Детерминистическая модель

В гл. 1 было показано, что детерминистические модели не всегда могут адекватно описывать физические системы. Поэтому, когда системе свойственна неопределенность или она подвержена случайному изменению, необходимо использовать недетерминистические или случайные модели Математическая теория, лежащая в основе таких случайных моделей, называется теорией вероятностей. [c.78]

Если Gi = 1 — Fi, то детерминистическая модель, эквивалентная стохастической, описывается уравнениями (6.3.5)-(6.3.6), а вероятностные ограничения (6.3.7) заменяются соотношениями [c.236]

Схематизация речной системы также крайне проста она представляется древовидной структурой, составленной из ствола и притоков. Сбросы сточных вод накладываются на это дерево как точечная информация. Так как нагрузки по длине изменяемого потока приняты постоянными и установившимися, то детерминистические модели качества воды используются для оценки воздействия сбросов от точечных источников. Более детальный подход применяется лишь для необычных случаев, когда необходим расчет некоторых пространственных (и, возможно, временных) изменений в потоке и качестве воды. Калибровка и обоснование приемлемости моделей всегда достаточно сложны. Тем не менее, для решения традиционных задач изменения качества воды за счет точечных источников существует систематизированный опыт как оценки значений параметров, так и необходимых измерений. Поэтому реализация модели качества воды речной системы с доминирующими точечными источниками загрязнения достаточна проста. [c.264]

Глобальная детерминистическая модель [c.37]

В случае популяций бесконечно большого размера случайными флуктуациями можно пренебречь использование стохастических и детерминистических моделей дает приблизительно одинаковые результаты. Использование детерминистических моделей оправдано, если мы хотим в общих чертах узнать, каким образом какой-либо фактор влияет на генетический состав популяции. [c.367]

Используются два типа моделирования детерминистическое и вероятностное. Детерминистические модели количественно определяют физические параметры пожара или его эффектов (например, температуру помещения, дымо-образование). Это прагматический подход, который приемлем для прикладных целей инженеров и проектировщиков. Вероятностные модели рассчитывают вероятные последствия пожаров на основании статистических данных, они не рассматривают физические параметры пожара. Последние больше относятся к вероятностной оценке. [c.75]

На рис. 6.8 показана форма стационарного распределения вероятности Рст х) в зависимости от интенсивности внешних флюктуаций для случая, когда единственное стационарное состояние детерминистической системы есть Видно, что при 5 =3/2 максимум распределения расположен в точке как и следовало ожидать из детерминистического описания. Однако уже при 8 — 5/2 распределение вероятности обладает тремя экстремумами, из которых два максимума и один минимум. Последний расположен как раз в точке х , и его глубина возрастает с увеличением интенсивности флюктуаций внешнего параметра М. Таким образом, варьируя лишь интенсивность этих флюктуаций, т. е. интенсивность внешнего шума, мы можем вынудить систему перейти к эффективному бистабильному режиму и кардинально изменить свое поведение по сравнению с предсказаниями детерминистической модели. Важность этого вывода с точки зрения биохимических приложений очевидна. Переход к бистабильному поведению под воздействием внешнего шума изучался также в работах [23, 24]. [c.208]

Приведенные примеры свидетельствуют о том, что всякий раз, когда флюктуации параметров в уравнениях химической кинетики достаточно сильны, нельзя с уверенностью полагаться на предсказания детерминистических моделей. Последовательное изучение роли внешних флюктуаций для основных типов кинетических моделей еще не проводилось и остается актуальной задачей. [c.210]

Стохастические модели популяций. Рассмотренные нами выше модели популяций были детерминистическими. Однако в реальной жизни система может подвергаться случайным воздействиям, что связано с флуктуациями численности видов или значений параметров системы. Кроме того, сами процессы размножения и гибели, по сути, носят вероятностный характер. При большом числе особей детерминистическое описание совпадает со стохастическим, т. е. данные о численности видов, полученные при решении дифференциальных уравнений, совпадают с соответствующими математическими ожиданиями. Однако учет стохастического характера экологических процессов становится особенно важным при небольших размерах популяций. В этом случае среднее квадратичное отклонение численности отдельно взятой популяции от математического ожидания может быть довольно значительным. Это приводит к тому, что при рассмотрении какой-либо определенной популяции график роста обнаружит значительные колебания, характеризуя тем самым флуктуационную изменчивость данного процесса и его отклонение от теоретических кривых (фазовых траекторий), задаваемых детерминистической моделью. Пусть, например, в некоторой точке фазовой траектории модели хищник-жертва какая-либо переменная (хг) не очень велика, тогда случайные флуктуации могут привести к тому, что изображающая точка уйдет с фазовой траектории на одну из осей (ось Хг), т.е. численность одного из видов (вид хг) обратится в нуль, а вид (хг) вымрет. Таким образом, стохастическая модель предскажет в конечном счете вымирание одного из видов. Подчеркнем еще раз, что эти эффекты проявляются при небольших численностях популяций. [c.63]

Детерминистические и стохастические модели использование ЭВМ. Различные ограничения относятся в основном к моделям, где предполагается наличие функциональной связи между параметрами. Например, предполагают, что изменение генных частот в поколениях зависит от определенного вида отбора, такая модель называется детерминистической . Однако в действительности все популяционные параметры-частота генов, давление отбора, скорость мутирования-подвержены случайным флуктуациям из-за того, что размер популяции является конечным. С появлением ЭВМ возникла возможность включения в расчеты случайных флуктуаций таким образом были созданы стохастические модели. Изменение генных частот в популяциях моделируют, исходя из предположения, что популяция имеет какую-то определенную величину. В этом случае, например, кривая, отражающая изменение генных частот во времени, соответствует не идеальному ре- зультату, а только одному из возможных результатов, причем неизвестно даже, является ли данная кривая очень вероятной. Поэтому произвести расчеты для определенного набора параметров один раз недостаточно для того, чтобы получить при данных допущениях неискаженную картину одни и те же расчеты необходимо повторить несколько раз. Этот метод дает лучшие результаты, чем применение детерминистической модели кроме общей тен- [c.295]

Исследование полиморфизма по серповидноклеточности в Африке стохастическая модель замещения одного аллеля другим [126]. В исследованиях подобного рода был проведен комплексный анализ, включающий изучение истории популяций Западной Африки, воздействия на них малярии и частот генов Hb S и Hb С. Наблюдаемая здесь ситуация сходна со случаем Hb E и талассемии в Юго-Восточной Азии в популяции присутствуют два аллеля НЬ S и НЬ С, обладающие противомалярийными свойствами значения приспособленности W различны для гомо- и гетерозигот против двойных гетерозигот действует сильный отбор. На рис. 6.26 показано изменение генных частот, происходящее при вытеснении аллеля НЬ С аллелем Hb S решающим фактором здесь является селективное преимущество гетерозиготы по Hb S по сравнению с гетерозиготами по НЬ С. Как и в случае НЬ Е и талассемии, использована детерминистическая модель отбора. Предполагается, что популяция имеет бесконечно большую величину. С другой стороны, в модели, приведенной на рис. 6.26,Б, эффективный репродуктивный размер популяции (разд. 6.4.1) принят равным 1000, поэтому возникают случайные флуктуации генных частот. Эта модель стохастическая. Общая тенденция здесь та же, что и на рис. 6.26, , однако ясно видны случайные флуктуации частот. [c.326]

Глобальная детерминистическая модель [c.137]

В основной части настоящей книги рассматривались главным образом детерминистические модели не> обратимых процессов. Целью настоящего приложения является краткое введение читателя в курс быстро развивающейся в настоящее время стохастической теории необратимых процессов. При этом мы ограничимся лишь важнейшими общими результатами этой теории, имеющими отношение к рассматриваемым здесь задачам. Заинтересованный читатель может обратиться за дальнейшей информацией к специальной литературе [17, 18, 207—210]. [c.238]

Мы говорим о детерминистической модели необратимого процесса, если, зная состояние Х 1о), существующее в момент и, можно однозначно рассчитать состояние Х(0 в более поздний момент времени 1 > tQ Х 1) = Xl t),. .., (/) ). Будем считать, что зависимость состояния от времени определяется системой обыкновенных дифференциальных уравнений [c.238]

Если в момент t имеются два или больше максимумов, то говорят о бимодальном или многомодальном распределении. Соответственно здесь имеются две или больше наиболее вероятных траекторий. Поскольку динамическая и стохастическая модели заданного процесса должны согласовываться между собой, должна существовать связь решения для детерминистической модели, описываемой уравнением (П.1), со средней траекторией (П.6) или с наиболее вероятными траекториями (П.7). В связи с этим нужно заметить, что при бимодальном или многомодальном распределении целесообразнее рассматривать наиболее вероятные, а не средние траектории. [c.241]

На эти трудные вопросы сегодня пока не удается дать вполне удовлетворительный ответ, поскольку теория стохастических моделей еще не достигла такого развития, как теория детерминистических моделей. Однако для важного частного случая градиентных систем, определяемых уравнениями (П.10) и (П. 14), можно в полной мере проследить связь между стохастической и детерминистической моделями. Как было показано в предыдущем разделе [ср. (П.15)), между потенциальной функцией детерминистической модели У х1, х , и) и стационарным распределением вероятностей существует следующая связь [c.249]

Рассмотрим систему, описываемую функцией У х,и), в рамках детерминистической модели. [c.249]

Фиг. П.З. Структурные неустойчивости вероятностной поверхности одномерной системы и соответствующие неустойчивости системы, описываемой траекториями в детерминистической модели.

V и введение поверхности локальных экстремумов вероятности М вместо М имеет то преимущество, что существование Р° гарантировано практически для всех рассматриваемых динамических систем [ср. Я-теорему (П.17), (П.18)]. Поверхность Р° и плоскость локальных экстремумов вероятности М находятся в такой же взаимозависимости, как V и М. Теория Тома применима, хотя в отличие от детерминистической модели здесь существует связь с динамической системой через поверхность Р°. [c.255]

Отсюда ясно, что структурные неустойчивости градиентной системы в детерминистической модели соответствуют вырожденным экстремальным значениям Р° в стохастической модели, т. е. структурно-неустойчивому распределению вероятностей. Деформации распределения вероятностей, возникающие при превышении критических значений и, должны быть топологически эквивалентны структуре, порождаемой универсальными развитиями. Далее, из (П.29) и (П.ЗО) следует, что поверхность стационарных состояний градиентной системы М совпадает с поверхностью наиболее вероятных состояний М, т. е. М = М. Классификация вероятностных поверхностей с помощью теории Тома для градиентной системы переходит в теорию катастроф. [c.257]

Кроме того, характерно, что флуктуации всегда либо симметричны относительно вырожденного экстремального значения Р° х,и) ( пики и бабочки на фиг. П.З), либо, наоборот, резко асимметричны ( концы и ласточкины хвосты на фиг. П.З). Это объясняется тем, что структурно-неустойчивые ситуации соответствуют либо широким симметричным плато, либо точкам перегиба в распределении вероятностей. В первом случае все флуктуации, не превышающие некоторой амплитуды, равновероятны, тогда как во втором преимущество имеют флуктуации какого-то определенного направления. Стохастическая модель позволяет делать более глубокие выводы о свойствах и поведении системы, чем детерминистическая модель. Эти выводы относятся к структуре флуктуаций. Причина заключается в том, что потенциалы определяют и топологию стационарного распределения вероятностей. [c.258]

Системы с дискретным пространством состояний всегда носят стохастический характер. Они не имеют детерминистических аналогов. Построение соответствующей детерминистической модели возможно лишь в том случае, когда допустимо приближенное представление системы в непрерывных переменных. Примерами таких непрерывных переменных могут служить концентрации, которые мы рассматривали в гл. 6 и 7. Использование концентраций оправдано при большом числе частиц. Однако в общем случае переход к непрерывным переменным оказывается невозможным. Поэтому некоторые положения, обсуждавшиеся в предыдущем разделе, теряют смысл. Описанные методы классификации вероятностных поверхностей применимы к исследованию дискретной сетки вероятностей лишь в том случае, когда точки дискретного распределения вероятностей можно аппроксимировать поверхностью. [c.259]

Система дифференциальных уравнений детерминистических моделей объекта часто может быть представлена в общем виде [c.156]

Имеющиеся в настоящее время данные в большей мере свидетельствуют в пользу детерминистической модели. [c.132]

Из приведенных данных нетрудно понять, что с математической точки зрения проблема моделирования неточечных источников является более сложной задачей, чем проблема точечных источников. Действительно, даже в простейшем случае моделирования диффузного загрязнения реки для схематизации изучаемой системы река водосбор требуется двумерное представление, по крайней мере, подсистемы водосбор . Кроме того, неточечные источники, в отличие от точечных, требуют некоторой аппроксимации для применения в моделях качества воды и пространственной (например, в виде линейного источника вдоль береговой линии), и временной (постоянно действующая нагрузка или импульсный источник, возникающий в каких-то метеорологических условиях). Следовательно, если при учете точечных источников в детерминистических моделях качества воды достаточно было характеристик расхода источника, то в случае моделирования рассредоточенной нагрузки приходится одновременно проводить расчеты и самой этой нагрузки, и течений в русле (руслах), и параметров, определяющих качество воды. [c.118]

Математическая модель является в значительной степени описанием реальности, в которой комплексное поведение системы выражается в виде набора уравнений. Основой этих уравнений могут быть данные наблюдений (эмпирические модели, или модели, построенные по принципу черного ящика) либо классические научные концепции (концептуальные, или динамические, модели),. Модели могут воспроизводить статистическую природу воздействий или взаимодействий (стохастическая модель) или представлять их в виде сглаженных неслучайных функций (детерминистическая модель). Задача специалистов по моделированию состоит в описании процессов, происходящих в озере (инструмент исследования). При ограниченном количестве необходимых входных данных модели могут быть использованы ежедневно (инструмент управления системой). [c.233]

В настоящее время результаты вероятностного анализа пожара очень неопределенны из-за неспособности моделей точно предсказать, как именно будет распространяться пожар. Анализ риска пожара в рамках ВОР по своей природе является не совсем вероятностным, он основывается на комбинациях различных баз данных, детерминистических моделях развития пожара и вероятностных моделях обнаружения и тушения пожара. Самый сложный аспект вероятностного анализа — расчет вероятности выхода из строя оборудования в результате пожара. Эта проблема осложняется неточностями в моделировании систем обнаружения и тушения, действительного количества горючей нагрузки в моделировании, стохастического характера развития пожара, размера зоны вторичного поражения, где горючие газы могут вызвать отказ оборудования и инициировать вторичные пожары, а также доступа для тушения. Для расчета вероятного развития пожара разработан целый ряд важных моделей, но даже в лучшем случае количественные неточности остаются значительными. Но что еще более важно — это то, что на сегодняшний день отсутствует точный расчет, уста-назливающий степень достоверности с учетом этих несовершенных возмол<ностей. Риск пожара отделяется от вероятностных аспектов и изучается детерминистически через опасность пожара. При этом уменьшение риска пожара решается путем ограничения количества горючих материалов, деления зданий на отсеки, контроля вентиляции и систем пожаротушения. [c.34]

Переход от стационарного состояния к автоколебательному режиму, индуцированный внешним шумом, изучался в работе [27]. В этой работе была рассмотрена модель Лоренца (см. (4.5.1)) при значениях параметров, когда она еще не обладает собственным хаотическим поведением, а имеет два устойчивых стационарных состояния l ж Сявляющиеся устойчивыми узлами-фокусами, так что малые отклонения от них затухают с осцилляциями. Чтобы учесть тепловые флюктуации, в правые части уравнения (4.5.1) вводились дельта-коррелированные случайные функции (шумы), и получающаяся система исследовалась на ЭВ1И. Было обнаружено, что при малых интенсивностях шумов стационарное распределение вероятности имеет максимумы в точках и g, где были расположены устойчивые стационарные состояния детерминистической модели. Если, однако, увеличивать интенсивности шумов, то при превышении некоторого критического значения происходит качественная перестройка функции распределения. В точках i и С2 стационарное распределение вероятности достигает теперь уже минимума, и они окружены кольцевыми максимумами вероятности. Рассмотрение траекторий движения системы под воздействием внешнего шума Показало, что она совершает возмущенные периодические колебания, проводя почти все время в области кольцевых максимумов вероят- [c.209]

Фазовая диаграмма модели Хонглера, показанная на рис. 9.4, состоит из трех областей и по сравнению с генетической мО делью гораздо проще. Это хорошая иллюстрация того факта, что весьма близкие детерминистические модели дают заметно разные микроскопические отклики на внешний шум. В частности, на линии критических точек отсутствует точка, в которой механизм расщепления пика, работающий при больших значениях V, сменялся бы механизмом затухания пика, определяющим поведение Ps(x) при малых у. [c.346]

В работе [252] показано, что стохастическая модель сводится к детерминистической модели при переходе к пределам /V ш, V оо(/У/К=сопз1). Для конечного числа частиц N соответствия между моделями установить не удалось (см. также обзор [253]). Пока это направление ие дало ничего существенно нового. [c.311]

В биологии большинство процессов является, по суш еству, случайными, начи-ная от процессов поглош ения и испускания квантов света оптически активными биомакромолекулами или процессов биохимических реакций и кончая процессами размножения организмов. Поэтому следует в моделях рассматривать распределение вероятности поглош ения или испускания квантов света или распределение вероятностей рождения особей. Однако математический аппарат вероятностных распределений гораздо более громоздок и менее нагляден, чем аппарат детерминистических моделей, который был использован до сих пор. При изучении каждой конкретной системы встает вопрос о ее статистических свойствах и правомерности детерминированного описания системы. При этом важно, какие задачи ставятся в процессе исследования. Для изучения некоторых свойств системы достаточно описывать ее как детерминированную, другие свойства могут быть установлены только при вероятностном описании. В настоянием параграфе будет рассмотрено несколько простых стохастических моделей и на их примере пояснено, к каким новым эффектам приводит вероятностное рассмотрение и когда можно ограничиться детерминированными моделями, описываюш ими эволюцию средних значений переменных. [c.55]

Такое упрощенное уравнение Фоккера — Планка позволяет особенно легко проследить связь между детерминистическим и стохастическим описанием явления. Простейщий способ учета флуктуаций детерминистической модели состоит во введении случайного источника [c.242]

Перечислим теперь важнейшие выводы настоящего раздела. Исходя из классической концепции структурных неустойчивостей системы траекторий детерминистической модели, проведено обобщеме стохастической модели. Это обобщение основано на исследовании локального поведения стационарного распределения вероятностей, к которому стремится система при 00. Стационарное распределение можно представить некоторой вероятностной поверхностью в пространстве состояний и области определения параметров и исследовать эту поверхность методом теории катастроф Тома. Структурные неустойчивости вероятностной поверхности соответствуют локальным вырожденным экстремумам или точкам перегиба стационарного [c.258]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология