Представления групп прямое произведение

Таблица 6-2. Таблица характеров для группы и представления некоторых прямых произведений [c.272]

Правила умножения представлений определяются тем, что берутся произведения характеров элементов симметрии при этом характеры представлений, являющихся прямыми произведениями, равны произведению характеров отдельных представлений. Если, например, взяты представления точечной группы из таблиц характеров получим [c.88]

Для группы Сзг, составить все прямые произведения неприводимых представлений друг на друга и разложить их на неприводимые. [c.38]

Прямое произведение двух представлений (6.10) не обязательно является неприводимым представлением. Рассмотрим, например, прямые произведения некоторых представлений группы С [c.200]

Найдите прямые произведения представлений [8 и Е2и группы Вбь, Е группы С4у на самих себя. Определите [c.27]

Прямое произведение Операции группы На какие неприводимые представления разбивается [c.210]

Выше было рассмотрено прямое произведение представлений, которые, как уже говорилось, в общем случае тоже являются группами, образованными матрицами [c.216]

Вышеприведенный интеграл содержит оператор Я, который всегда принадлежит к полностью симметричному неприводимому представлению. Следовательно, симметрия всего подынтегрального выражения будет определяться симметрией прямого произведения /,- и 1 / . Как было показано в гл. 4, прямое произведение представлений и v /j принадлежит к полносимметричному неприводимому представлению, только если и (/у относятся к тому же неприводимому представлению. Итак, подводя итог, можно утверждать, что интеграл энергии будет отличаться от нуля, только если ч , и ч/j принадлежат к тому же самому неприводимому представлению точечной группы изучаемой молекулы. [c.247]

Состояния с заполненными орбиталями. Для электронной конфигурации, в которой все орбитали целиком заполнены, имеется только одно электронное состояние, и оно полностью симметрично. Покажем это для случая невырожденных орбиталей. Волновая функция такого электронного состояния записывается в виде произведения одноэлектронных орбиталей. Симметрия произведения определяется характерами представления прямого произведения. Однако произведение любой орбитали на самою себя всегда даст полносимметричное представление независимо от ее характера, так как произведения 11 и (-1) (-1) всегда равны 1, т.е. в каждом классе точечной группы характеры [c.271]

Т. е. если прямое произведение представлений двух одинаковых функций о (функция с одинаковой симметрией) содержит представление Q . Нам известно, что прямое произведение двух функций с одинаковой симметрией всегда содержит полносимметричное представление. Следовательно, интеграл будет отличаться от нуля, если только принадлежит к полносимметричному неприводимому представлению точечной группы молекулы. Отсюда мы можем сделать вывод, что координата реакции, за исключением точек максимума и минимума, принадлежит к полносимметричному неприводимому представлению точечной группы данной молекулы. [c.318]

V. Прямое произведение представлений группы. Как было показано в 19, система собственных функций оператора Гамильтона Н образует базис для представления группы g one- [c.692]

Предположим, что функции и ф являются собственными функциями оператора Н, соответствующими неприводимым представлениям и Г . Тогда произведению функций фф будет соответствовать представление той же группы g, которое называется прямым произведением и Т , т. е. можно написать [c.693]

Поскольку представления группы изображаются матрицами (например, Гф = (Гг (ф))), то прямое произведение представлений (Г, ГО) будет выражаться через прямое произведение соответствующих матриц (см. В, разд. VI). Из определения прямого произведения матриц непосредственно следует, что характер представления прямого произведения равен простому произведению характеров соответствующих представлений. Так, например, [c.693]

Пока что мы ознакомились только с одним способом построения матричных представлений группы из других представлений (например, неприводимых) —путем прямого суммирования. Существует еще один способ, называемый образованием прямого произведения двух (или большего числа) представлений, который символически обозначается следующим образом Г = = Г, (2) Гз. [c.131]

Равенства (6.123) и (6.124) позволяют без труда найти симметричную и антисимметричную части прямого произведения необходимые для определения возможных состояний пары электронов, которые находятся на вырожденном уровне E g. Выражения для у дают квадраты характеров неприводимого представления E g группы /)бй и приведены в нижней части табл. 6.5. При определении величин снова используются характеры группы D n, причем сначала по формуле (6.122) определяют опе рацию Т, а затем находят соответствующий ей характер. Так, например, повторное применение операции 5 приводит к операции з, повторение операции gf 2 приводит к и т. д. Результирующие значения характеров вме- [c.157]

Различия в поглощении света в разных направлениях, которые очень легко измерить в кристалле, зависят только от симметрии кристалла и могут быть определены из таблицы характеров фактор-группы. Поскольку длина волны поглощаемого света очень велика по сравнению с размерами решетки, то хорошим приближением является предположение, что могут встречаться только те переходы, в которых волновой вектор одинаков в начальном и конечном состояниях . Если основное состояние описывается выражением (12), относящимся к к = О, то в этом приближении все верхние состояния относятся к нулевому волновому вектору, а все остальные правила отбора являются правилами отбора фактор-группы. Это опять-таки может быть продемонстрировано на кристаллах нафталина и антрацена Р2 а). Переход из состояния типа симметрии Го в верхнее состояние с симметрией Гд разрешен в том случае, когда прямое произведение для перехода содержит полностью симметричное представление, а именно [c.524]

Теперь, чтобы фактически выполнить над Ф [формула (17)] те операции, которые указаны в формуле (14), удобно взять прямое произведение соответствующих спиновых функций, принадлежащих неприводимым представлениям группы перестановок, на пространственные функции, принадлежащие сопряженным представлениям этой группы затем выбрать из указанного произведения функцию, принадлежащую полностью антисимметричному представлению. [c.81]

Важность прямого произведения станет нам ясной тогда, когда нам потребуется вычислить интегралы, включающие функции, являющиеся базисами для представлений группы. [c.249]

С помощью понятия базисных функций можно определить понятие прямого произведения представлений. Пусть для двух представлений некоторой группы заданы соответственно два набора базисных функций Га (/ ) с матрицами А и матричными элементами < гк, ф — его базис размерности т а также Гв(/ ) с матрицами В и матричными элементами Ьц1, чр — его базис размерности п. Определим, с помощью каких матриц, т. е. по какому представлению, будет преобра-зовыЁаться набор функций (базис) ф -фй размерности. т-п. Это представление называется прямым произведением представлений Га и Гв и обозначается знаком X , т. е. [c.29]

Если же кристаллическое поле является достаточно сильным, так что расщепления, им обусловленные, превосходят таковые от межэлектронного отталкивания, то целесообразнее в качестве начального приближения взять функции и уровни энергии каждого из электронов в кристаллическом поле и лишь потом ввести межэлектронное отталкивание как возмущение. При таком подходе начальным оказывается то приближение, которое уже было обсуждено в п. б. Для одного электрона появляются два уровня t2g и eg, для второго -такие же два уровня. Функции для двух электронов будут иметь вид детерминантов (или их линейных комбинаций), построенных из базисных функций = 1, 2, 3 и Xki g) к =1,2. Как показывает теория фупп, все произведения функций, преобразующихся по каким-либо представлениям группы, также преобразуются по представлению, являющемуся прямым произведением исходных. Двухэлектронные функции будут, следовательно, преобразовываться по представлениям [c.413]

Для большей ясности рассмотрим некоторые примеры. Если полуцелое, для определения эффектов спин-орбитального взаимодействия необходимо воспользоваться двойными группами. Поскольку спин-ор-битальные эффекты обусловлены взаимодействием спинового и орбитального моментов электрона, мы занимаемся представлением прямого произведения этих двух эффектов. В качестве примера определим влияние октаэдрического поля и спин-орбитального взаимодействия на F-свободноионное состояние -иона. Как и в предыдущем разделе, мы можем получить полное представление в точечной группе О и разложить его [c.85]

Ион в слабом поле О,, дает, как показано в диаграмме Танабе — Сугано, основное состояние и возбужденное состояние и В двойной группе О эти состояния соответствуют Т Г. ), Т 2 Г ) и /IjiF2). Взяв S = 3/2 и подставляя вместо I в уравнение (10.9) S, мы порождаем в точечной группе О неприводимое представление С(Гд), т.е, одно из новых неприводимых представлений двойной группы. Возьмем прямые произведения спиновой и орбитальной составляющих и разложим их, как и раньше, что даст [c.85]

Аналогичное же положение имело место и в теории атома, где общая классификация термов основьшалась на задании угловой зависимости базисных функций в виде сферической функции. При численных расчетах, разумеется, потребуются обсуждения и явного вида функции / -Функции симметрии а(т = 0) преобразуются по одномерному неприводимому представлению группы Если т Ф О, то функции и со (( ) образуют базис двумерного неприводимого представления группы С . Рассмотрим прямое произведение пространств Ещ Е . Базисными функциями в этом пространстве при тФО являются следующие произведения функций (4.12) [c.201]

Для многих целей удобно рассматривать ф как координаты точек дифференцируемого многообразия, имеющего конечное или бесконечное число измерений в зависимости от того, является индекс г дискретным или непрерывным. Представление называется транзитивным, если для каждой пары точек многообразия существует групповое преобразование, которое переводит одну точку в другую. Наиболее общее представлеиле непрерывной группы получится, если взять прямое произведение транзитивных представлений ), добавить произвольное число новых переменных ф", которые остаются неизменными нри групповых преобразованиях, и затем сделать произвольное функциональное преобразование всех ф (т. е. перемешать их). Для многих представлений, которые естественным образом возникают на практике, обратить эту процедуру, т. е. распутать переменные ф так, чтобы они разделились на полный набор инвариантов и другой набор, на котором действует транзитивное представление, бывает чрезвычайно трудно, особенно в случае бесконечномерной группы. С другой стороны, не составляет особого труда распознать пивариант. Тест на инвариантность уже был приведен в гл. 3 (см. (3.10)). Заметим, что транзитивные представления не имеют групповых инвариантов, за исключением тривиальных констант, и поэтому в некотором смысле онп лишены физического интереса. [c.95]

Прямое произведение представлений. Очень часто в прикладных задачах встречаются выражения, которые содержат произведения функций, преобразующихся по тем или иным представлениям точечных групп. В частности, в 2 и 3 предшествующей главы уже встречались интегралы вида <ф /) ф>, в которых как функции и ф, так и оператор дипольного момента могут преобразовываться по различным неприводимым представлениям. Возникает естественный вопрос, по какому представлению в этих случаях будет преобразовываться подынтегральное выражение и как специфика получаемых преобразований будет отражаться на величине указанного интеграла. [c.206]

Волновые функции выступают в роли базисов для представлений, относящихся к точечной группе молекулы [1]. Пусть/ и fj будут такими функциями, тогда новый набор функций, fj . называемый прямым произведением этих функций, также окажется базисом для представления группы. Характеры прямого произведения находят с помощью следующего правила характеры представления прямого произведения равны произведениям характеров представлений для исходных функций. Прямое произведение двух неприводимых представлений будет новым представлением, которое или уже неприводимо, или может быть сведено к неприводимым представлениям. Табл. 4-9 и 4-10 показывают некоторые примеры прямых произведений для точечных групп и соответственно. [c.220]

Парал.иельное сближение, анализ орбитального соответствия. Интересно посмотреть, какая дополнительная информация может быть извлечена из анализа орбитального соответствия [7, 21]. Диаграмма соответствия для реакции димеризации этилена представлена на рис. 7-14. Она напоминает корреляционную диаграмму на рис. 7-12 со следующим различием здесь учитывается максимальная симметрия системы и приводится неприводимое представление каждой МО в этой точечной группе. Сплощные линии на диаграмме соединяют МО одинаковой симметрии. Это совершенно идентично корреляционной диаграмме, полученной в результате анализа ключевых типов симметрии. Кроме того, можно видеть, что переход с МО симметрии на МО симметрии был бы необходим для получения устойчивого основного состояния циклобутана. Симметрия необходимого колебания получается из прямого произведения этих МО [c.332]

Оба прямых произведения содержат неприводимое представление В2, которое отвечает отличающемуся по фазе асимметричному искажению молекулы, не приводящему к размыканию цикла. Координата дисротаторной реакции имеет симметрию (рис. 7-21). Далее, если мы рассмотрим симметрию орбиталей в дисротаторном переходном состоянии с точечной группой С , то оказывается, что орбитали ст и ст, а также тс и л принадлежат к различным неприводимым представлениям. По этой причине их смешение невозможно. Таким образом, предсказания, которые можно сделать на основании данного метода и диаграмм орбитальной коррелтии, совпадают. Хотя рассмотрение координаты р>еакции помогает нам глубже понять, что же происходит на самом деле в ходе химической реакции, применение этого метода связано с большими затруднениями, чем использование диаграмм орбитальной корреляции. [c.344]

В прямом произведении двух одинаковых представлений [формула (11.15)] представление S" является антисимметризо-ванной частью произведения, а сумма представлений S++ Г2ц — симметризованной. Следовательно, для пространственной функции любого вырожденного уровня двухатомной молекулы, занятого двумя электронами, функция всегда является антисимметричной по отношению к перестановке электронов, а функции S+ и —симметричными. Это правило выполняется не только для гомоядерных, но и для гетероядерных систем, поскольку представления групп D. /, и С x)u рЗЗЛИ чаются только наличием лли отсутствием свойств g и и), характеризующих поведение относительно инверсии. Указанное правило выполняется также и для линейных многоатомных молекул. [c.232]

В действительности, однако, с первым возбужденным состоянием бензола дело обстоит сложнее. В этом состоянии имеются две частично заполненные вырожденные орбитали. Это приводит не к одному, а к нескольким состояниям, возникающим из одной и той же конфигурации, подобно тому, как уже наблюдалось для многоэлектронных атомов с частично заполненными вырожденными уровнями. В данном случае представления для состояний, возникающих из конфигурации elg) e2u), можно найти, определяя прямое произведение представлений Е1д и 2 [т. е. используя дырочный формализм для субсостояния ( 1 ) ]. Это произведение можно получить последовательным попарным перемножением соответствующих характеров с последующим приведением результатов подобно тому, как было проделано в разд. 7.4. Однако существуют правила (основанные на теоретико-групповой номенклатуре) для перемножения представлений точечных групп. Эти правила сведены в табл. 14.2. Пользуясь ими, находим [c.291]

К первой категории, очевидно, относится тривиальный случай, когда Ж (вообще говоря, onst). При этом соотнощение (6.62) обусловливает ортогональность некоторых функций только лищь на основании их свойств симметрии. Типичным примером может служить такая ситуация, когда Ж представляет собой гамильтониан (например, хартри-фоковский или одноэлектронный гамильтониан другого типа). Гамильтониан, инвариантен ко всем операциям симметрии данной группы и, следовательно, преобразуется по неприводимому представле нию Aig для этого (одномерного) представления характерно, что все его матричные элементы равны единице (см. табл. 6.4). Свойства симметрии функций <р в соответствии с (6.58) определяются свойствами прямого произведения представления A g (по которому преобразуется оператор Ж) и неприводимого представления Гг (по которому преобразуется базис функций ф, г = 1, 2,. ..), поэтому функции фь фг,. .., Ф/ обязательно должны образовывать базис неприводимого представления Гг. Тогда из соотношения [c.135]

Здесь Гх — неприводимое представление группы симметрии гамильтониана, по которому преобразуется в конкретных условиях координата х. Условие (6.70) выполняется только при Гг Г, поскольку в этом случае в прямом произведении двух представлений содержится представление Alg. Координата х меняется при изменении системы отсчета, поэтому, рассматривая рис. 6.2 и табл. 6.4, нетрудно убедиться, что, например, для групп Сг, 5г, iv, Оа и она преобразуется по неприводимым представлениям В, Ви, Ви Вг и Вги соответственно. Следовательно, симметрия возбужденного состояния, для которого х-компонента переходного момента отличается от нуля, должна отвечать этим же неприводимым пр едставлениям. [c.137]

При использовании собственных функций зависящего от спина гамильтониана в качестве нулевых волновых функций матричные элементы 1/сп.-орб между тринлетной волновой функцио и синглетной волновой функцией Ф я всегда равны нулю, за исключением того случая, когда две конфигурации отличаются лишь спином одного электрона и числом заполнения одной молекулярной орбитали. Симметрия накладывает дополнительное ограничение прямое произведение X должно принадлежать тому же самому неприводимому представлению точечной группы молекулы, что и одна из пространственных компонент а , а,/ или оператора Ясп.-оро- Поскольку а , а , преобразуются так н<е, как операторы вращения Пу, Их соответственно, по крайней мере одно из трех прямых произведений В. X X в, Ву X X В 2 X X я должно содержать yilg-пpeд тaвлeниe. [c.50]

Система функций А В называется прямым произведени м систем функций и В . Уравнение (10.42) говорит нам тогда, что характер представления прямого произведения равен произведению характеров отдельных представлений. Представление прямого произведения двух неприводимых представлений будет в общем случае являться приводимым представлением, но может быть выражено через неприводимые представления при помощи (10.31). Например, для прямых произведений Гз, симметричной группы из трех точек мы имеем [c.249]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология