Системы уравнений нелинейных

Основной идеей метода релаксации является внесение искусственных поправок к неизвестным системы нелинейных уравнений, и затем сведение этих поправок к нулю в п]роцессе итерационно о решения системы уравнений. [c.21]

Лг(/ ) ЛнИРнСр)/ - Дифференциальные уравнения (9.73), (9.76) представляют собой замкнутую систему уравнений для определения насыщенностей 5 , 5 (5 = 1 — 5 — 5 ) и давления р и известны как уравнения Маскета-Миреса. Несмотря на ряд принятых упрощающих допущений, это-сложная система уравнений, нелинейная как по давлению, так и по насыщенности и требующая для своего рещения использования ЭВМ. [c.292]

Точный термодинамический - расчет ректификации нефтяных смесей представляет довольно сложную вычислительную задачу из-за сложности технологических схем разделения, используемых в промышленности, большого числа тарелок в аппаратах, применения водяного пара или другого инертного агента, из-за необходимое дискретизации нефтяных смесей на большое число условны компонентов и вследствие нелинейного характера зависимости констант фазового равновесия компонентов и энтальпий потоков от температуры, давления и состава паровой и жидкой ф 1з, особенно для неидеальных смесей. Таким образом, основная сложность расчета ректификации нефтяных смесей заключается в высокой размерности общей системы нелинейных уравнений. В связи с этим для разработки надежного алгоритма расчета целесообразно понизить размерность общей системы уравнений, представив непрерывную смесь, состоящей из ограниченного числа условных [c.89]

Конкретная структура математических уравнений и способов обработки данных зависит от экспериментального метода проведения кинетических исследований. Для дифференциальных реакторов это будет система алгебраических уравнений, для изотермических интегральных реакторов — система дифференциальных уравнений, сравнительно просто линеаризуемых в отношении констант, для неизотермических интегральных реакторов — система дифференциальных уравнений, нелинейных относительно констант. Следует отметить, что успехи в области решения нелинейных задач химической кинетики и поисковых методов [4, 15—17] позволили создать эффективные алгоритмы, обеспечивающие практически одинаковую достоверность в определении структуры кинетических уравнений и входящих в них констант для любого экспериментального метода кинетических исследований. [c.77]

Непосредственное применение принципа наименьших квадратов к критерию (5.2.4) привело бы в данном случае к системе уравнений, нелинейных относительно искомых параметров, в отличие от линейной системы, такой как (5.2.5). Поскольку нахождение корней системы нелинейных уравнений может оказаться более трудной задачей, чем прямая минимизация функции ф (относительно параметров) каким-либо итеративным методом, то мы обсудим только этот последний подход. [c.158]

Вычислены [2] поправки к решению Стокса и закону сопротивления (И. 10) при учете нелинейных членов в виде разложений по степеням Ке. Эти поправки пригодны для значений Ке 1 — 2. Развитие современной вычислительной техники позволило в последние годы поставить задачу решения полной нелинейной системы уравнений для обтекания шара. Решения эти в предположении осесимметричного обтекания в настоящее время [8] доведены до Ке 100 и дали значения коэффициента сопротивления, хорошо совпадающие с экспериментом. [c.26]

Напишем уравнения, которые содержат ограничивающие условия, относящиеся к элементу процесса. Если в этой системе уравнений окажутся нелинейные члены, то они опускаются. Теперь остается только испытать, определяема ли оставшаяся однородная линейная система уравнений или нет. Если определяема, то выбор переменных, используемых в качестве носителей степеней свободы, сделан правильно. Критерий возможности решения системы уравнений приводится в гл. 7 (во избежание недоразумений заметим, что решение системы уравнений не указывает на правильность значений зависимых переменных, так как опущены нелинейные члены). [c.40]

Решение первой задачи планирования эксперимента в такой постановке осуществляется методами нелинейного программирования. Причем система уравнений (3.22) и (3.23) предварительно преобразуется следующим образом [c.165]

Для систем последовательных реакций более высокого порядка, чем первый, в общем не имеется точного решения. Причина здесь состоит в том, что подобные системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, которые не имеют точных решений за исключением некоторых частных случаев. [c.45]

Уравнения, определяющие процесс регулирования для двух первых случаев, почти всегда являются линейными. Однако поскольку дифференциальные уравнения объекта могут быть нелинейными, то и решаемая система уравнений тоже будет нелинейной. Для последних же трех типов систем уравнения процесса обычно нелинейны и, независимо от сложности самого технологического процесса, требуют применения более сложных методов расчета. [c.111]

Автоколебательные процессы не могут быть описаны линейными дифференциальными уравнениями в этом смысле можно сказать, что автоколебательные системы принципиально нелинейны. [c.134]

Предположим, что общая система уравнений сведена к одному нелинейному волновому уравнению [c.142]

Поиск оптимальной стратегии решения линейных, нелинейных или трансцендентных систем уравнений математических моделей ХТС вида (П 6), (И, 7) или (И, И) осуществляют путем исследования топологических свойств ДИГ, отображающих характеристические особенности этих систем уравнений. Стратегию решения систем уравнений ХТС методом декомпозиции и разрывов при некотором наборе выходных переменных отображают в виде ациклического или циклического информационного графа. Оптимальным циклическим информационным графом системы уравнений называют такой циклический граф, для которого размер максимального замкнутого контура графа наименьший. Если символическая математическая модель ХТС представляет собой совместно замкнутую систему уравнений, то информационный граф является циклическим. [c.98]

Математическим описанием колонны является система уравнений, включающая уравнения баланса общего и покомпонентного, уравнения для фазового равновесия. Уравнения покомпонентного материального баланса тарелок можно рассматривать как систему нелинейных разностных уравнений первого порядка. Неизвестными здесь будут составы и отношение потоков пара и жидкости. Линеаризация системы уравнений производится разложением в ряд Тейлора до членов первого порядка. Для системы нелинейных разностных уравнений первого порядка [c.329]

Уравнения (7.37) — (7.44) составляют исходную систему нелинейных разностных уравнений первого порядка. Эта система содержит 2т + 1 неизвестных. Количество кубового продукта и дистиллята определяется исходя из заданных условий разделения и уравнений полного и покомпонентного баланса (для i = 1) колонны при заданном начальном профиле концентраций по высоте колонны. Подстановкой выражений (7.43) в уравнения (7.37)— (7.44) исходную систему уравнений можно сократить до m -j- 1 порядка с т + 1 неизвестными (х , i= 1, 2,. . ., m, Z). Очевидно для решения этой системы уравнений необходимо иметь т + 1 граничное условие. Такими граничными условиями являются уравнения (7.33)—(7.36). [c.278]

Система уравнений (7.116) — (7.119) является замкнутой и может быть решена одним из методов решения нелинейных уравнений. Так, в [48] для решения уравнений материального баланса [c.309]

Система уравнений (7.116), (7.120) и (7.122) является нелинейной, и для ее решения необходимо использовать либо методы нелинейного программирования, либо итерационные методы. Наиболее целесообразным с точки зрения затрат машинного времени и вычислительных трудностей являются алгоритмы последовательного определения составов в результате решения уравнений материального баланса (7.120) при заданных значениях констант фазового равновесия, с последующей коррекцией концентраций путем решения уравнений фазового равновесия (7.116). Определение значения фактора расслаивания производится решением уравнения (7.122). [c.310]

Вычисленные таким образом составы фаз не удовлетворяют системе уравнений равновесия (7.116), поскольку константы ЛГ,-, вообще говоря, заданы произвольно. Поэтому следующим этапом является их коррекция путем решения системы уравнений (7.116). По существу, найденные составы являются начальным приближением для решения системы нелинейных алгебраических уравнений (7.116). Полученные значения составов в результате решения системы (7.116) в дальнейшем используются для уточнения констант фазового равновесия по соотношению (7.121), после чего вновь решается система уравнения материального баланса (7.120), Итерационный процесс решения продолжается до тех пор, пока не будут одновременно выполняться с заданной точностью уравнения баланса и равновесия. [c.311]

В общем случае система уравнений материального баланса (7.360) — (7.362) для расчета составов пара и жидкости является нелинейной. Однако последняя может быть линеаризована на [c.389]

Для того чтобы составить общее представление о языке и о структуре программы на ПЛ/1, рассмотрим основные его средства, необходимые для составления относительно простых и небольших программ, на конкретном примере. В гл. 2 было показано, что математическим описанием фазового равновесия многокомпонентной смеси является система алгебраических нелинейных уравнений, которая с использованием стехиометрического соотношения может быть сведена к уравнению с одним неизвестным (см. с. 21) [c.229]

В гл. 1 было показано, что математическое описание типовых процессов обычно выражается определенным классом уравнений (конечные системы уравнений, системы дифференциальных уравнений и т. д.), решение которых возможно с единых методологических позиций. Примерами такого подхода являются методо-ориентированные пакеты прикладных программ, в основе которых используется определенный метод, обладающий достаточным быстродействием и уверенной сходимостью. В примерах 1—4 (см. гл. 1) показано, что центральным звеном пакета, позволяющего решать системы дифференциальных и конечных уравнений, является метод решения системы линейных алгебраических уравнений. При этом нелинейные уравнения некоторым образом приводятся к ли-нейному виду и решаются с использованием итеративных схем. [c.301]

Как следует из приведенного перечня уравнений, математическое описание модели ХТС представляет собой систему нелинейных алгебраических уравнений, число которых для больших ХТС может достигать от нескольких сотен до нескольких тысяч. Несмотря на простоту этих уравнений, решение такой задачи на ЭВМ по стандартным программам сопряжено с большим объемом работ, связанных с подготовкой исходной информации, вводом, выводом и упорядочением системы уравнений. [c.178]

Численные исследования нелинейной системы уравнений моментов показали [2], что из устойчивости в малом следует асимптотическая устойчивость в целом а в случае неустойчивости в малом в системе устанавливается колебательный процесс одной определенной конечной амплитуды. На рис. 4.2 показаны рассчитанные на ЭВМ [2] при различных значениях m переходные процессы изменения концентрации в кристаллизаторе в устойчивой (кривые /, 2) и неустойчивой (3—5) зонах. Из формы кривых 4, 5 видно, что в случае неустойчивости состояния стационарности вне зависимости от начальных условий в системе самопроизвольно устанавливались нелинейные колебания определенного периода и амплитуды. Изменение характеристик процесса в автоколебательном режиме изображено на рис. 4.3. [c.334]

Второй класс автоколебательных систем характеризуется тем, что автоколебания в них существенно зависят от скорости подачи исходных реагирующих веществ в реактор. В этом случае колебательное поведение системы обусловливается соотношением скоростей транспорта реагирующих веществ в реактор и собственно химической реакцией. Для описания динамического поведения реактора идеального смешения наряду с системой уравнений типа (7.18), описывающей протекание процессов на элементе поверхности, необходимо рассматривать уравнения, описывающие изменения концентраций реагирующих веществ в газовой фазе [116, 131]. Взаимодействие реакции, скорость которой нелинейна, с процессами подачи реагирующих веществ в реактор идеального смешения обусловливает при определенных значениях параметров возникновение нескольких стационарных состояний в режимах работы реактора. При наличии обратимой адсорбции инертного вещества (буфера) в системе возможны автоколебания скорости реакции. При этом на поверхности сохраняется единственное стационарное состояние, и автоколебания обусловлены взаимодействием нелинейной реакции и процессов подвода реагирующих веществ в реактор. [c.319]

Записав четыре уравнения для последних четырех неизвестных, получим всего семь уравнений с семью неизвестными. Система уравнений нелинейна и ее необходимо решать итеративным методом. [c.71]

Задачи Стефана принадлежат, как будет видно далее, к наиболее сложным граничным задачам математической физики из-за двух обстоятельств. Во-первых, положение границы, на которой должны быть заданы краевые условия, неизвестно, а определение ее положения есть часть задачи. Во-вторых, отвечающая задаче система уравнений нелинейна, так что решение для нее нельзя найти посредством суперпозиции. Некоторые вопросы существования и единственности решения задачи обсуждаются в монографии Фридмана [49]. Обзор литературы, посвященной задаче Стефана, включающий как чисто математические, так и многочисленные физические работы, составлен Банкоффом [50] ценные обзоры принадлежат Карслоу и Егеру [51], а также Хорвею [52]. [c.384]

Замечания по поводу уравнений. Указанные уравнения образуют полную систему, т. е. при задании начальных значений переменных величин То и Го, вспомогательных величин Гдар, Я и т. д. они определяют решение для любого момента времени. Система уравнений нелинейна ввиду логарифмической зависимости (5.3.1) и нелинейности соотношения АПпаро—То, поэтому для ее решения требуется ЭВМ. Эта задача для решения с помощькГ ЭВМ очень проста она сводится к совместному решению двух дифференциальных уравнений первого порядка. [c.64]

Эта система уравнений нелинейна вследствие наличия члена, содержащего произведение переменных А [ ][6], и реще-ние ее в большинстве случаев сопряжено с приближенным численным интегрированием. В частном случае при условии [ 0 [6] система уравнений трансформируется в линейную систему, и ее решение детально анализирует ниже. При условии [ ] >> концентрация фермента в процессе реакции не изменяется. Из уравнения (2.87) следует, что [Е = [ ] и уравнения (2.87) принимают вид системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами [c.165]

При представлении нефтяных смесей в виде условных фракций, гфоцесс рекгиф1икации описывается системой алгебраических уравнений. Системы уравнений обычно записываются для теоретических тарелок, на которькх предполагается выполнение условия равновесия между уходящими с тарелки потоками пара и жидкости. Рассматриваемые системы уравнений обладают сильной степенью нелинейности. Решение их любым из известш.гх методов является трудоемкой вычислительной задачей и не всегда прж(), 1ит к заданной сходимости. [c.8]

Форма записи, исходной системы уравнений математического описания процесса ректификации, зависит от того, как представлены составы нефтяных смесей в непрерывном или в дискретном виде. При непрерывном представлении смеси все уравнения имеют тот же ЪУ1Ц, что и для случая дискретного представления, отличаясь введением дифференциальных функций распределения состава смеси вместо концентраций компонентов. То есть, для непрерывного представления смесей искомым и являются кривые функций распределения составов, а для дискретного представления -концентрации компонентов. В первом случае задача расчета сводится к решению системы нелинейных дифференциальных уравнений во втором -к решению системы нелинейных алгебраических уравнений, математического описания процесса ректификации. [c.9]

В работе [91] приводится метод сопряжённых возмущенлй, являющийся наиболее эффективным при обращении матриц частных производных, системы нелинейных уравнений процесса разделения большой размерности для схем, описываемых матрицами с большим количеством нулей. Суть метода в разбиении системы уравнений и соотнетсгвенно неизвестных на блоки и разложении обратной матрицы в ряд гю степеням малой скалярной величины. При этом, вычисление обратной мат эицы осуще- [c.13]

Система Хартри — Фока (51) является системой нелинейных интегродифференциальных уравнений. Нелинейность уравнений означает, что их решения ф1 есть собственные функции оператора Р, который, в свою очередь, определяется через эти орбитали ф/. Эта особенность уравнеций Хартри — Фока позволяет решать их методом итераций. Однако мы не будем останавливаться здесь на вычислительной стороне дела. [c.79]

Этот подход может быть обобщен и на нелинейные системы (скорости реакций в матрице и наполнителе нелинейно связаны с концентрацией и температурой) и на существенно неизотерми-ческие реакции. Однако в этих случаях он просто сведется к алгоритму решения нелинейной системы уравнений, который, кстати, [c.290]

Модели табл. 4.4 записаны для нестационарных условий движения потоков. Приравнивая нулю производную по времени, можно получить модели для стационарных условий. При этом существенно упрощается и соответствующее математическое описание. Так, для ячеечных моделей вместо системы дифференциальных уравнений описанием будет система нелинейных алгебраических уравнений. В общем случае весьма трудно получить аналитическое решение системы уравнений модели. Поэтому основными подходами к разработке алгоритмов решения являются аппарат передаточных функций и методы вычислительной математики. Эти методы по классам уравнений (дифференциальным в частных производных, обыкновенным дифференциальным, системам алгебраических уравнений) достаточно разработаны и обычно составляют эиблиотеку стандартных программ для решения задач вычислительной математики. [c.121]

Алгоритмически задача выбора технологической схемы состоит в разработке или выборе методов ее анализа, оценки, оптимизации и синтеза. На этапе анализа составляются уравнения математического описания, задаются переменные процесса и схемы, и в результате решения получается информация о потоках, температурах, давлении, составах, размерах и т. д. Оценка состоит в совмест-ном использовании информации с предыдущего этапа и экономических данных для определения целевой функции. Оптимизация состоит в поиске наилучшего набора переменных процессов. Традиционно разработка технологических схем проводится на основании итерационного выполнения указанных этапов, и лишь в последнее время стало уделяться внимание этапу синтеза, который призван объединить в себе все предыдущие этапы на основе некоторого метода. Известно большое число методов синтеза [4, 52], основанных на различных подходах, и многим из них присуща необходимость использования некоторого метода решения систем нелинейных уравнений или метода оптимизации. Последние используются для сведения материального и теплового баланса схем. Задачи решения систем уравнений и минимизации некоторого функционала взаимосвязаны и могут быть сведены одна к другой. Например, условием минимума функции Р х) является равенство нулю частных производных дР1дх1 = О, 1 = 1, 2,. . ., п, а система уравнений f х) = О, I = 1, 2,. . ., п, может быть решена путем минимизации соответствующим образом подобранного функциона- [c.142]

Таким образом, математическое описание азеотропдой и. экстрактивной ректификаций с расслаиванием по жидкой фазе включает Л (ЗА + 4) уравнений (7.241), (7.242), (7.116) — (7.118) и М 6к + 4) неизвестных переменных ЪНк мольных долей компонентов в паре и жидких фазах, ЪЫ значений потоков пара и жидкости, а также N значений температуры по высоте колонны. Система уравнений математического описания является нелинейной и для ее решения воспользуемся методом Ньютона—Рафсона. С этой целью запишем уравнения (7.241) в виде [c.357]

Методы структурной оптимизации. Они предполагают на первом этапе определение способов реализации химического производства (выбор альтернативных способов ведения процесс на отдельных стадиях) и создание на их основе некоторой интегрально-гипотетической технологической схемы, включающей все возможные варианты распределения материальных и энергетических ресурсов. Оптимизация ведется по специально определенным структурным параметрам распределения потоков, значения которых обычно задаются в диапазоне от О до 1 и характеризуют разделение или разветвление некоторого выходного потока. Конечные значения параметров и определяют технологическую схему. Нулевые значения отдельных из них свидетельствуют об отсутствии соответствующей связи аппаратов. С математической точки зрения задача синтеза представляет собой решение систем нелинейных уравнений, соответствующих описанию отдельных элементов (подсистем), и уравнений, отражающих структурные взаимосвязи между этими элементами (подсистемами). Основными методами решения являются методы нелинейного программирования. В виду высокой размерности системы уравнений поиск оптимального решения (технологической схемы) представляет определенные трудности вследствие многоэкстремальности и нелинейности задачи. [c.438]

Глобальная система линейных, нелинейных, пнтегродифференциаль-ных уравнений [c.590]

В общем случае каждое из уравнений (11,2) и (II, 3) представляет собой билинейную форму неизвестных параметров физических потоков ХТС, а система уравнений балансов является системой нелинейных уравнений. Однако с помощью следующих специальных допущений любзто систему уравнений балансов можно представить в линейной форме (11,4) [c.39]

Система уравнений (111,35) и (111,36) при переменных нагрузках по газу и орошению нелинейна. Если рассматривать малые отклонения нагрузок от стационарных значений (при этом значениями ДА/, и Айд можно пренебречь), система уравнений может быть линеаризована. [c.91]

Онределение коэффициентов передачи колонны при изменении нагрузки (по газу или жидкости) по соответствующим передаточным функциям с помощью предела осложнено тем, что при р -> О получается неопределенность тина 0/0. Применение правила Лопи-таля в данном случае весьма затруднительно из-за сложности исходных выражений. Однако предельные значения переходных функций можно найти из решения нелинейной системы уравнений, написанной для нового установившегося состояния, т. е. для времени т оо [c.95]

Ветви сигнального графа выполняют функции операторов и в этом смысле могут быть линейными и нелинейными. В общем случае ветвь может выполнять сложные. тинейные операции, описываемые рациональными функциями комплексной переменной р. Сигнальный граф ХТС изображает системы уравнений в графической форме и содержит ту же информацию,что и представленная этим сигнальным графом система уравнений. Однако между сигнальным графом и системой уравнений не существует взаимно однозначного соответствия. [c.157]

В общем случае зависимость скоростей стадий сложной реакции от концентраций реагентов и температуры нелинейна. По этой причине системы уравнений математического описания реактора идеального смешения также являются нелинейными, и их решение, как правило, требует применения соответствующих численных методов. [c.396]

Структура системы с уравнениями (8.77) и (8.78) является достаточно общей. Частным случаем такой системы может служить рассмотренный ранее (см. 8.3) химический процесс метаксилирования ортонитрохлорбензола, протекающий в реакторе идеального перемешивания с рубашкой охлаждения. Процесс описывается нелинейной системой уравнений (8.42), численные значения параметров которой равны В=11 ООО ккал/кмоль ,= 1-379 м /час [c.484]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология