Решение уравнения Шрёдингера

Какие три квантовых числа вводятся при решении уравнения Шрёдингера для атома водорода Какие значения могут принимать эти квантовые числа и что они означают [c.378]

Для атома водорода уже в 1927 г. были получены точные решения уравнения Шрёдингера. Эти решения приводят к понятиям атомной орбитали, квантовых чисел и квантованию энергии, которые являются фундаментальными в современной теории валентности. Атом водорода состоит из электрона и протона. Если г — расстояние между этими частицами, то их потенциальная энергия равна — г. Так как протон значительно тяжелее электрона, при рассмотрении движения электрона в атоме водорода можно считать, что протон покоится и находится в центре масс. Тогда уравнение Шрёдингера для электрона в атоме водорода запишется [c.14]

Строгие решения уравнения Шрёдингера получены только для двух наиболее простых систем атома водорода и молекулярного иона водорода Н ". Для других атомов и молекул уравнение Шрёдингера может быть решено только приближенно. В квантовой механике используют обычно два приближенных метода метод возмущений и вариационный метод. При рассмотрении химической связи более удобен вариационный метод. [c.22]

Не составляет труда записать волновое уравнение Шрёдингера для атома лития, состоящего из ядра и трех электронов, или атома урана, состоящего из ядра и 92 электронов. Однако, к сожалению, эти дифференциальные уравнения невозможно решить. Нет ничего утешительного в том, что строение атома урана в принципе может быть найдено путем расчетов, если математические (хотя отнюдь не физические) трудности препятствуют получению этого решения. Правда, физики и физикохимики разработали для решения уравнения Шрёдингера множество приближенных методов, основанных на догадках и последовательных приближениях. Проведение последовательных приближений существенно облегчается использованием электронно-вычислительных машин. Однако главное достоинство применения теории Шрёдингера к атому водорода заключается в том, что она позволяет получить ясную качественную картину электронного строения многоэлектронных атомов без проведения дополнительных расчетов. Теория Бора оказалась слишком упрошенной и не смогла дать таких результатов, даже после ее усовершенствования Зом-мерфельдом. [c.374]

В отличие от одномерной струны атом имеет три измерения. Решения уравнения Шрёдингера для атома водорода характеризуются тремя целочисленными квантовыми числами п, I и т. Они возникают в ходе решения уравнения для волновой функции у] , аналогичной функции А (х) в задаче [c.363]

Какую роль играют граничные условия при решении волнового уравнения В чем заключается их физический смысл Какие граничные условия накладываются на решения задачи о колебаниях скрипичной струны Каковы граничные условия, накладываемые на решения уравнения Шрёдингера для электрона в атоме водорода [c.378]

Существуют два способа объяснения характера ковалентной связп— метод валентных связей (ВС) и метод молекулярных орбиталей (МО). Первый метод основан на предложенном В. Гейтлером и Ф. Лондоном (1927) решении уравнения Шрёдингера для молекулы водорода На (примененном ранее Гейзенбергом к атому гелия). В тридцатых годах этот метод усовершенствован Дж. Слейтером и Л. Полингом. Второй метод — молекулярных орбиталей — создан несколько позднее Р. Малликеном, Ф. Хундом, Э. Хюккелем, Дж. Леннардом-Джонсом и Ч. Коулсоном. В пятидесятые годы важный вклад в развитие метода сделал К. Рутан, использовав уравнения самосогласованного поля (ССП), разработанные Д. Хартри и В. Фоком для многоэлектронных атомов. Создание математического аппарата и электронно-вычислительных машин позволило проводить многочисленные теоретические расчеты для молекул, беря из опыта значения только межъядерных расстояний. Метод молекулярных орбиталей более употребителен и поэтому рассмотрен более подробно, чем метод валентных связей. [c.176]

Опыт показывает, что молекулы не могут вращаться с произвольной скоростью. На основании решения уравнения Шрёдингера для жесткого ротатора [c.6]

В 1926 г. Эрвин Шрёдингер (1887-1961) предложил описывать движение микрочастиц при помощи выведенного им волнового уравнения. Нас не столько интересует математический вид уравнения Шрёдингера, сколько способ нахождения его рещений и извлечения из них необходимой информации. Поняв, как поступают при решении уравнения Шрёдингера, можно, даже не проводя самого решения, составить представление о причинах квантования и о смысле квантовых чисел. В данном разделе мы попытаемся объяснить общий метод решения дифференциальных уравнений движения, с которыми приходится встречаться в квантовой механике. Этот метод будет пояснен путем рассмотрения более простой аналогии-уравнения колебаний струны. [c.360]

Решение уравнения Шрёдингера позволяет найти определенные собственные значения энергии, соответствующие стационарному состоянию атома. Каждому значению собственной энергии , соответствует определенная волновая функция — собственная функция которая описывает стационарное состояние. Решение уравнения Шрёдингера, например для атома водорода (при выполнении необходимых граничных условий), дает для энергетических состояний атома водорода следующее соотношение [c.175]

Движение микрочастиц описывается волновым уравнением Шрёдингера. Решения уравнения Шрёдингера, г х, у, г), называются волновыми функциями. Квадрат амплитуды волновой функции, 111/(х,>>,2) , дает относительную плотность вероятности обнаружить частицу в точке с координатами х, у, 2. Место пространства, в котором амплитуда волновой функции равна нулю, называется узлом. [c.376]

Решение уравнения Шрёдингера для атома водорода позволяет определить волновые фун1сции у1>(х, у, г) и дискретные энергетические уровни электрона. Волновые функции VI (х, у, г) называются орбиталями. Под орбиталью часто понимают облако плотности вероятности, т.е. трехмерное изображение функции 11/(х, у, г) . При решении уравнения Шрёдингера вводятся три квантовых числа главное квантовое число и, принимающее произвольные положительные целочисленные значения (и = 1, 2, 3, 4,. ..) азимутальное (или орбитальное) квантовое число /, принимающее целочисленные значения от О до п — 1 магнитное квантовое число ш, принимающее целочисленные значения от — / до + /. Энергетические уровни одноэлектронного атома зависят только от главного квантового числа п. [c.376]

Большие изменения произошли в изложении квантовой химии и теории химической связи в переводной и отечественной литературе и в преподавании теории строения вещества. Поэтому нам представлялось бесцельным повторно знакомить студентов III курса с качественными представлениями теории валентных связей и электронным строением молекул (форма электронных орбиталей, гибридизация, направленные валентности и др.), изучаемыми ими на I курсе. В то же время в ряде переводных и отечественных учебных пособий появилось вполне доступное изложение приближенных методов расчета молекул, основанных на методе молекулярных орбиталей метод молекулярных орбиталей в приближении Хюккеля (МОХ), теория кристаллического поля, теория поля лигандов и др. В связи с этим изложены количественные квантовохимические расчеты на основе строгого решения уравнения Шрёдингера для атома водорода (введение трех квантовых чисел п, I и [c.3]

Волновые функции, являющиеся решением уравнения Шрёдингера, могут быть сложными функциями пространственных переменных и времени и зависеть от конкретного вида V х, у, г). В простейшем случае свободного микродвижения при полном отсутствии внешних сил, т. е. при У(лг, у, г) = О, уравнение (1,1) допускает решение в виде плоских монохроматических волн. При этом длина волны X связана с импульсом р микрочастицы уравнением де Бройля [c.11]

Квантовомеханическая теория атома и молекулы сводится к нахождению удовлетворяющих уравнению Шрёдингера волновых функций гр и значений энергий Е. Рассмотрим решение уравнения Шрёдингера для электрона в потенциальном поле ядра. Примерами такой системы являются атом водорода и водородоподобные атомы, т. е. одноэлектронные ионы с зарядом ге ядра. [c.14]

Наряду с рассмотренными выше основным и возбужденными. -состояниями для электронов атома ВОдорода известны возбужденные состояния, волновые функции которых гр не имеют сферической симметрии. Решение уравнения Шрёдингера, которое приводит к этим функциям, значительно сложнее, так как требует учета наряду с г также и других полярных координат О и ф (см. учебники по атомной физике). Здесь эти выводы не приводятся ограничимся тремя возможными решениями уравнения Шрёдингера, полученными для одного и того же значения энергии [c.48]

Симметрия молекулы, или, что то же самое, расположение лигандов вблизи центрального атома, имеет существенное значение при решении уравнения Шрёдингера для соответствующей системы, так как этот фактор определяет потенциальную энергию и системы. По соображениям симметрии часто можно значительно упростить методы решения уравнения Шрёдингера, а также провести качественную оценку последовательности энергетических уровней, что и будет сделано в разд. 6.5.6 для вырожденных /-состояний в поле лигандов. [c.121]

Некоторые другие проблемы решения уравнения Шрёдингера, например, то обстоятельство, что для каждого решения г ) величина с-г ) также является решением (с — любая константа), что требует так называемого нормирования, здесь не рассматривается. [c.49]

Таким образом, одному и тому же значению энергии соответствуют две волновые функции 113(1,2) и 113(2, 1), поэтому эти состояния являются вырожденными, иначе говоря, наблюдается сбменное вырождение. В действительности никакого обмена не происходит, поскольку нельзя различить, имеет ли лунный электрон волновую функцию фа или фб. Поэтому все электроны неразличимы, и функции ф(1, 2) и г1з(2, 1) не совсем точно отражают состояние двухэлектронной системы. Более удачно приближение, согласно которому, если волновые функции относятся к системам с одной и той же энергией, решение уравнения Шрёдингера можно представить в виде так называемой линейной комбинации волновых функций [c.82]

Таким образом, общее решение уравнения Шрёдингера для данной системы при условии отсутствия электростатического взаимодействия между частицами представляет собой линейную комбинацию функций [c.82]

Итак, мы познакомились с двумя приближенными решениями уравнения Шрёдингера для молекул. Ранее (разд. 6.2.1) было показано, как, исходя из одноэлектронной модели молекулярного иона водорода Нг+, можно построить в некотором роде периодическую систему двухатомных молекул. Для применяемого при этом метода молекулярных орбиталей (МО) характерно заполнение молекулярной (а не атомной) орбитали ф последовательно одним, а затем и двумя электронами. В методе валентных связей (ВС) Гейтлера — Лондона исходят из атомных орбиталей, занятых одним электроном, а далее переходят к двухэлектронной системе (Не или На) путем линейной комбинации занятых атомных орбиталей, в которой учитывается неразличимость электронов. [c.87]

При решении уравнения Шрёдингера [уравнение (12) в разд. 5.2] было получено уравнение для энергии поступательного движения частицы [c.302]

Еще Бутлеров мечтал о том времени, когда экспериментальные исследования дадут нам основание для истинной химической теории, которая будет математической теорией молекулярной силы, называемой нами химическим сродством . Такая математическая теория создана ныне в рамках квантовой химии. В основе ее лежат различные способы решения уравнения Шрёдингера для многоэлекх- [c.45]

Для понимания ковалентной связи необходимо привлечение кваи-товомеханических представлений. Для молекулярных систем невозможно точное решение уравнения Шрёдингера, как и для многоэлектронных атомов. Приближенные решения достигаются введением упрощающих предположений о том, что при образовании молекулы происходят лишь ограниченные изменения. [c.176]

Такое представление о гибридных орбиталях удовлетворительно объясняет физические и химические свойства молекул, однако необходимо отметить, что 5р -орбитали, например, соответствуют только одному возможному приближенному решению уравнения Шрёдингера. В принципе существует много разных равноценных способов комбинации одной 5- и трех р-атомных орбиталей. Как будет показано в разд. 1.5, четыре связи С—Н в метане не всегда ведут себя так, как если бы они были эквивалентными. [c.21]

Для соединений с делокализованными связями используются те же два главных общих метода приближенного решения уравнения Шрёдингера, которые рассматривались в гл. 1 [2]. В методе валентных схем молекулу изображают несколькими возможными структурами Льюиса (называемыми каноническими формами) и считают, что она представляет собой среднее между весами , или вкладами, этих структур, каждой из которых отвечает своя волновая функция г 5 в уравнении (2) (см. гл. 1) [c.47]

Другим важнейшим приближенным методом решения уравнения Шрёдингера является теория возмущений. В ее основе лежит идея нахождения волновых функций и энергетических уравнений исследуемой сложной системы с гамильтонианом Н исходя из соответствующих данных, известных для более простой системы (систем) с оператором Гамильтона И . В этом случае необходимо представить оператор Н в виде [c.22]

Все расчеты многоатомных молекул основаны на приближенных решениях уравнення Шрёдингера (4.3). Практика предъявляет два главных требования к уровню приближения и выбору расчетной схемы. Это, во-первых, достаточное соответствие результатов расчета результатам эксперимента и, во-вторых, достаточная экономичность расчетов, т. е. разумные затраты времени при выполнении их на быстродействующих ЭВМ. Из двух основных теорий химической связи — метода валентных связей и метода молекулярных орбиталей — последний имеет значительные преимущества при реализации на ЭВМ. Поэтому все основные расчетные методы современной квантовой химии используют приближение МО в форме схемы ЛКАО МО Хартрн—Фока—Рутаана (см. разд. 4.3.3). В рамках этой схемы возможны как дополнительные усовершенствования расчетной модели (учет эффектов электронной кор- [c.203]

Если два оператора коммутируют, то можно выбрать систему базисных функций так, чтобы они являлись собственными функциями обоих операторов (см. разд. 1.1). Следовательно, найденные при решении уравнения Шрёдингера собственные функции оператора Н (см. табл. 2.4) являются собственными функциями операторов и Используя выражение оператора (2.72), запишем уравнение (2.75) в явном виде [c.48]

В гл. 2 указано, что атом водорода и водородоподобные ионы являются единственными атомарными системами, для которых могут быть получены точные во шовые функции путем прямого решения уравнения Шрёдингера. Уже для следующего за водородом элемента периодической системы — гелия — на этом пути возникают непреодолимые трудности. Смысл их становится понятным из [c.53]

Точная нерелятивистская энергия молекулы получается при решении уравнения Шрёдингера с гамильтонианом, не включающим релятивистские члены (спин-орбитальное, спин-спиновое и другие взаимодействия). Значения корреляционной энергии для некоторых атомов и молекул приведены в табл. 4.5. [c.121]

Однако 4 4 и 4 3 не являются собственными функциями 8 и, следовательно, не являются решениями уравнения Шрёдингера. Можно построить их линейные комбинации, которые, как нетрудно проверить, есть собственные фушсции 8 и 8. [c.136]

Одно из особенно важных достоинств неэмпирических схем расчета состоит в том, что легко установить их строгую иерархию, основанную на сопоставлении получаемых с их помощью значений полной энергии. Свойство вариационности неэмпирических методов дает возможность, улучшая постепенно форму искомой волновой функции, приближаться к результату, достигаемому вначале в харт-ри-фоковском пределе, а затем к результату, достигаемому точным решением уравнения Шрёдингера. Поскольку каждый шаг на этом пути сопряжен с быстрым нарастанием затрат машинного времени, исследователь останавливается на расчетной схеме той или иной степени сложности, обеспечивающей должный компромисс между желаемым уровнем точности решения и затратами машинного времени. Практика расчетов выработала определенные критерии для 204 [c.204]

В качественной теории МО получаемые в результате приближенных решений уравнения Шрёдингера молекулярные орбитали многоатомных молекул являются в общем случае многоцентровыми функциями — линейными комбинациями АО нескольких атомных центров. Такое описание не связано прямо с понятием химической связи в структурной теории, где связь представляет собой локальное свойство, относящееся к двум соседним атомам. Можно преобра 5овать атолшые орбитали таким образом, чтобы придать им направленность, характерную для конфигурации образуемых данным атомом химических связей, и на основе этих новых (гибридных) АО подойти к описанию и прогнозированию геометрии молекул. Представления о гибридизации атомных орбиталей были введены в 30-х годах нашего столетия Л. Полингом. Понятие о гибридизации орбиталей тесно связано с понятием [c.381]

Расчет волновых функций центрального иона-комплексообразо-вателя в рамках ТКП требует решения уравнения Шрёдингера с гамильтонианом [c.415]