Мультипликативные функции

Так, например, для системы эквивалентных спинов Ла существуют четыре состояния, описываемые, как показано в табл. 1.4, Состояние, для которого /2 = О, называется двукратно вырожденным, так как. описывается двумя мультипликативными функциями. В общем случае кратность вырождения состояний для системы из п эквивалентных спинов определяется с помощью коэффициентов биномиального разложения ( а+1)", образующих при разных п так называемый треугольник Паскаля (табл. 1.5). [c.23]

При наличии в группе п эквивалентных ядер, например Ап, для описания состояний спиновой системы, характеризуемых величиной проекции суммарного спина /г или 2 вводят мультипликативные функции, представляющие произведения функций отдельных спинов (если 1=У2, то а и Р). Для п спинов имеется 2" мультипликативных функций, но при этом число значений Ети/ равно п+, т. е. некоторым значениям проекции суммарного спина 1г отвечает несколько мультипликативных функций, описывающих вырожденные состояния. [c.23]

Рассмотрим спиновую систему [ЛВ], энергетические уровни которой во внешнем магнитном поле схематично показаны на рис, П.7. Первая буква в обозначении мультипликативной функции спинового состояния относится к ядру Л, а вторая —к ядру В. При тепловом равновесии различия в заселенности уровней пропорциональны разностям их энергий, так как по сравнению с кТ они малы. На рис. П.8, U показан спектр однократного ЯМР в таких условиях. [c.49]

Рассматриваемая система состоит из двух ядер А и В, каждое из которых характеризуется волновыми функциями аир. Для того чтобы описать стационарные состояния такой системы, используются четыре мультипликативные функции, характеризующиеся определенными значениями шт суммы магнитных квантовых чисел т, к) и т/(В), или суммарным спином, введенным в разд. 2.1 гл. II [c.149]

Использование мультипликативных функций можно пояснить следующим образом. Гамильтонианы индивидуальных ядер могут быть записаны как <Жа и <Жв соответственно. Так что для системы из двух ядер = Ж а +<Жв для энергии имеем Е = = E Ев. Возьмем теперь мультипликативную функцию фи такую, чтобы левая часть уравнения Шредингера оказалась равной <Жа(А)а(В) = <Жда(А)а(В) + <Жва(А)а(В). Поскольку взаимодействия между ядрами отсутствуют, то мы можем рассматривать волновую функцию а(В) как константу по отношению к операции <ЖАа(А)а(В). Поступая аналогично с операцией 5 ва(А)а(В), находим, что <Жда(А) = да(А) и <3 в (В) = = ва(В) [c.149]

Таким образом, мультипликативная функция Ф1 удовлетворяет уравнению Шредингера = Ефи Используя уравнение (V. 2) и мультипликативные функции фи ф , фз и 4, мы можем теперь рассчитать энергии четырех спиновых состояний двухспиновой системы. Поскольку взаимодействие спинов отсутствует, = = и [c.149]

Сначала рассмотрим двухспиновую систему, в которой ядра имеют одинаковые резонансные частоты (va = vb) и которая классифицируется как система Аг. Очевидно, что в данном случае нельзя распознать частицы А(1) и А (2), а мультипликативные функции а(1)р(2) или Р(1)сс(2) уже не относятся к каким-либо дискретным состояниям (2) и (3). В этом случае говорят, что состояния (2) и (3) смешиваются. Поэтому необходимо найти новые волновые функции для этих состояний. Заметим, впрочем, что функции Ф и 4 подходят для состояний (1) и (4), поскольку а(1)а(2) и а(2)а(1), а также Р(1)Р(2) и Р(2)Р(1), очевидно, попарно идентичны. [c.153]

Собственные значения Ei и 4 следуют из уравнения (V.2) мультипликативных функций аа и рр соответственно [c.160]

В предыдущих разделах было показано, что собственные Значения и собственные функции стационарных состояний с одинаковым значением суммарного спина могут быть получены с помощью вариационного метода. Тот же формализм может быть использован для более сложных спиновых систем, так как всегда можно взять в качестве базиса мультипликативные функции типа аа. .. р. [c.163]

Таблица V. 3. Мультипликативные функции системы АВХ

Прежде всего систематический подсчет числа собственных состояний и мультипликативных функций, сгруппированных по суммарному спину, для системы п частиц со спином 1/2 может быть проведен с помощью треугольника Паскаля. В общем случае имеется 2 собственных состояний для систем из п ядер, откуда видно, что число их быстро возрастает с увеличением сложности спиновой системы. [c.163]

В качестве базисных функций трехспиновых систем в общем случае могут быть использованы мультипликативные функции, упорядоченные по их суммарному спину и приведенные в разд. 4.6. Для функций с суммарным спином Шг = 1/2 и /Пт = = —1/2 должен быть использован вариационный метод определения истинных собственных функций и собственных значений. Только функции ааа, и ррр являются уже наверняка собственными и могут быть непосредственно подставлены в уравнение (V. 2). [c.170]

ТОЛЬКО В а- И р-состояниях, то путем простого перемножения получается восемь мультипликативных функций в качестве базисных функций системы АВг. Эти функции классифицированы в табл. V. 2а по симметрии и по суммарному спину ту. Если [c.172]

Антисимметричные мультипликативные функции [c.189]

Собственные функции систем АВг могут быть представлены как мультипликативные функции, упорядоченные по их суммарному спину /Пр (табл. V. 26). [c.175]

В этой таблице базисные функции упорядочены по величине собственного значения От/(Х) оператора / (Х). В результате получаем два набора, каждый из которых состоит из четырех функций. Эти наборы содержат мультипликативные функции АВ-части спиновой системы, идентичные функциям изолированных АВ-систем, введенным ранее. [c.178]

Таким образом, АВ-часть спектра АВХ состоит из двух аЬ-подспектров, для каждого из двух значений т (Х) +1/2 и —1/2. Собственные значения Е, Ец, 5 и д непосредственно получаются при подстановке соответствующих мультипликативных функций ааа, рра, аар и ррр в уравнение (V. 2), а для определения Е2, 3, е и 7 необходимо только решить два детерминанта второго порядка. [c.178]

Теперь следует установить связь между спектральными параметрами подспектров (va, Vb и /аь) И Параметрами. системы АА ХХ (/л,, /х, / и / ). Для этого необходимо вычислить собственные значения функций, включенных в схему V. 2. За исключением четырех мультипликативных функций Ф13 [c.192]

Все мультипликативные функции 0 являются собственными функциями Рг с собственными значениями тт. Так как оператор Рг коммутирует с гамильтонианом, то матрица гамильтониана распадается на подматрицы, поскольку матричные элементы вида исчезают, если фк и являются мульти- [c.424]

Интенсивности сигналов спина А пропорциональны квадратам матричных элементов (фi IA yj). Из-за смешивания мультипликативных функций в фк все шесть возможных переходов становятся разрешенными. Четыре из них являются переходами спина А. Со- [c.279]

В системах со слабым взаимодействием мультипликативные функции являются собственными функциями гамильтониана и, следовательно, оператор инверсии приводит также к попарной перестановке когерентностей, например [c.448]

Если же взаимодействия в системе сильные, то собственные функции I рг > являются линейными комбинациями мультипликативных функций фр) [c.448]

Нетрудно видеть, что мультипликативные функции (2.12) являются собственными функциями оператора с собственными значениями [c.38]

Для того чтобы найти собственные функции, воспользуемся базисом мультипликативных функций двухспиновых спстем- Для начала проверим, не являются ли функции аа, ар, ра и рр собственными функциями оператора Ж- Вычислим результаты действия на эти функции [c.40]

Проверим вначале, не являются ли мультипликативные функции базиса собственными и для оператора Ж (2.23). Вычислим результат действия Ж на функцию ф1 = аа [c.41]

Факторизация функций по величине Iz. Мультипликативные функции можно упорядочить по величине 2-проекции суммарного спина 1г- Для п спинов имеется +1 значений Ь, лежащих в диапазоне от — /2 до /2. Количество функций с одинаковым значением 1г (кратность вырождения) определяется с помощью биномиальных коэффициентов (табл. 2,1). [c.49]

Приведение функции по симметрии. Если в спиновой системе можно выделить группы магнитно-эквивалентных ядер или какие-либо элементы симметрии, то возможно преобразование базиса мультипликативных функций, которое приводит к дальнейшей факторизации гамильтониана, В общем случае приведение функций по симметрии проводится с помощью теории групп. При этом функции базиса разделяются на группы ср(т)а, где т —значение [c.49]

Матрица гамильтониана. Оператор в базисе симметризован-ных мультипликативных функций ср(т)а описывается матрицей [c.49]

Базисные мультипликативные функции приведены в табл. 2.4. Преобразование базиса по симметрии невозможно из-за отсутствия элементов симметрии. Факторизация базиса по 1г приводит к разделению функций на четыре группы с разными значениями 1г (.табл. 2.4). [c.52]

Мультипликативные функции трехспиновых систем [c.53]

Блочная структура матрицы оператора Ж- Оператор Гамильтона в базисе мультипликативных функций характеризуется матрицей 8X8, имеющей блочную структуру. Блоки, или подматрицы, имеют следующие размерности [c.53]

Задача V. 3. Образуйте мультипликативные функции трехспиновой систе мы и рассчитайте собственные значения для случая, когда спин-сппновы< взаимодействия между ядрами отсутствуют. [c.152]

Случай системы Лг и вариационный метод. Теперь мы рведем спин-спиновое взаимодействие между ядрами в качестве дополнительного взаимодействия при этом для расчета собственных значений должен быть использован полный гамильтониан (V. 10). Прежде всего следует определить, не являются ли мультипликативные функции ф —подходящими для описания стационарных состояний, т. е. не являются ли они собственными. [c.153]

Вариационный метод с приближенной или пробной функцие приводит, таким образом, к двум значениям энергии, одно и которых соответствует дестабилизации, а другое — стабилиза ции системы. Тот факт, что два ядра с одинаковыми частотам взаимодействуют между собой посредством спин-спиновой связк приводит к расщеплению энергетических уровней ег и ез, кото рые в случае / = О к уа—ув оказывались вырожденными (с разд. 4.2). Мы можем утверждать без доказательства, что при ближение вариационного метода достаточно точно, так что по лученные энергии ег и бз являются истинными значениями В и Еъ. Следовательно, диаграмма энергетических уровней в сл> чае системы Аг имеет форму, показанную на рис. V. 2. Собст венные значения ] и Е,,, равные уд+(1/4)/ и —уд+(1/4) соответственно, получаются при подстановке соответствующи мультипликативных функций аа и рр в уравнение (V. 2), та1 как эти функции являются собственными. [c.156]

В качестве базиса для четырехспиновой системы будем ис-юльзовать шестнадцать мультипликативных функций [c.187]

Магнитные квантовые числа отдельного г-го ядра обозначаются как /П (1). Мультипликативные функции спиновой снстемы из нескольких ядер характеризуются суммарным Спином /пт, являющимся суммой магнитных квантовых исел /П (() отдельных ядер (разд. 2.1 гл. 11) [c.424]

Диагональные элементы легко получаются из результатов для изолированного ядра или для Аа-системы (разд. 4.1 и 4.3.1 гл. V соответственно), посколаду базисные функции являются мультипликативными функциями вида Ф(А)фф) и их энергии представляют собой суммы энергий а и Яв. Отсюда непосредственно следует, что [c.424]

В случае сильного взаимодействия действие тг-импульса на спины можно объяснить следующим образом. В сущности по своему воздействию на мультипликативную функцию вида фр) = I а/З/З > оператор инверсии является оператором перестановкикоторый осуществляет перестановку пары мультипликативных функций фр) п фр- > [c.448]

Маметим, что а> —> I ( >, ( ) —> I а), аг) —> /3) и /3) —> - а). Поэтому важно учитывать число спинов в мультипликативных функциях и различать X- и -импульсы. [c.448]

Мультипликативные функции. Для п спинов существует 2" мультипликативных функций вида (2.12). Эти функции образуют ортбнормированный базис размерности 2". [c.49]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология