Группа волнового вектора

Во втором особом случае к совпадает с осью кристалла Ь и инвариантен только по отношению к повороту вокруг оси Ь на 180°. Группой волнового вектора является группа Сз, состоящая из операции идентичности и поворота вокруг оси на 180°. Классификация проводится в соответствии с двумя представлениями, для которых соответствующими комбинациями являются вновь уравнения (21а) и (216). Во всех случаях инверсия меняет знак у вектора к и поэтому никогда не является операцией [c.522]

Состояние кристалла для к — в плоскости ас. группа волнового вектора [c.523]

Состояние кристалла для к — вдоль оси Ь. Группа волнового вектора Сг [c.523]

Переходы в верхние состояния с к О возможны, если основное электронное состояние [см. уравнение (12)] имеет связанные с ним колебания решетки или же если кристалл имеет дефекты или содержит примеси. В случае колебаний решетки, связанных с основным электронным состоянием, формальное требование постоянства вектора к при переходе может выполняться, если в верхнем состоянии волновой вектор равен волновому вектору колебания решетки в основном состоянии. Такие переходы проявляются в спектрах поглощения слабо, так как их интенсивность зависит от способности колебания решетки вызвать в электронной волновой функции компонент не равного нулю вектора к. Однако изучение соответствующего момента перехода показывает, что правила отбора, как можно было ожидать, выводятся из группы волнового вектора. Если группа волнового вектора не имеет элементов симметрии, то направление поляризации не связано с осями кристалла. В противном случае направление поляризации может быть ограничено определенной плоскостью или осью кристалла. В каждом из случаев, приведенных в табл. 4, поглощение происходит только в направлении оси Ь или в плоскости ас в кристаллах [c.524]

С более высокой пространственной группой симметрии, таких, как бензол, существует последовательный ряд возможностей в соответствии с широким набором имеющихся групп волнового вектора. Например, в фактор-группе бензола Огл (табл. 4) волновой вектор может лежать вдоль одной из осей второго порядка и быть инвариантным по отношению к вращению вокруг этой оси и двум отражениям, принадлежа, таким образом, к группе Сг . Эта симметрия достаточно высока, чтобы ограничить момент перехода одной из трех осей симметрии. И наоборот, волновой вектор может лежать в одной из зеркальных плоскостей, а не вдоль оси. Группой волнового вектора является тогда группа 1 , а переходы поляризованы или вдоль оси, перпендикулярной к зеркальной плоскости, или в плоскости. Направление в плоскости меняется с изменением направления и величины вектора к. [c.525]

Правила отбора для оптических переходов свободной молекулы, которые определяют, какие переходы могут проявляться в спектре газа, строго говоря, неприменимы к кристаллу. В кристалле действуют правила отбора подгруппы трансляций (ограничения по Ак) и правила отбора группы волнового вектора. Для переходов с волновым вектором, равным нулю, применимы правила отбора фактор-группы, и если эта группа имеет значительно более низкий порядок, чем группа свободной молекулы, как это обычно имеет место, то многие из переходов, запрещенных в свободных молекулах, становятся разрешенными в кристалле. Типичным примером является переход бензола Aig, запрещенный для точечной группы [c.525]

Группа волнового вектора [c.103]

Множество операций пространственной группы, обладающих таким свойством, образует группу волнового вектора (я). Группа волнового вектора является, очевидно, подгруппой пространственной группы, а группа трансляций является подгруппой группы (я), так как трансляции не влияют на волновой вектор. Группа трансляций есть инвариантная подгруппа группы З (я). Можно определить изоморфную точечной группе (я) фактор-группу (я)/ , которая состоит из операций (/ , О), оставляющих инвариантным волновой вектор, где (я)—подгруппа точечной группы, определяющей класс кристалла. [c.103]

Для определения группы волнового вектора в различных кристаллических решетках полезно обратиться к зонам Бриллюэна. [c.104]

В случае точек, лежащих на поверхности зоны, нужно учитывать, что некоторые операции симметрии могут преобразовывать их в эквивалентные точки, тоже лежащие на поверхности. Например, точка L (фиг. 3.6,6), лежащая на оси третьего порядка, при инверсии относительно точки Г переходит в противоположную точку, отличающуюся от L на трансляцию 4d (111), но эквивалентную ей, так что симметрией точки L будет не з , а 3>3d- Группы волнового вектора 5 (q) в разных точках зон, представленных на фиг. 3.6, приведены в табл. 4.1. [c.104]

Симметрия комплексных нормальных координат в группе волнового вектора [c.106]

Группу волнового вектора (я) можно также разложить на комплексы по группе (я) [c.110]

Рассмотрим теперь переход от группы волнового вектора к пространственной группе. [c.111]

На практике в большинстве случаев нужно знать не явный вид матриц неприводимых представлений пространственных групп, а только их характеры. Ниже будет показано, как можно найти эти характеры, если известны характеры допустимых неприводимых представлений группы волнового вектора. [c.112]

Векторам q, q2,. .., q , образующим звезду, соответствуют в том же порядке группы волновых векторов S (q), (Яг),. ... .., Можно показать, что эти группы изоморфны. [c.112]

Характером ( . д) неприводимого представления пространственной группы, порожденного допустимым представлением (т) группы волнового вектора З (я), будет [c.113]

Общий метод анализа колебаний основывается на материале, изложенном в гл. 4. При я = О группа волнового вектора тождественна пространственной группе кристалла. Мы можем разложить эту группу на комплексы по инвариантной подгруппе трансляций (приложение Д), т. е. [c.115]

Если рассматриваемый тип колебаний вырожден по отношению к группе волнового вектора (Яо), то функция ю (я), вообще говоря, не будет аналитической и поэтому ее нельзя представить в виде разложения в ряд Тэйлора. Такие критические точки возникают из-за касания ветвей (я) в точках симметрии. Можно показать, что, если эти точки связаны с двойным вырождением в плоскости симметрии, они являются точками перегиба Fi и F2 (неглубокие седловые точки) они приводят к сингулярностям функции g (iu), аналогичным сингулярностям в критических точках Pi и Рг (фиг. 10.9). [c.272]

Формулами (8.12) и (8.26) очень просто пользоваться, когда Я = —Я- Мы рассмотрим случай, когда волновой вектор представляет собой вектор У1(1 /гО) для структуры типа обманки (приложение Е, 1). Вектор —Wl равен вектору W2(—1 /2 0), который получается из вектора У1 в результате операции пово-р ота 01. Эти два вектора принадлежат одной и той же звезде. Группы волновых векторов, соответствующие векторам У1 и W2, сопряжены друг с другом посредством операции С . [c.280]

СИММЕТРИЯ КОЛЕБАНИЙ КРИСТАЛЛА В ГРУППЕ ВОЛНОВОГО ВЕКТОРА [c.386]

Точки Г и Я обладают полной кубической симметрией. Волновым функциям в этих точках соответствует один и тот же набор типов симметрии. Группа волнового вектора Д изоморфна точечной группе 4тт — подгруппе группы 4/т тт. Группа волнового вектора Я содержит только повороты вокруг одной из осей третьего порядка. Группа волнового вектора 2 имеет порядок 4 и ей соответствуют четыре невырожденных состояния. Типы симметрии для этих точек и энергетические зоны в приближении свободных электронов рассмотрены в работах [4—6]. [c.31]

Все операции точечной группы кристалла С С является подгруппой Со или совпадает с ней), оставляющие вектор к неизменным или переводящие его в эквивалентный вектор, образуют так называемую точечную группу волнового вектора С которая является подгруппой С или совпадает с ней (например, для точки Г). [c.59]

Oh). В табл. 1.5 приведены обозначения для неприводимых представлений кубических групп О л, OL Он вместе с обозначениями неприводимых представлений точечных групп волнового вектора. Приведены также часто используемые в теории твердого тела обозначения типа Г15, учитывающие так называемые соотношения совместности. [c.73]

Все характерные особенности изложенной теории можно выяснить, рассмотрев какое-либо одно из направлений, для которого группа волнового вектора ( (д) состоит не только из операции тождественного преобразования. Ниже приводятся результаты расчета для направления, задаваемого волновым вектором [c.22]

Функции, полученные из уравнения с помощью операций фактор-группы, являются функциями подобного же вида, принадлежащими разным местам элементарной ячейки, заданным одним из значений индекса . Линейные комбинации уравнения (19) и его преобразований могут быть составлены так, чтобы они принадлежали представлениям фактор-группы. Пример будет приведен ниже . Даже если вектор к не равен нулю, может, однако, случиться, что он инвариантен по отношению к определенным операциям фактор-группы. Эти операции образуют подгруппу фактор-группы, названную Бокартом и др. [5] группой волнового вектора. Из функций [уравнение (19)], принадлежащих к-му представлению группы трансляций, тоже могут быть составлены такие комбинации, которые обладают свойствами представлений группы волнового вектора. В качестве примера для простого кристалла нафталина и антрацена (Р21/й) уже было показано, что для к = О волновые функции кристалла преобразуются подобно представлениям фактор-группы. Сг/г, приведенным в табл. 1. Существуют два занятых места, пронумерованных 1 и 2, и /2 молекул в каждом наборе молекул, связанных трансляцией. Из операций фактор-группы, приведенных в табл. 1, как вращение, так и отражение переводят набор 1 в набор 2 и наоборот. Инверсия переводит каждый набор сам в себя, а представления фактор-группы должны иметь те же самые характеры ( или и), что и волновые функции молекулы. Прежде чем рассматривать другие операции, следует найти соотношение между системами координат молекул в этих двух местах. Это делается следующим образом. Предположим, что прямоугольная правовинтовая система осей совмещена с осями симметрии молекулы в месте 1 элементарной ячейки при выбранном произвольно положительном направлении. Тогда расположение осей для молекулы в месте 2 будет определяться преобразованием исходных осей с помощью операций 0/1. Теперь преобразование функции при помощи каждой операции симметрии фактор-группы фиксировано, а следовательно. [c.521]

Если молекулы в кристалле сохраняют центр симметрии в локальной группе, то переходы g g, которые запрещены в молекуле, остаются запрещенными и в кристалле, так как каждое состаяние свободной молекулы переходит в "-состояния фактор-группы, а ы-состояния входят в и. Однако это верно только для состояний кристалла с нулевым волновым вектором и неприменимо во всех случаях, когда к не равен нулю, потому что группа волнового вектора в этих случаях никогда не включает в себя инверсию пространства. Следовательно, даже в кристаллах высокой симметрии можно наблюдать переходы g — g, если снято ограничение к = 0. Это, по-видимому, более вероятно в случае спектров люминесценции, а не в спектрах поглощения, потому что смешение экснтонных и решеточных колебаний может быть достаточно сильным в течение времени жизни люминесцентного состояния. Вследствие этого осуществляется заселение экснтонных уровней с не равным нулю к, а также не равных нулю фонон-ных уровней, если существуют подходящие соотношения энергий. [c.525]

Задачу можно упростить, если учесть следующее обстоятельство, относящееся ко всем пространственным группам, как симморфным, так и несимморфным. Мы знаем, что элемент (7 ,1 + тн) можно рассматривать как произведение Е,Хп) Я,Гн) трансляции решетки ( , 1 ) на операцию (/ , Тн). Матрицу, соответствующую элементу ( , 1 + Тд) в данном неприводимом представлении группы волнового вектора 9 ц), можно рассматривать как произведение матрицы неприводимого представления элемента Е, 1 ) группы (я) ) на некоторую другую, искомую матрицу. [c.110]

Когда конец волнового вектора я. служащего для определения звезды, находится внутри зоны, звезда имеет столько лучей, сколько операций в кристаллическом классе. Группа волнового вектора является группой трансляций, в которой данному вектору я соответствует только одномерное представление. Если д(я) — нормальная координата, принадлежащая этому представлению, то g нормальных координат, соответствующих ц ветвям звезды, образуют вместе й -мериое представление пространственной группы. Когда модуль волнового вектора равен нулю (1я1 =0). волновой вектор совпадает с центром Г зоны Бриллюэна и все операции симметрии кристаллического класса оставляют этот вектор инвариантным. В этом случае группа волнового вектора совпадает с пространственной группой, но, поскольку все операции трансляции представляются единицей, [c.111]

Одно правило отбора мы получим, исходя из того, какие коэффициенты М д, —я г и Гг), а = х, у, г должны быть равны нулю по соображениям симметрии при заданных значениях Я, Г и Г2. Для этого индексы ветвей Г1 и в выражении (8.1) удобно заменить обозначеппямц, применяемыми в теории групп, которые указывают на случайное вырождение ветвей. Обозначим через д / (ч) нормальную координату, принадлежащую /п-му неприводимому представлению группы волнового вектора (я) индекс I принимает значения 1, 2,. .., 1т, где 1т — степень вырождения представления т) (гл. 4, 4). Тогда выражение (8.1) примет вид [c.275]

Если волновые векторы k и gkj эквивалентны (совпадают) или отличаются на вектор обратной решетки, то функции 1(7к, и tfgk, являются базисными для одного и того же неприводимого представления группы T a- Все операции g, удовлетворяющие этому условию, образуют точечную группу волнового вектора Gk,, порядок которой к,равен По1гпк , где лд — порядок точечной группы кристалла, /Пк, — число векторов в звезде вектора к]. Таки.м образом, неприводимое представление группы Га с номером к входит в приводимое представление D группы Ф к, раз. Блоховские функции с неэквивалентными векторами, входящими в звезду ki (их чпсло равно Шк, ). переходят друг в друга при операциях точечной группы кристалла. [c.63]

Для симморфных групп Г и О л неприводимые представления в точках А, L, W определяются неприводимыми представлениями соответствующих точечных групп волнового вектора >4, Вз, С4 для группы Та и D4/,, D a, Did — для группы О],. Это различие обусловлено различием кристаллических классов, по отношению к которым определяется точечная группа волнового вектора. [c.71]

Пространственная группа симметрии кристалла корунда (а-Л120з) — 0 а, в ромбоэдрической элементарной ячейке две формульные единицы (10 атомов) (рис. 1.19). Группа о1а соответствует тригональной решетке Браве и является несимморф-ной. При выборе начала координат в точке с симметрией С . (точка О на рисунке) поворот вокруг осей второго порядка (оси ОУ, ОС, ОО) и соответствующие отражения в плоскостях (/Сгу, /Сгс, /Сго) сопровождаются несобственной трансляцией на вектор ж= (а1+а2-Ьаз)/2, где аь аг, Яз — векторы основных трансляций, определяющие трансляционную подгруппу Га Зона Бриллюэна для кристалла корунда показана на рис. 1.19. В центре ее (точка Г) и в точке I группа волнового вектора Фк совпадает с пространственной группой кристалла. Для симметричных точек Р п 1 фактор-группа Фк/Т а изомор- фна точечной группе С2/1, а для симметричного направления А (пЬ оси г)—группе Сз . Для направлений В, Е, Q, У точечная группа волнового вектора изоморфна группе Сг. Для точки 2 [c.74]

Таким образом, рассмотренная в 1.8 классификация многоэлектронных состояний кристалла по неприводимым представлениям Л пространственной группы сохраняется и для одноэлектронных состояний, которые характеризуются звездой волнового вектора к и номером I неприводимого представления группы волнового вектора. Одному и тому же непр Ш0дим0 у1у представлению группы симметрии кристалла может соответствовать, как и в случае молекул, несколько одноэлектронных состояний. Для нумерации одноэлектронных энергий кристалла в отличие от молекул вместо двух значков гу (г — индекс неприводимого представления точечной группы, V — номер состояния с данной симметрией) вводят два значка лк. Номер энергетической зоны п (при фиксированном к все одноэлектронные энергии упорядочиваются в порядке возрастания) характеризует как неприводимое представление точечной группы волнового вектора, так и номер состояния с данной симметрией относительно этой группы, а вектор к определяет неприводимое представление группы трансляций. [c.80]

Одноэлектроиные функции для кристалла нумеруются тремя индексами /гка, где а нумерует разные базисные функции одного и того же представления пространственной группы. Число таких функций Лк., как уже отмечалось, равно произведению размерности неприводимого представления точечной группы волнового вектора л, на число векторов в его звезде Ши (для несимморфных кристаллов используются также представления группы 5к — Фк/ГкО- [c.80]

В следующем параграфе мы увидим, что взеденпе модели КРЭЯ связано с таким изменением классификации его. одноэлектронных состояний по неприводимым представлениям группы трансляций, которое позволяет ограничиться только нулевым значением вектора к, что п приводит к квазимолекуляр-иому характеру модели в центре зоны Бриллюэна (точке к=0) точечная группа волнового вектора Ск изоморфна точечной группе кристалла, а матрица кристаллического гамильтониана, как и в случае молекул, вещественна. [c.92]

Построенные в [11] специальные точки общего вида, однако, неудобны для расчетов на основе модели КРЭЯ, как впрочем и при обычных зонных расчетах. Расчет заметно упрощается для симметричных точек ЗБ, лежащих на ее границах или на осях симметрии обратной решетки. При этом благодаря более богатой точечной группе волнового вектора для таких точек существенно сокращается объем вычислений, особенно для высокосимметричных кристаллов со сложной структурой ячейки. Вместе с тем можно построить такие комбинации симметричных точек, которые удовлетворяют (2.36) по крайней мере для нескольких первых значений М, т. е. использовать симметричные точки в качестве специальных. [c.135]

Специального рассмотрения требует вопрос о том, как для конкретной КРЭЯ связать каждую из получающихся МО с каким-либо неприводимым представлением группы трансляций и установить, таким образом, какому уровню п(к) в энергетическом спектре кристалла соответствуют связанные с МО одно-электронные энергии квазимолекулы Ет. При установлении такой связи необходимо учитывать степень вырождения каждого уровня, зависящую от числа векторов звезды волнового вектора, а также свойства симметри блоховских функций, связанные с группой волнового вектора (см. 1,8), [c.174]

В кристалле LiH валентная зона является невырожденной (рис. 4.1), поэтому отнесение получающихся в расчете КРЭЯ молекулярных орбиталей к определенным зонным состояниям осуществляется сравнительно просто для четырех из рассмотренных в табл. 4.1 КРЭЯ это можно сделать уже по кратности вырождения соответствующих МО, для двух оставшихся ячеек следует учесть трансформационные свойства МО при преобразованиях из точечной группы волнового вектора. [c.207]

В заключение настоящего параграфа, мы хотели бы обратить внимание на следЗ Ющее. Во всех рассмотренных работах, в том числе в монографии Ковалева, авторы, говоря о неприводимых представлениях пространственной группы волнового вектора д, на самом деле, имеют дело с представлениями точечной группы волнового вектора д, т. е. группы [c.19]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология