Прямое произведение групп

Предварительно введем понятие прямого произведения групп. Пусть имеются две группы [c.216]

С — т- кратное прямое произведение группы С, и ц — о-алгебра и мера прямого произведения измеримых пространств. Фиксируем конфигурацию ф(/ т+1) на Рт+1. Определим вероятностную меру P lф(Fто+l) на (Ж, 59), которая имеет следующую плотность относительно меры V [c.114]

Можно составить упрощенную волновую функцию каждого из этих состояний, а затем рассмотреть преобразование этих функций элементами симметрии. Поступим иначе разложим прямое произведение EgX g на НП группы Ол. [c.185]

Тип симметрии этой электронной волновой функции может быть определен из так называемого прямого произведения типов симметрии отдельных орбитальных функций (что соответствует векторному методу определения типов состояний, образующихся из данной электронной конфигурации двухатомных молекул стр, 33 и сл.). Однако при образовании прямого произведения, если имеются эквивалентные электроны, следует учитывать ограничения, вводимые принципом Паули. Для определения типа результирующих синглетных состояний большое значение имеет так называемое симметричное произведение типов симметрии, а для триплетных состояний — антисимметричное произведение (объяснение этих терминов можно найти в [ПП, стр. 25 и в элементарных курсах по теории групп). [c.126]

Для группы Сзг, составить все прямые произведения неприводимых представлений друг на друга и разложить их на неприводимые. [c.38]

Составим характеры соответствующих прямых произведений (см. табл. 8 для группы Т ) [3]. [c.89]

Рассмотрим прямое произведение Ь х Ьг- Сравнивая результат (6.12) с таблицей характеров группы Сг (см. табл. 6.2), видам, что [c.199]

Прямое произведение двух представлений (6.10) не обязательно является неприводимым представлением. Рассмотрим, например, прямые произведения некоторых представлений группы С [c.200]

Определите, какие группы порождаются следующими прямыми и полупрямыми произведениями групп 1) Сз х С, 2 [c.27]

Найдите следующие прямые произведения а) группа jv Аг X Bl X В2 б) группа 3V Ai х Аз х Е в) группа 6v Вз х Ei г) [c.27]

Найдите прямые произведения представлений [8 и Е2и группы Вбь, Е группы С4у на самих себя. Определите [c.27]

Симметрия нормального колебания, задающего тип координаты реакции при распаде. м-формы, должна соответство вать симметрии прямого произведения ВЗМО и НСМО. В данной задаче координата реакции распада л1-формы — это движе ние протона к одному из атомов углерода. Такое движение имеет симметрию В2 в группе симметрии л<-формы Сг (как для кати она, так и для аниона). [c.253]

В действительности она покрывает ту часть группового многообразия, которая содержит единицу. Если многообразие имеет несвязные части, то группа представима как прямое произведение связной непрерывной группы, называемой собствен ной группой, и некоторой дискретной группы. Как правило, если противоположное не оговорено (как, например, при обсуждении несобственной группы Лоренца), мы будем иметь дело только с собственными группами. [c.93]

Выпишем, наконец, для данной группы характеры прямых произведений, используя сокращенную запись, при которой классу эквивалентных операций отвечает одна колонка в таблице [c.210]

Прямое произведение Операции группы На какие неприводимые представления разбивается [c.210]

Пусть, например, рассматриваются операции симметрии в трехмерном пространстве и группа С, включает единичный элемент е и отражение в плоскости ху, а группа С, - элемент е и поворот А вокруг оси 2 на угол ж. Прямое произведение этих групп будет содержать 4 элемента единичный е, е отражение в плоскости ху ,, > поворот вокруг оси г е, А, и инверсию ,, А, , при которой х -х, у - -у и г -2. [c.216]

Выше было рассмотрено прямое произведение представлений, которые, как уже говорилось, в общем случае тоже являются группами, образованными матрицами [c.216]

Таблица 4-9. Таблица характеров и некоторые прямые произведения для точечной группы [c.221]

Таблица 4-10. Таблица характеров и прямые произведения для точечной группы Сз [c.221]

Математическое дополнение. Группа пространственной симметрии атома водорода О (3) является прямым произведением группы ортогональных унимодулярных преобразона-ний трехмерного координатного пространства 80 (3) на группу инверсии пространства относительно начала координат С(, т. е. [c.82]

Группы перестановок для системы N тождеств, частиц обычно обозначают 5, . Если имеются две подсистемы из N1 н N2 тождеств, частиц (напр., в КНз подсистемы протонов и электронов), полной группой перестановок для всей системы будет группа 5 наз. прямым произведением групп и включаю1цая все парные комбинации операций С. м. для первой и для второй подсистем. [c.348]

При рассмотрении симметрии ядерной конфигурации и классификации колебательно-вращат. состояний молекулы важна перестановочно-инверсионная группа, включающая наряду с операциями перестановок тождеств, частиц также инверсию и все произведения перестановок и инверсии. Др. словами, перестановочно-инверсионная группа представляет прямое произведение групп 5д, и С . Порядок этой грушш, т. е. число содержащихся в ней элементов, м. б. очень большим. Так, для циклопропана при рассмотрении только лишь подсистемы ядер порядок перестановочно-инверсионной группы равен (порядок грушш С,., равный [c.348]

Магнитная структура, характеризующаяся данным волновым вектором к, может быть записана как суперпозиций псевдовекторных базисных функций некоторого НП d группы волнового вектора исходной (парамагнитной) фазы кристалла. Здесь, однако, уместно сделать замечание, что группа симметрии парамагнитного кристалла (так назьтаемая парамагнитная группа С Г) не вполне тождественна пространственной группе кристалла С, а представляет собой прямое произведение группы С на группу обращения спина R [c.42]

Для большей ясности рассмотрим некоторые примеры. Если полуцелое, для определения эффектов спин-орбитального взаимодействия необходимо воспользоваться двойными группами. Поскольку спин-ор-битальные эффекты обусловлены взаимодействием спинового и орбитального моментов электрона, мы занимаемся представлением прямого произведения этих двух эффектов. В качестве примера определим влияние октаэдрического поля и спин-орбитального взаимодействия на F-свободноионное состояние -иона. Как и в предыдущем разделе, мы можем получить полное представление в точечной группе О и разложить его [c.85]

Ион в слабом поле О,, дает, как показано в диаграмме Танабе — Сугано, основное состояние и возбужденное состояние и В двойной группе О эти состояния соответствуют Т Г. ), Т 2 Г ) и /IjiF2). Взяв S = 3/2 и подставляя вместо I в уравнение (10.9) S, мы порождаем в точечной группе О неприводимое представление С(Гд), т.е, одно из новых неприводимых представлений двойной группы. Возьмем прямые произведения спиновой и орбитальной составляющих и разложим их, как и раньше, что даст [c.85]

Аналогичное же положение имело место и в теории атома, где общая классификация термов основьшалась на задании угловой зависимости базисных функций в виде сферической функции. При численных расчетах, разумеется, потребуются обсуждения и явного вида функции / -Функции симметрии а(т = 0) преобразуются по одномерному неприводимому представлению группы Если т Ф О, то функции и со (( ) образуют базис двумерного неприводимого представления группы С . Рассмотрим прямое произведение пространств Ещ Е . Базисными функциями в этом пространстве при тФО являются следующие произведения функций (4.12) [c.201]

Волновые функции выступают в роли базисов для представлений, относящихся к точечной группе молекулы [1]. Пусть/ и fj будут такими функциями, тогда новый набор функций, fj . называемый прямым произведением этих функций, также окажется базисом для представления группы. Характеры прямого произведения находят с помощью следующего правила характеры представления прямого произведения равны произведениям характеров представлений для исходных функций. Прямое произведение двух неприводимых представлений будет новым представлением, которое или уже неприводимо, или может быть сведено к неприводимым представлениям. Табл. 4-9 и 4-10 показывают некоторые примеры прямых произведений для точечных групп и соответственно. [c.220]

С помощью понятия базисных функций можно определить понятие прямого произведения представлений. Пусть для двух представлений некоторой группы заданы соответственно два набора базисных функций Га (/ ) с матрицами А и матричными элементами < гк, ф — его базис размерности т а также Гв(/ ) с матрицами В и матричными элементами Ьц1, чр — его базис размерности п. Определим, с помощью каких матриц, т. е. по какому представлению, будет преобра-зовыЁаться набор функций (базис) ф -фй размерности. т-п. Это представление называется прямым произведением представлений Га и Гв и обозначается знаком X , т. е. [c.29]

Для многих целей удобно рассматривать ф как координаты точек дифференцируемого многообразия, имеющего конечное или бесконечное число измерений в зависимости от того, является индекс г дискретным или непрерывным. Представление называется транзитивным, если для каждой пары точек многообразия существует групповое преобразование, которое переводит одну точку в другую. Наиболее общее представлеиле непрерывной группы получится, если взять прямое произведение транзитивных представлений ), добавить произвольное число новых переменных ф", которые остаются неизменными нри групповых преобразованиях, и затем сделать произвольное функциональное преобразование всех ф (т. е. перемешать их). Для многих представлений, которые естественным образом возникают на практике, обратить эту процедуру, т. е. распутать переменные ф так, чтобы они разделились на полный набор инвариантов и другой набор, на котором действует транзитивное представление, бывает чрезвычайно трудно, особенно в случае бесконечномерной группы. С другой стороны, не составляет особого труда распознать пивариант. Тест на инвариантность уже был приведен в гл. 3 (см. (3.10)). Заметим, что транзитивные представления не имеют групповых инвариантов, за исключением тривиальных констант, и поэтому в некотором смысле онп лишены физического интереса. [c.95]

Прямое произведение представлений. Очень часто в прикладных задачах встречаются выражения, которые содержат произведения функций, преобразующихся по тем или иным представлениям точечных групп. В частности, в 2 и 3 предшествующей главы уже встречались интегралы вида <ф /) ф>, в которых как функции и ф, так и оператор дипольного момента могут преобразовываться по различным неприводимым представлениям. Возникает естественный вопрос, по какому представлению в этих случаях будет преобразовываться подынтегральное выражение и как специфика получаемых преобразований будет отражаться на величине указанного интеграла. [c.206]

Если же кристаллическое поле является достаточно сильным, так что расщепления, им обусловленные, превосходят таковые от межэлектронного отталкивания, то целесообразнее в качестве начального приближения взять функции и уровни энергии каждого из электронов в кристаллическом поле и лишь потом ввести межэлектронное отталкивание как возмущение. При таком подходе начальным оказывается то приближение, которое уже было обсуждено в п. б. Для одного электрона появляются два уровня t2g и eg, для второго -такие же два уровня. Функции для двух электронов будут иметь вид детерминантов (или их линейных комбинаций), построенных из базисных функций = 1, 2, 3 и Xki g) к =1,2. Как показывает теория фупп, все произведения функций, преобразующихся по каким-либо представлениям группы, также преобразуются по представлению, являющемуся прямым произведением исходных. Двухэлектронные функции будут, следовательно, преобразовываться по представлениям [c.413]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология