбические, триклинные, моноклинные, ромбоэдрические и гексагональные. Для каждой кристаллической системы характерна своя форма элементарной ячейки, зависящая от симметрии кристалла. [c.71]

Вл есте с трансляциями операции точечной симметрии порождают пространственную ( федоровскую ) группу симметрии кристалла , состоящую из всех трансляций, всех преобразований точечной группы, а также из всех комбинированных преобразований, каждое из которых включает трансляцию плюс операцию точечной группы [c.77]

Свойства симметрии кристалла и их связь с инвариантными преобразованиями оператора Гамильтона (11) этого кристалла были подробно рассмотрены в книге Захариасена [105]. Эти преобразования называются операциями симметрии. Операции симметрии делятся на два типа. Во-первых, кристалл характеризуется трансляционной симметрией, которой соответствуют операции трансляции [c.517]

Сказанное можно дополнить еще следующим. Обратное изображение обладает определенной совокупностью элементов симметрии. В отсутствие у кристалла плоскостей скользящего отражения и винтовых осей эта совокупность, как и у всякой решетки, является некоторой пространственной группой. При наличии плоскости скользящего отражения обратное изображение имеет особую плоскость , т. е. плоскость, не переходящую в другие ни при каких симметрических операциях (на рис. 188 плоскость X Y ). Обратное изображение обладает в этом случае симметрией некоторой плоской группы. В присутствии винтовых осей в симметрии кристалла обратное изображение имеет особую прямую и обладает, следовательно, симметрией определенной линейной группы. Если, наконец, кристалл имеет и плоскости скользящего отражения, и перпендикулярные им винтовые оси, то обратное изображение имеет лишь одну точку, не переходящую в другие ни при каких симметрических преобразованиях (а именно начало координат) совокупность элементов симметрии [c.312]

Первая операция при определении полной пространственной симметрии кристалла заключается в установлении его точечной группы (приложение III). Точечную труппу хорошо сформированного кристалла можно установить при изучении расположения его граней. Если же грани образованы недостаточно хорошо, то внутреннюю симметрию необходимо определить рентгенографически. Рентгенографическое определение, впрочем, всегда проводят в качестве контрольного. Элементы симметрии кристалла можно установить по лауэграмме, например приведенной на рис. IV.1. На лауэграмме каждый элемент симметрии кристалла, совпадающий с осью лучка рентгеновских лучей, будет проявляться на пленке в виде симметричного расположения рефлексов. Так, из рис. IV.1 следует, что имеется ось 2-го порядка и две плоскости отражения, параллельные пучку рентгеновских лучей. Для определения всех элементов симметрии необходимо проверить все ориентации кристалла, так чтобы каждая из осей или плоскостей стала параллельной пучку и могла бы быть при этом идентифицирована. Таким образом определяется полный набор элементов симметрии, составляющий одну из точечных групп. Существенным препятствием для осуществления этой процедуры является тот факт, что все кристаллы при рентгеноструктурном исследовании кажутся центросимметричными, поскольку отражение от одной стороны набора плоскостей решетки обычно неотличимо от отражения от другой стороны. Для преодоления этой трудности были разработаны специальные методы. Простейший из них заключается в изучении внешней формы кристалла, позволяющей судить, существует ли центр симметрии. Примечательно, что простое макроскопическое наблюдение в этом случае может дать существенную информацию, дополняющую ту, которая получается при использовании метода дифракции рентгеновских лучей. [c.772]

Трапецоэдры — тригональный, гексагональный и тетрагональный — также могут быть правыми и левыми (см. рис. 69). Грани трапецоэдра — четырехугольники с двумя равными смежными сторонами. Эти грани расположены под косыми углами к главной оси и составляют неравные углы с осями 2, перпендикулярными главной оси. Верхняя и нижняя пирамидки трапецоэдров, связанные друг с другом поворотом вокруг оси 2, повернуты друг относительно друга на угол, не фиксированный операциями симметрии кристалла. В этом состоит отличие трапецоэдров от дипирамид, с которыми их легко спутать. [c.73]

Наряду с описанием симметрии кристалла посредством трансляции часто при определении симметрии пользуются операциями вращения и отражения. Так, кристаллы могут иметь центры инверсии, оси вращения и плоскости отражения. В кристалле с центром инверсии свойства структуры одинаковы как на векторном расстоянии г от данной точки, так и на векторном расстоянии —г. В кристалле с осью вращения структура воспроизводится при повороте на угол 360°М, где /1 = 2, 3, 4 или 6. Структура имеет плоскость отражения, если одна ее половина сопряжена с другой, как с зеркальным отражением. Кристалл называют монокристаллом, если в нем нет макроскопических областей, разориентированных одна относительно другой более чем на несколько градусов. Впрочем, даже такое широкое определение можно оспаривать. [c.18]

Помимо этого для описания симметрии положений структурных единиц в кристаллах требуется ввести элементы симметрии, включающие трансляцию. Используют два таких элемента винтовые оси и плоскости скольжения. Вместе с элементами точечной симметрии эти элементы образуют 230 возможных пространственных групп, описывающих симметрию структуры кристаллов. Операция плоскости скольжения состоит из отражения в плоскости и трансляции вдоль этой плоскости. Расстояние, на которое происходит перенос, равно определенной доле периода решетки вдоль направления трансляции. [c.20]

В данной главе за элементарную ячейку принимается минимальный, объем кристалла, при помощи которого и операций трансляции вдоль соответствующим образом выбранных осей порождается вся решетка ). Кристаллографы часто выбирают единичные векторы элементарной ячейки, исходя из соображений симметрии, хотя в этом случае иногда элементарная ячейка не является примитивной. Число примитивных ячеек, содержащихся в кристаллографической элементарной ячейке, можно легко определить для любой пространственной группы из рассмотрения симметрии кристалла или из кратности эквивалентных положений в элементарной ячейке [49]. [c.368]

Перейдем теперь к операциям симметрии идеального кристаллического многогранника. Это геометрические операции, переводящие многогранник в положение, неотличимое от исходного, или, что то же, совмещающие его с самим собой. Такие операции соответствуют элементам симметрии кристалла. [c.17]

Для того чтобы операция ( ,1) была операцией симметрии кристалла, необходимо следующее [c.40]

Если мы хотим, чтобы операция (4.7) была операцией симметрии кристалла, то оператор должен быть оператором трансляции решетки при рассмотренных выше значениях т. [c.43]

Сказанное можно обобщить. Точку ячейки, инвариантную относительно некоторых операций пространственной группы кристалла, называют позицией. Совокупность операций, относительно которых инвариантна позиция, образует группу — позиционную группу, последняя обязательно является точечной группой. Позиционная группа описывает симметрию кристалла, которую увидел бы наблюдатель , помещенный в эту точку. Точка, находящаяся в общем положении в ячейке, т. е. не находящаяся ни на одном из элементов замкнутой симметрии ), имеет позиционную группу, образованную единственным элементом идентичности. Тогда g операций (/ , тд) порождают g гомологических точек. В кубических кристаллах такие позиции редко бывают занятыми в отличие от кристаллических классов менее высокой симметрии. [c.56]

Свойства симметрии комплексных, нормальных координат Qr(q) нам известны они определяются неприводимыми представлениями пространственной группы симметрии кристалла (гл. 4, 4). В силу того что Pr(q)= Qr(q), момент i r(q) имеет ту же симметрию, что и Qг(q). Соотношение (2.32) и подобные ему соотношения говорят о том, что операторы Ь% и b- r имеют такие же свойства симметрии, как и нормальная координата Qr(q) Точно так же, заменив q на —q, видим, что операторы и при операциях симметрии преобразуются по закону Рг(—q) = Qp(q). Пусть фо будет функцией вида (2.19), у которой все квантовые числа ицл равны нулю. Она описывает состояние, в котором в кристалле нет фононов — состояние фононного вакуума. Это единственное невырожденное состояние можно предположить, что соответствующая функция фо инвариантна по отношению ко всем операциям пространственной группы симметрии кристалла. Симметрия состояния фонона (я, г), описываемого собственной функцией определяется симметрией Ь г- Таким образом, она оказывается такой же, как симметрия координаты Qr(q). [c.192]

Симметрия кристаллов является тем характерным признаком, с помощью которого можно провести классификацию кристаллических форм. Симметричные кристаллы обладают одним или несколькими элементами симметрии, которыми являются центр симметрии, оси и плоскости. Центром симметрии (центром инверсии) тела называется точка, в которой может отразиться каждая точка данного тела. Например, для тела, изображенного на рис. П1.48, а, возьмем точку А и соединим ее с центром инверсии О. Затем продолжим прямую линию за точку О на равный отрезок. В результате попадаем в точку А, во всех отношениях подобную исдодной точке А. Аналогичные операции можно провести со всеми остальными точками тела, чтобы убедиться, что точка О является центром симметрии. Центр симметрии может быть иногда единственным элементом симметрии кристалла, как, например, в кристаллах медного купороса. [c.234]

I pqr И IpqT также всегда одинаковы . Сказанное означает, что дифракционная картина, даваемая любым кристаллом, всегда центросимметрична независимо от того, содержится ли в действительности операция инверсии в точечной группе симметрии кристалла. Это общее правило называется законом центросимметричности рентгеновской оптики (закон Фриделя). [c.69]

Классификация кристаллов основана на их симметрии. Знаменитый русский кристаллограф Е. С. Федоров (1853—1919) определил понятие симметрии таким образом Симметрия есть свойство геометрических фигур... в различных помжениях пр одить в совмещение с первоначальным положением . Симметрия характеризуется элементами и операциями симметрии. Операцией симметрии называют операцию совмещения точки (или части фигуры) с другой точкой (или частью фигуры). Обе совмещаемые части фигуры симметричны. Элементом симметрии называется воображаемый геометрический элемент, с помощью которого осуществляется операция симметрии 149, стр. 24]. [c.118]

СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ. Термин означает симмет-ршо внеш. формы кристалла (идеали.зированиого кристаллич. многогранника) или идеальной (бесконечной в трех измерениях) кристаллич. структуры. им reтpия кристаллич. многогранника определяется совокупностью операций (повороты, инверсия, отражения в плоскости н др.), в результате к-рых многогранник совмещается сам с собой эта совокупность представляет собой точечную группу (группу [c.526]

Операции симметрии кристалла относятся к трем типам операции точечных групп, трансляции и комбинации этих двух тИ пов, такие, как винтовое вращение (вращение с последующей трансляцией). Набор таких операций определяет пространствен ную группу кристалла. Обозначения, принятые в гл. 7 для точечных групп, называют обозначениями Шенфлиса. Для простраь-ственных групп кристаллографы обычно пользуются другой системой обозначений, называемой символикой Германа — Могена или международной символикой. Она представляет собой последовательность символов, определяющих операцни. Так, символ 2/т определяет группу с осью вращения второго порядка и зеркальной плоскостью, перпендикулярной ей. Записывают лишь [c.217]

Тот факт, что имеется 230 способов, при помощи которых операции симметрии могут комбинироваться в трехмерные решетки кристаллов, установлен независимо друг от друга тремя учеными русским кристаллографом Федоровым в 1890 г., немецким математиком Шёнфлисом в 1891 г. и англичанином Барлоу в 1895 г. Пространственные группы обозначают, ставя сначала символ решетки Бравэ, за ним символ точечной группы с соответствующими изменениями для замены осей вращения винтовыми осями и зеркальных плоскостей плоскостями скольжения. Современное определение пространственных групп кристаллов было невозможно, пока дифракционные методы не были использованы для определения внутренней симметрии кристаллов. Знание пространствен- [c.570]

Рассмотрим несколько примеров. Молекула гране-бута диен а имеет четыре операции симметрии. Наличие тождественного преобразования тривиально. Мы уже упоминали о вращении на 180°, которое обозначается символом Сг. Как у любой плоской молекулы, отражение в плоскости молекулы является операцией симметрии. Оно обозначается символом Он, где индекс /г указывает, что отражение осуществляется в горизонтальной плоскости (перпендикулярной оси вращения, которая рассматривается как вертикальная ось). Эта операция не изменяет положения всех атомов молекулы. (Заметим, однако, что она приводит к изменению знаков всех базисных ря-функций.) Инверсия всех координат в точке начала отсчета, выбранной в центре молекулы, тоже является операцией симметрии. Эта операция приводит к такой перестановке индексов атомов, как операция Сг. (Она изменяет не только индексы, но и знаки базисных ря-функ-ций.) В данном конкретном случае система имеет по одному элементу симметрии (тождественное преобразование, ось, плоскость и точка), соответствующему каждой операций симметрии. Группа симметрии, состоящая из этих элементов, Е, С2, I, б , называется группой Сгй. Все элементы симметрии бутадиена пересекаются в точке инверсии. Все элементы симметрии- любого объекта должны пересекаться в некоторой точте поэтому п 9-странственные группы симметрии индивидуальных объектов часто называют точечными группами. Группы, симметрии, используемые для описания кристаллов и других систем, обладающих повторяющейся трансляционной симметрией, называются пространственными группами. Здесь мы сосредоточим внимание на точечных группах симметрии объектов молекулярного типа. [c.267]

Огромное значение симметрии для предсказания спектров кристаллов обсуждалось рядом автором [44, 54, 102], в частности Уинстоном и Халфордом [108]. Они рассматривают различные математические группы, составленные из операций симметрии кристалла. Пространственной группой является группа всех операций симметрии, включая трансляции паЛ, щ Ь, ПсС) вдоль осей элементарной ячейки. Набор этих трансляций сам образует группу, называемую группой трансляций. Показано, что пространственная группа является произведением группы трансляций и группы, называемой фактор-группой (которая представляет собой набор всех смежных классов группы трансляций). Фактор-группа изоморфна одной из 32 точечных групп, возможных в кристаллах, но в дополнение к чисто точечным операциям может включать и операции, соответствующие винтовым осям или плоскостям скольжения. Фактор-группу часто называют группой элементарной ячейки. Элементарная ячейка определяется как наименьший объем кристалла, который даст всю решетку кристалла, когда на него подействуют элементы группы трансляций (этот объем меньше, чем элементарная кристаллографическая ячейка, в том случае, когда последняя центрирована). [c.583]

Если бы все узлы обратной решетки были равноценны, то она имела бы точечную группу, голоэдрическую в данной сингонии. В / 2-теле веса узлов различны, причем отражениям от плоскостей, связанных операциями симметрии, соответствуют узлы равного веса. Поэтому [/ р-тело должно передавать точечную симмет рию кристалла. Однако в соответствии с теоремой центросимметричности узлы кЫ и кЫ, находящиеся на равных расстояниях в противоположные стороны от начала координат, должны всегда иметь одинаковый вес ( / -тело всегда обладает центром инверсии). Таким образом, симметрия / -тела есть точечная симметрия кристалла плюс центр инверсии, плюс равнодействующие элементы симметрии -тело обладает симметрией дифракционного класса. [c.315]

Любая точка в кристалле имеет позиционную симметрию, описываемую одной из 32 точечных групп симметрии. Большинство точек в кристалле занимают, конечно, общие положения в элементарной ячейке и обладают тривиальной симметрией С. Однако некоторые особые положения, или места, могут лежать на одном или нескольких элементах симметрии, которым соответствуют операции симметрии, оставляющие их на своих местах, то есть эти точки инвариантны по отношению к этим операциям. Следуя Халфорду [57], точечные группы, которые описывают позиционную симметрию в элементарной ячейке, называют группами позиционной симметрии. Необходимо подчеркнуть, что эти группы включают все элементы симметрии, оставляющие это положение инвариантным. Любая точка данного положения в элементарной ячейке переводится в эквивалентную точку с той же позиционной симметрией при операциях, которые не являются операциями точечной группы, а под действием этих операций порождаются элементы симметрии, которые не совпадают с элементами симметрии этой точечной группы. Поэтому в любой элементарной ячейке имеется конечное число особых позиций с одной и той же позиционной симметрией. Всевозможные позиционные симметрии и соответствующие эквивалентные положения табулированы [49] для любой из 230 пространственных групп. [c.377]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология