Теория катастроф Тома

Специальные случаи критических точек, отвечающих различным типам структурных неустойчивостей, рассматриваются в так называемой теории катастроф Тома. Мы здесь не останавливаемся на этой теории, но ее применение к некоторым специальным задачам биофизики представляется обещающим. [c.492]

Теперь рассмотрим стохастическую систему с непрерывным пространством состояний (/ 2). Поскольку для / 2 в общем случае не существует производящих потенциалов, теорию катастроф Тома нельзя непосредственно применить к классификации бифуркаций в детерминистической картине и приходится обращаться к общей теории бифуркаций [63]. Для классификации соответствующих вероятностных поверхностей в настоящее время предложены новые методы, основанные на теории катастроф [211]. Мы исходим из следующих соображений [c.252]

В обобщенном случае стационарное распределение вероятностей тоже образует поверхность в пространстве состояний и параметров. Естественно было бы поэтому попытаться применить теорию катастроф Тома для классификации локального поведения вероятностной поверхности. Введем для этого поверхность локальных экстремумов вероятности Ш. Она образована экстремальными значениями стационарно- [c.252]

Здесь хотелось бы отметить следующий аспект предлагаемого нами применения теории катастроф Тома для классификации локального поведения вероятностной поверхности. Основное положение теории Тома состоит в том, чтобы характеризовать динамику [c.254]

Помимо указанной Бейдером монографии Тома [4] теории катастроф посвящена переведенная на русский язык книга [11 ] (см. также 12 ). — Прим. перев. [c.59]

Качественные скачки в развитии физики непременно сопровождались изменениями в представлении о пространстве и времени, кардинальным образом расширяющими и углубляющими эти понятия. Так было при создании физики Галилея и Ньютона, физики Эйнштейна и Бора. Так произошло и при создании физики Пригожина. Непреходящее значение теории диссипативных структур и бифуркаций Пригожина, а также теории гиперцикла Эйгена, катастроф Тома и т.д., иными словами, всего того, что составляет сейчас нелинейную термодинамику, заключается не только в объяснении совместимости физической и биологической концепций эволюции, но и понимании взаимной дополнительности этих концепций, их внутреннего единства. Было ликвидировано противоречие в трактовке самопроизвольных процессов разрушения и созидания структур. Появилась возможность координировать макроскопический и микроскопический уровни описания, одновременно учитывать детерминистические и стохастические особенности систем. [c.458]

Как уже упоминалось, теория бифуркаций близка в идейном отношении к теории катастроф . Сам термин, а также ряд основных понятий этого направления были предложены Рене Томом. Теория катастроф имеет как методологический, так и чисто практический аспекты и ей посвяш,ена богатая литература (см. [12] и библиографию там). Наша цель — обсудить здесь простейшие катастрофы в связи с математическими моделями, которыми мы занимаемся. [c.22]

В идейном отношении оно соответствует понятию грубости модели, введенному Андроновым еще задолго до появления теории катастроф . Значение его заключается в том, что качественные выводы, полученные на основе грубой (или структурно устойчивой) модели, являются общими и остаются справедливыми, даже если параметры модели определены не точно или варьируют от случая к случаю. В биологии это свойство особенно важно. [c.23]

Задачи о механическом равновесии жидкости возникают в различных областях науки и техники. Обычно они не просты и для решения требуют привлечения высшей математики и некоторых специальных методов. Еще более сложными, а потому и более интересными, являются задачи об устойчивости равновесия. Часто задачи о равновесии жидкостей и его устойчивости возникают или рассматриваются на стыке наук, и тогда неспециалисту в области физики трудно сориентироваться и понять проблему. Так, некоторые задачи, рассмотренные в книге, имеют прямое отношение к синергетике и теории катастроф, к космической технологии и метеорологии. Все это приводит к необходимости достаточно целостного и доступного изложения соответствующего материала, тем более что имеющиеся науч-но-популярные публикации по теме книги немногочисленны и к тому же разрознены. [c.5]

Отсюда ясно, что структурные неустойчивости градиентной системы в детерминистической модели соответствуют вырожденным экстремальным значениям Р° в стохастической модели, т. е. структурно-неустойчивому распределению вероятностей. Деформации распределения вероятностей, возникающие при превышении критических значений и, должны быть топологически эквивалентны структуре, порождаемой универсальными развитиями. Далее, из (П.29) и (П.ЗО) следует, что поверхность стационарных состояний градиентной системы М совпадает с поверхностью наиболее вероятных состояний М, т. е. М = М. Классификация вероятностных поверхностей с помощью теории Тома для градиентной системы переходит в теорию катастроф. [c.257]

Исследование ХТС — расчет показателей, определение свойств (особенностей), изучение эволюции (развития, изменения) ХТС для улучшения ее показателей и свойств. На этом этапе применяют методы различных областей наук - кибернетики, топологии, факторного анализа, теорий информатики, игр, решений, катастроф. Большое значение здесь имеют эвристические решения, или эвристики - накопленный опыт исследования химических производств. Вспомните знаменитую историю о том, как Архимед нашел ответ на вопрос из [c.229]

Другую большую группу составляют натуралистические теории, усматривающие источник морали в естественном законе или естественном праве ( морально то, что естественно, что находится в согласии с природой ), которые так или иначе могут быть раскрыты, познаны людьми. Это может быть, например, космический закон - поведение людей должно вписываться в космический порядок, и из данной посылки могут и должны быть выведены моральные нормы. Натуралистические теории становятся тем привлекательнее, чем более высок в обществе авторитет естествознания. Характерный пример - множество концепций эволюционной этики, начавших развиваться после появления дарвиновского учения о происхождении видов. На этой основе предлагались прямо противоположные по смыслу теории - от социал-дарвинизма, основывавшего мораль на эгоистическом праве сильного, т.е. на модели естественного отбора и выживания наиболее приспособленных, до этики взаимопомощи П.А.Кропоткина, согласно которой, напротив, законы эволюции диктуют альтруистические нормы морали. Некоторые современные натуралистические теории апеллируют к экологической тематике. Их авторы исходят из того, что поскольку наша планета сегодня находится на грани экологической катастрофы, то сложившиеся формы и нормы взаимоотношений людей друг с другом и с природой должны быть радикально изменены. Поэтому предлагаются такие новые нормы морали, следование которым позволит предотвратить разрушение биосферы, а тем самым - и гибель человечества. Так, наш видный ученый-естественник, академик H.H.Моисеев говорит в этой связи о том, что во имя сохранения человечества, да и вообще жизни на Земле, люди должны подчинять свои помыслы и деяния требованиям экологического императива, который предписывает оценивать все наши действия с точки зрения того, как - позитивно или негативно - они влияют на окружающую среду и, соответственно, избегать всего того, что чревато негативным эффектом. [c.40]

Современные работы французского математика Рене Тома [66, 67], посвященные структурной устойчивости градиентных систем, стали в настоящее время очень популярными и известны под названием теории катастроф. Теорию катастроф Тома можно рассматривать как часть общей теории структурной устойчивости динамических систем (см. приложение). Для случая, когда число параметров системы не больше четырех ((Пт С 4), Том смог дать общую классификацию возможных типов структурных неустойчивостей (катастроф). Он доказал, что существуют лишь семь различных типов элементарных катастроф независимо от числа степеней свободы. Несомненно, что современная математическая теория катастроф представляет большой интерес для качественного анализа динамических систем. В последнее время удалось применить эту теорию и к неградиентным системам [68] (см. приложение). [c.69]

Перечислим теперь важнейшие выводы настоящего раздела. Исходя из классической концепции структурных неустойчивостей системы траекторий детерминистической модели, проведено обобщеме стохастической модели. Это обобщение основано на исследовании локального поведения стационарного распределения вероятностей, к которому стремится система при 00. Стационарное распределение можно представить некоторой вероятностной поверхностью в пространстве состояний и области определения параметров и исследовать эту поверхность методом теории катастроф Тома. Структурные неустойчивости вероятностной поверхности соответствуют локальным вырожденным экстремумам или точкам перегиба стационарного [c.258]

Математически теория бифуркации весьма сложна. Кочень простой точно разрешимой ситуации приводит теория катастроф Рене Тома [142]. Эта ситуация применима к ситуации, когда описание объекта сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений в потенциальном виде, т. е. = —-дУ дХ1, где [c.320]

Обсуждение механизмов структурного изменения может быть сделано количественным, используя теорию элементарных катастроф Тома [4]. На основании анализа универсальных разверток , соответствующих сингулярностям особого типа, эта теория дает математическую модель структурных изменений в окрестности точки бифуркации. Возможность использования теории элементарных катастроф для описания изменений молекулярной структуры впервые была отмечена Коллардом и Холлом [5]. Примером является функция /, определяемая уравнением (3), которая называется разверткой эллиптической омбилической точки [c.60]

Введенное здесь понятие неравновесного фазового перехода близко к понятию катастрофа в теории катастроф, которую предложил Том [74]. Нам ближе то применение теории, которое изложено в работах Хакена, Эбелинга и др. [77, 82—84 ]. [c.397]

Идея о том, что случайные факторы, не учитываемые в обычной теории Дарвина, играют важную роль в эволюции, начинает обретать под собой почву и за пределами физических наук. Анализируя возможные причины пермской катастрофы, в результате которой около 225 миллионов лет назад с лица Земли исчезло около 80 % обитавших тогда видов животных, Гулд [1.57, с. 349] приходит к заключению, которое звучит, как своеобразный ответ Иоганну Кеплеру Вполне возможно, что случайность не является лишь адекватным описанием сложных случаев, в которых дать точное описание нельзя. Вполне возможно, что так устроен сам мир, и многие происходящие в нем события не обусловлены какими-либо причинами, понимаемыми в традиционном значении этого слова. Наше бессознательное убеждение в том, что такое невозможно, по-видимому, отражает лишь наши надежды и предрассудки, наше отчаянное стремление разобраться в видимой стороне сложного, запутанного мира, но не в том, как действует природа . [c.19]

Малое повышение концентрации Сд от докритического значения до сверхкритического изменяет устойчивость системы и порождает направленно протекающий макроскопический процесс приближения к стационарному состоянию. При превышении порогового значения С а" = к21к1 характер решения качественно меняется. В теории дифференциальных уравнений значение называется критическим значением (ср. разд. 3.5), или точкой ветвления, поскольку в этой точке решение качественно меняется. По терминологии Тома такое поведение называется катастрофой . Ветвление решения (бифуркация) является признаком критической точки. На фиг. 6.7 показана стацио [c.124]

Аналогия между фазовым переходом второго рода и кинетическим переходом при реакции 56 несомненно представляет интерес. Следует, однако, иметь в виду, что реакция 56 не является структурно-устойчивой в смысле понятий, введенных в разд. 3.5. Даже при бесконечно малом притоке ф 9 = О фазовый портрет качественно меняется. Легко видеть из уравнения (6.35), что при Ф О получается только одно положительное устойчивое решение и скачкообразный переход при а = О заменяется плавным (диффузным) переходом. При условии Ф < О, а > О и также при условии (—Ф) > (a /4k-.i), а < О положительные стационарные решения не существуют. Переход от режима, где имеется одно устойчивое стационарное состояние, к режиму, где нет устойчивых стационарных состояний, в терминологии Тома называется катастрофой типа складки (fold). С помощью теории Тома можно анализировать и другие возможные переходы. [c.126]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология