Производная вариационная

Рассмотрим в связи с этим методы решения вариационных задач, позволяющие избежать их вырождения . Отметим, что формулирование функционала (VI-40) определяется при постановке задачи, так что иногда можно предусмотреть нелинейную связь 1 ж х - В большинстве же реальных ситуаций зависимость / и х не выражается явно- Если, например, / определяет выход некоторого продукта, рассчитываемого в результате решения математического описания процесса, то определение в явном виде производной f по х невозможно. В этом случае целесообразно определить коэффициенты уравнения (VI-42) [c.213]

Уже отмечалось, что производные 1 по х ж х можно найти методами численного интегрирования. Решение последней системы относительно величин х во всех промежуточных точках экстремали дает решение вариационной задачи. Хотя такое решение достаточно сложно (см- поиск экстремума функции многих переменных), оно требует меньших затрат машинного времени, чем решение краевой задачи. [c.214]

Рассматриваемые здесь вариационные задачи заключаются в определении формы тел, обладающих минимальным волновым сопротивлением в плоскопараллельном или осесимметричном сверхзвуковом потоке газа, и контуров сопел, реализующих максимальную силу тяги при некоторых ограничениях. Силы, действующие на тела при течениях невязкого газа, определяются давлением на стенки. Величина давления находится из рещения граничных задач для нелинейных уравнений газовой динамики. Такие задачи в настоящее время решаются численно. Нахождение решения вариационных задач со связями в виде уравнений с частными производными приводит к сложным численным процессам. О таком прямом подходе к оптимизации формы тел будет сказано в послесловии к этой главе. Здесь будет рассмотрен подход, который в плоскопараллельном и осесимметричном случаях допускает точную одномерную постановку ряда вариационных задач и их простое решение. [c.45]

Условием того, что функционал достигает экстремума на функции /o(J ), является равенство вариационной производной нулю [c.43]

Найдем вариационные производные от матричных элементов (2.90) и (2.91). Имеем [c.95]

Далее, вариационная производная от обратной матрицы связана с вариационной производной прямой матрицы соотношением [c.96]

Вычисляя с помощью этих соотношений вариационную производную [c.96]

Выражение для термодинамического потенциала й 7(г) (где 2 (г) = J l/v ехр [—(г)/7 ]) такой равновесной системы было найдено в работе [133] в виде функционального интеграла. Его вариационные производные по внешнему полю позволяют найти корреляторы полных плотностей звеньев [c.281]

Таким образом, в отличие от системы уравнений (V, 125) для вариационной задачи с голономными связями система дифференциальных уравнений (V, 126) для задачи с неголономными связями включает также и производные dhh/dt- [c.224]

Интегралы, обозначенные через S, называют интегралами перекрывания. В соответствии с вариационным методом наилучшими значениями С] и Са в уравнении (14.5) являются те, которые дают самое низкое значение Е. Умножим левую и правую части уравнения (14.6) на знаменатель и возьмем производную по с и с . [c.429]

Для каждого состояния имеется такой набор коэффициентов Си Сг, Сз и С4, что соответствующая энергия Е постоянна. Используя вариационный метод ), Е можно продифференцировать по каждому из коэффициентов С и приравнять производные нулю [c.295]

Анализу разнообразных задач нестационарной теплопроводности посвящена обширная литература (см., например, [1-9]). В [9] приводится классификация методов возможного решения дифференциального уравнения в частных производных типа (4.1.2.3) классический метод разделения переменных метод интегральных преобразований (Лапласа и др.) метод функций источников (Грина и др.) метод тепловых источников, чаще используемый при нелинейных граничных условиях вариационные методы методы линеаризации уравнений и др. Широко используются численные методы (сеточные и метод конечных элементов). [c.231]

Лишь функциональный подход к теории турбулентности является замкнутым. Однако отсутствие математической теории уравнений в вариационных производных и, что не менее важно, отсутствие ясности в тех дополнительных ограничениях, которые позволяют выделить множество функционалов, представляющих интерес для теории турбулентности, не позволяют получить до сих пор на этом пути какие-либо конкретные [c.13]

Для нахождения минимальных значений собственной энергии применяют вариационный метод последовательно дифференцируют полученное выражение (4) для энергии по коэффициентам с,, С2, и приравнивают полученные значения первых производных нулю. [c.72]

Дифференциальные уравнения, записанные относительно двух компонент перемещений, заменяются разностными уравнениями, которые выводятся при помощи вариационного метода, основанного на минимизации полной потенциальной энергии. При этом граничные условия в напряжениях, обычно затрудняющие решение задачи, становятся естественными, они входят в выражение для энергии и автоматически удовлетворяются при ее минимизации. Полная потенциальная энергия тела равна сумме энергий для всех ячеек сеточной области. При этом можно считать, что все функции и их производные остаются постоянными в каждой ячейке. Сетка может быть как равномерной (регулярной), так и неравномерной. Конечно-разностные функции для ячеек имеют, кроме того, весовые коэффициенты для учета неполных ячеек, примыкающих к наклонной границе. Получающаяся система алгебраических уравнений относительно узловых значений перемещений оказывается симметричной и положительно определенной и имеет ленточную структуру. В работе [8] дополнительно к основной, сетке строится вспомогательная и перемещения определяются в точках пересечения этих сеток. В результате этого нормальные деформации и напряжения вычисляются в центре ячеек основной сетки только через центральные разности. [c.55]

В работе [2] предлагается следующий прямой способ получения решения, основанный на вариационной форме вышеизложенных задач. Функция, которая должна быть выбрана так, чтобы функционал был стационарным, разлагается соответствующим образом в ряд. После подстановки этого ряда в функционал берутся частные производные от функционала по коэффициентам разложения. Выражения для частных производных приравниваются нулю, а полученная система алгебраических уравнений используется для определения значений коэффициентов. Выбор вида разложения осуществляется так, чтобы не нарушались необходимые граничные условия, учитывались условия симметрии записи функции и обеспечивалось получение системы линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов. Кроме того, должна обеспечиваться сходимость к требуемому решению за минимальное число итераций. [c.172]

Орбитали Х21 Хз и Х4 требуют некоторых комментариев. Анализ этот начат нами отысканием орбитали с наинизшей энергией типа (218), в соответствии с вариационным принципом . Однако частные производные (224) дают нам не одну, а четыре орбитали. [c.82]

Одноэлектронные уравнения для а и Р можно решить точно, ибо < 0 ( ) — Ец ( ) действует на координаты только одного г-го электрона при этом уравнение оказывается точно таким, которое мы рассматривали выше при расчете поляризуемости атома Н. Приближение можно улучшить, взяв его в качестве основы некоторого итерационного метода [1]. Другой классический итерационный метод решения указанной задачи, в котором такн<е используется вариационная процедура, предложили Слэтер и Кирквуд [2]. Трудно себе представить, каким было бы современное состояние квантовой химии в этом вопросе, если бы Слэтер и Кирквуд не занялись отысканием приближенного решения уравнений в частных производных, а вместо этого обратились бы к вариационному принципу. Эти авторы, изучая поляризуемость атома Н, остановились на наиболее удачном, как потом оказалось, виде приблин енной волновой функции 1 = с = ( гфо, кото- [c.39]

В формулу (4.4.10) входит вариационная производная от функционала Эф. Общее определение вариационной производной дР [и]/би (хд) от функционала Р [и (ж)] в точке X — таково [c.123]

При описании нелинейных случайных процессов с помощью функционального метода возникают серьезные трудности, связанные с новизной математического аппарата и с отсутствием не только общих методов решения уравнений в вариационных производных, которым подчиняются характеристические функционалы, но и самих формулировок задач. По существу, до недавнего времени была сформулирована лишь начальная задача о характеристическом функционале, описывающем турбулентное течение несжимаемой жидкости в безграничном пространстве. Между тем особенности [c.204]

Другое осложнение, с которым можно встретиться при исиоль-зованип агшарата вариационного исчислении, состоит в том, что 1)ешение довольно значительного класса оптимальных задач вооби1,е нельзя представить непрерывными функциями илп функциями с непрерывными производными первого порядка. Простейшим примером такой задачи, в которой решение имеет разрывные производные первого порядка, является задача минимизации функционала [c.242]

Другим эффективным методом решения задач оптимального резервирования ХТС является градиентный [231]. Основная идея этого метода состоит в том, что значение экстремума критерия эффективности отыскивается последовательными шагами из начальной точки, oпpeдeлJ eмoй исходным вектором состава поэлементного резерва ХТС Хо, в направлении градиента критерия. При этом для решения вариационной задачи не требуется знать аналитическое выражение для критерия эффективности, а необходимо иметь лишь значения критерия и его первых частных производных в точках, расположенных на траектории движения к экстремуму КЭ и определяемых векторами состава поэлементного резерва ХТС X(i), где I — номер шага оптимального поиска. [c.206]

Так как энергия при образовании химической связй должна быть минимальной, то согласно вариационному методу возьмем производную дЕ1дС и приравняем ее нулю. Аналогично возьмем производную дЕ/дСа и также приравняем ее нулю [c.13]

Используя вариационный метод, находим производные де.1дС1 и дг/дС и приравниваем их нулю. При этом получаем два уравнения [c.27]

Отметим, что для обратного перехода — от варпационного уравнения (4.3) к краевой задаче (4.1) — (4.2) — необходимо дополнительно предполагать, что решение и х) уравнения (4.3) имеет вторые производные (поэтому, конечно, ие всякое решение уравнения (4.3) удовлетворяет уравнению (4.1), и именно поэтому решения вариационных уравнений называются обобщенными решениями краевых задач для дифференциальных уравпе- [c.159]

Поскольку уравнение энергетического баланса включает вторые производные по х и по у, то использован прямой вариационный метод расчета, предложенный Писманом [49]. Для решения уравнения (14.2-25) этим методом нужно определить температуру при трех значениях времени и решать уравнение дважды — для каждого направления отдельно. [c.547]

Функцию F(j ) называют вариационной производной (или функциональной производной) Wnofvi обозначают [c.43]

Получим уравнения для спинюрбиталей Фр(х) из условия экстремума функционала энергии (2.60) при дополнительных условиях (2.SS). Уравнения Эйлера такой вариационной задачи имеют вид (1.112). Вариационную производную от bip, р) находят сразу [c.79]

Варьируя второе слагаемое в (2.60), можно положить р Ф Я, так как в (2.60) кулоновский и обменный интегралы при р = <7 взаимно уничтожаются Вариационные производные от кулоновского (2 8) и обменного (2,59) интегралов прирФд имеют вид [c.79]

Рассчитать Е по (26.13) нельзя, пока функция (26.1) не определена, т. е. пока в ней неизвестны коэффициенты Су и Д- нахождения Су и используем вариационный метод, согласно которому лучшая функция типа (26.1) должна отвечать минимальной энергии, достигаемой при определенных значениях с у и с 2- Условие минимума Е как функции у И С2 известно частные производные функции по каждой из независимых переменных (с и должшя быть равны нулю [c.94]

Таким образом, приближение самосогласованного поля в модели Лифшица — Ерухимовича приводит в точности к результатам теории Флори во всем диапазоне изменения конверсии. В рамках такого приближения не только молекулярно-массовые, но и корреляционные характеристики отдельных молекул полимера будут совпадать с теми, которые определяются в рамках модели I. Этот важный результат объясняется совпадением вероятностной меры на множестве конфигураций и конформаций отдельных молекул в ансамбле, который рассматривается в приближении СП модели IV, и в ансамбле, соответствующем идеальной поликонденсации (модель I). Убедиться в этом можно вычислив, например, вторую вариационную производную ПФ но виртуальному полю /г. (г) = 1п5(г). Получающийся таким образом фурье-образ п. ф. двухточечных корреляторов (1.25) плотности звеньев молекул золя определяется формулой [c.277]

Непосредственное применение метода динамического программирования к этим задачам приведет к необходимости решения специального вида дифференциального уравнения в частных производных, в то время как принцип максимума приводит к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения, что является в общем значительно более простой задачей. Правда, следует отметить, что если решение но методу динамического ирограммирования найдено, то мы получаем значительно больше информации, так как в результате становятся известными оптимальные режимы для всех начальных условий. Принцип максимума и вариационное исчисление дают оптимальный режим только для одной комбинации начальных условий. [c.38]

Условия (124), не содержащие производных от Xi t), называются в вариационном исчислении голономными связями, а соотнощения (123) -. чеголоном-ными. При таких постановках вариационных задач обычно число связей п строго меньше числа искомых функций т. [c.53]

Значительные трудности существуют и в статистическом подходе В этом подходе можно выделить три направления 1) исследование формализма моментов, связанных бесконечной зацепляющейся цепочкой уравнений Келлера - Фридмана [1924] 2) функциональный подход к теории турбулентности, основанный на рассмотрении характеристического функционала, введенного Колмогоровым [1935], для которого Хопфом [1952] получено линейное уравнение в вариационных производных 3) формализм конечномерных распределений вероятностей, введенных сравнительно недавно в работах Монина [1967], Ландгрена [1967], Новикова [1967], Улиничаи Любимова [1968], Кузнецова [1967]. [c.13]

Методы поиска экстремума могут быть использованы не только для целей оптимального выбора конструктивных параметров, но и наряду с другими методами их можно применять для решения системы алгебраических (трансцендентных) уравнений. В этом случае решение определяется путем минимизации соответствующей функции этих уравнений. Наоборот, в вариационном исчислении решение системы уравнений может быть сведено к непосредс1венной минимизации. В связи с этим интересно заметить, что, хотя решение любой вариационной задачи может быть сведено к решению системы уравнений, обратное не всегда справедливо, так как можно найти систему уравнений, которая не может быть получена путем приравнивания нулю частных производных некоторой функции [2, стр. 18]. [c.161]

Арис [1, 2] дает введение к использованию динамического программирования для оптимизации дискретных и непрерывных процессов и рассматривает применение этого метода к широкому классу реакторов. Четкое описание способов использования классического вариационного исчисления для определения наилучшего распределения температур в реакторах с принудительным движением потока дано Катцем [5]. Катц показал, что применение динамического программирования к этой задаче приводит к дифференциальному уравнению в частных производных. Рассмотренные в предыдущей главе доклады Хорна посвящены применению градиентного [c.381]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология