Группа симметрии волнового вектора

Рассмотрим звезду, неприводимое представление (т) группы (я), и расположим в столбцовую матрицу X е нормальных координат, описывающих колебания кристалла с одинаковой частотой и, следовательно, образующих базис неприводимого представления пространственной группы. Операция Н, + Тд) может оставлять инвариантными или преобразовывать в эквивалентные векторы некоторое число векторов звезды. Каждая нормальная координата, соответствующая одному из этих векторов, в результате операции симметрии преобразуется в линейную комбинацию нормальных координат этого же волнового вектора. [c.113]

В разделе 1,3,Г было показано, что свойства поглощения света кристаллами в зависимости от направления связаны со свойствами симметрии волнового вектора и обычно с самой фактор-группой. Вследствие этого нафталин и антрацен поглощают вдоль оси Ь кристалла и в плоскости ас в бензоле, имеющем фактор-группу Озл, единственные направления поглощения — это направления вдоль трех орторомбических осей. Интенсивность поглощения вдоль активных направлений зависит от ориентации осей молекулы относительно осей кристалла, а также от величины смешения между различными верхними состояниями молекул, обусловленного членами второго порядка, которые только что рассматривались. В модели ориентированного газа для кристалла, в которой предполагается, что молекулы вообще не взаимодействуют, интенсивность поглощения в одном из главных направлений пропорциональна квадрату проекции момента перехода в свободной молекуле. Отношение интенсивностей в двух главных направлениях, называемое поляризационным отношением, равно, таким образом, отношению квадратов проекций момента перехода молекулы. В случае кристалла Р2у а с двумя молекулами в ячейке моменты переходов в г-е возбужденное состояние могут быть записаны в виде и Щ, причем нижними индексами обычно обозначают различные молекулы. Направления обоих векторов параллельны активным осям молекулы. При последовательном образовании осей в молекуле 2 с помощью отражения в плоскости ас сумма + лежит в плоскости зеркального отражения, а разность перпендикулярна [c.538]

В работах [71, 80] было ноказано,что значения волновых векторов к -, отвечающих положениям особых точек, в которых функция V (к) всегда имеет экстремум, определяются критерием Е. М. Лифшица точечная группа вектора kgj содержит пересекающиеся в одной точке элементы симметрии. Доказательство этого утверждения для функции V (к) полностью совпадает с соответствующим доказательством, приведенным на стр. 53—54. [c.127]

Различия в поглощении света в разных направлениях, которые очень легко измерить в кристалле, зависят только от симметрии кристалла и могут быть определены из таблицы характеров фактор-группы. Поскольку длина волны поглощаемого света очень велика по сравнению с размерами решетки, то хорошим приближением является предположение, что могут встречаться только те переходы, в которых волновой вектор одинаков в начальном и конечном состояниях . Если основное состояние описывается выражением (12), относящимся к к = О, то в этом приближении все верхние состояния относятся к нулевому волновому вектору, а все остальные правила отбора являются правилами отбора фактор-группы. Это опять-таки может быть продемонстрировано на кристаллах нафталина и антрацена Р2 а). Переход из состояния типа симметрии Го в верхнее состояние с симметрией Гд разрешен в том случае, когда прямое произведение для перехода содержит полностью симметричное представление, а именно [c.524]

Переходы в верхние состояния с к О возможны, если основное электронное состояние [см. уравнение (12)] имеет связанные с ним колебания решетки или же если кристалл имеет дефекты или содержит примеси. В случае колебаний решетки, связанных с основным электронным состоянием, формальное требование постоянства вектора к при переходе может выполняться, если в верхнем состоянии волновой вектор равен волновому вектору колебания решетки в основном состоянии. Такие переходы проявляются в спектрах поглощения слабо, так как их интенсивность зависит от способности колебания решетки вызвать в электронной волновой функции компонент не равного нулю вектора к. Однако изучение соответствующего момента перехода показывает, что правила отбора, как можно было ожидать, выводятся из группы волнового вектора. Если группа волнового вектора не имеет элементов симметрии, то направление поляризации не связано с осями кристалла. В противном случае направление поляризации может быть ограничено определенной плоскостью или осью кристалла. В каждом из случаев, приведенных в табл. 4, поглощение происходит только в направлении оси Ь или в плоскости ас в кристаллах [c.524]

С более высокой пространственной группой симметрии, таких, как бензол, существует последовательный ряд возможностей в соответствии с широким набором имеющихся групп волнового вектора. Например, в фактор-группе бензола Огл (табл. 4) волновой вектор может лежать вдоль одной из осей второго порядка и быть инвариантным по отношению к вращению вокруг этой оси и двум отражениям, принадлежа, таким образом, к группе Сг . Эта симметрия достаточно высока, чтобы ограничить момент перехода одной из трех осей симметрии. И наоборот, волновой вектор может лежать в одной из зеркальных плоскостей, а не вдоль оси. Группой волнового вектора является тогда группа 1 , а переходы поляризованы или вдоль оси, перпендикулярной к зеркальной плоскости, или в плоскости. Направление в плоскости меняется с изменением направления и величины вектора к. [c.525]

Для качественного и количественного описания Ландау предложил ввести параметр порядка <р, который определяет степень нарушения симметрии в несимметричной фазе. Интуитивно ясно, что в качестве параметра порядка можно взять намагниченность т в магнетике, вектор поляризации Р в сегнетоэлектрике, волновую функцию конденсата ф в сверхтекучем гелии и сверхпроводнике и т. д. Данное выше определение параметра порядка весьма неоднозначно. Если <р, характеризует нарушение симметрии, то почти любая функция от <р тоже является такой характеристикой. Можно сильно уменьшить степень произвола в этом определении, потребовав, чтобы <р линейно трансформировалось при преобразованиях изначальной группы симметрии Другими словами, <р должно преобразовываться по линейному неединичному представлению Остающаяся после этого неоднозначность устраняется при рассмотрении конкретных физических ситуаций. Параметр порядка может быть выражен как среднее по объему значение от микроскопических характеристик системы. [c.27]

При выводе формулы (2.14) особое внимание уделялось тем операциям симметрии пространственной группы, вращательная часть которых, единственно действующая на волновой вектор, оставляет последний инвариантным или преобразует его в эквивалентный вектор я -(- Кл, где по формуле (4.34) из гл. 3 величина Кл/2л — трансляция обратной решетки. Действительно, эти операции преобразуют каждую координату совокупности 35 координат а(/,я) (а = х,у,г / = 1, 2,. .., 5) в линейную комбинацию координат этого же волнового вектора. [c.103]

Рассмотрим вначале точку, лежащую внутри зоны. Ее можно считать концом волнового вектора, исходящего из центра зоны Г. Из способа построения зоны явствует, что никакая операция симметрии не может преобразовать эту точку в эквивалентную. Центральная точка Г любой зоны инвариантна при всех операциях симметрии группы изоморфной фактор-группе е 3 пространственной группы. Произвольной точке, не лежащей ни на одном элементе симметрии, соответствует группа i l волнового вектора. В случае, представленном на фиг. 3.6, точки Д, лежащие на осях четвертого порядка куба, инвариантны по отношению к операциям группы точно так же точки Л инвариантны относительно операций группы а точки 2 — относительно операций группы й гю- [c.104]

В случае точек, лежащих на поверхности зоны, нужно учитывать, что некоторые операции симметрии могут преобразовывать их в эквивалентные точки, тоже лежащие на поверхности. Например, точка L (фиг. 3.6,6), лежащая на оси третьего порядка, при инверсии относительно точки Г переходит в противоположную точку, отличающуюся от L на трансляцию 4d (111), но эквивалентную ей, так что симметрией точки L будет не з , а 3>3d- Группы волнового вектора 5 (q) в разных точках зон, представленных на фиг. 3.6, приведены в табл. 4.1. [c.104]

Симметрия комплексных нормальных координат в группе волнового вектора [c.106]

При заданном волновом векторе я совокупность 1т нормальных координат 2, / ) не описывает всех нормальных колебаний кристалла, частота которых одинакова вследствие симметрии пространственной группы. Возьмем какую-нибудь операцию симметрии пространственной группы, вращательная часть которой Яг преобразует вектор я в век-гор Я2, отличный от я. но обязательно равный ему по модулю. Можно показать, что волновой вектор Я2 = КаЯ относится к колебаниям той же частоты, что и волновой вектор я- В самом деле, можно ввести новую систему координат, в которой вектор Я2 имел бы ту же ориентацию и те же составляющие, что и вектор я в старой системе координат. Следовательно, матрица Фурье, относящаяся к вектору Яг и выраженная в этой новой системе координат, эквивалентна матрице Фурье, относящейся к вектору я и выраженной в старой системе координат, а поэтому обе матрицы приводят к одному и тому же вековому уравнению и, следовательно, к одинаковым корням т. [c.111]

Когда волновой вектор (по-прежнему находящийся внутри зоны), который используется для определения звезды, лежит на элементе симметрии, он инвариантен при всех операциях, оставляющих неизменным этот элемент. На фиг. 4.4 представлены зона Бриллюэна и примеры звезд в плоской квадратной решетке с ребром ячейки длиной а, причем точечной группой прямой решетки является группа 4. В примере а, когда волновой вектор я/2я лежит внутри зоны, число лучей звезды равно порядку группы. В примере б вектор я/2я инвариантен относительно операций идентичности и операции, звезда имеет четыре луча. В примере в конец вектора лежит на гра- [c.112]

Принято считать, что на линии симметрия волнового вектора не меняется, и группа G/t одинакова для всех ц. Это действительно так, пока мы рассматриваем лишь точечную симметрию груш1ы волнового вектора. Трансляционная же подгруппа будет различной в зависимости от числа = min. Она содержит минимальные транслжщи на величину па. Базисные функции НП на лучах к- и -к меняются с изменением вектора трансляции t по закону Фк exp(ifei) и ф-1с ехр -ikt). Дня волнового вектора (32.37) инвариантами относительно трансляций являются величины к) и [c.197]

Если рассматриваемый тип колебаний вырожден по отношению к группе волнового вектора (Яо), то функция ю (я), вообще говоря, не будет аналитической и поэтому ее нельзя представить в виде разложения в ряд Тэйлора. Такие критические точки возникают из-за касания ветвей (я) в точках симметрии. Можно показать, что, если эти точки связаны с двойным вырождением в плоскости симметрии, они являются точками перегиба Fi и F2 (неглубокие седловые точки) они приводят к сингулярностям функции g (iu), аналогичным сингулярностям в критических точках Pi и Рг (фиг. 10.9). [c.272]

СИММЕТРИЯ КОЛЕБАНИЙ КРИСТАЛЛА В ГРУППЕ ВОЛНОВОГО ВЕКТОРА [c.386]

Точки Г и Я обладают полной кубической симметрией. Волновым функциям в этих точках соответствует один и тот же набор типов симметрии. Группа волнового вектора Д изоморфна точечной группе 4тт — подгруппе группы 4/т тт. Группа волнового вектора Я содержит только повороты вокруг одной из осей третьего порядка. Группа волнового вектора 2 имеет порядок 4 и ей соответствуют четыре невырожденных состояния. Типы симметрии для этих точек и энергетические зоны в приближении свободных электронов рассмотрены в работах [4—6]. [c.31]

Точечная группа О к волнового вектора, по определеняю, является подгруппой кристаллического класса С, который может и не совпадать с точечной группой симметрии Со решетки Браве. Поэтому понятие звезды волнового вектора вводится с учетом не только типа решетки кристалла, но и его кристаллической структуры. Так, в нашем примере точка X имеет в качестве О группу только для кристаллов класса О (кристал- [c.60]

Для точки симметрии О. звезда волнового вектора состоит из трех неэквивалентных векторов, а не шести, так как середины противоположных сторон шестиугольника отличаются на вектор обратной решетки Ь и поэтому соответствуют эквивалентным-векторам к. Точечная группа Ор содержит операции— единичную, отражения в плоскостях о и поворот вокруг оси второго порядка, т. е. изоморфна группе Сг . Она имеет четыре одномерных представления (два — симметричных относительно поворота вокруг оси Сг, два — антисимметричных). Соответственно 4 возможных представления Qu. .Q4, пространственной группы — третьего порядка. [c.66]

Для точки симметрии Р звезда волнового вектора состоит из двух неэквивалентных векторов (каждая из шести вершин правильного шестиугольника принадлежит одновременно трем ячейкам Вигнера — Зейтца обратной решетки). Группа Ор изоморфна точечной группе шестого порядка Сз , имеющей два одномерных представления и одно двумерное. Следовательно, для звезды вектора Р возможны представления Р , Р2 (размерности 2) и Рз (размерности четыре). [c.66]

При симметричном расширении ячейки приведение волновых векторов к центру суженной зоны Бриллюэна (а также к точкам к на ее границе, обладающим точечной симметрией решетки Со) осуществляется, как видно из рассмотренных примеров, целыми звездами векторов к для квадратной решетки при расширении ячейки вчетверо (см. рис. 2.6) к точке Г приводятся звезда М (из одного вектора) и звезда Х (из двух векторов) для прямоугольной решетки (см. рис. 2.4) к точке Г приводится звезда 5, состоящая из одного вектора. Эти выводы можно сделать и из рассмотрения общего соотношения (2.7), выполнение которого для одного пз векторов звезды к влечет за собой и его выполнение для всех остальных векторов этой звезды (так как ортогональные преобразования точечной группы сохраняют скалярное произведение). [c.98]

В теории представлений пространственных групп применяются элементарные ячейки не в виде элементарных параллелепипедов, а в виде многогранников, отображающих симметрию точечной группы кристалла. Симметризованную центральную ячейку в пространстве волнового вектора принято называть первой зоной Бриллюэна. [c.17]

В теории симметрии блоховских функций показано, что каждый волновой вектор к не только обозначает соответствующую блоховскую функцию, но и указывает неприводимое представление группы трансляций, которому она принадлежит. Это означает, что при действии операции трансляции Г(Ко) на произвольный вектор Rfl блоховская функция ф(к) должна преобразовываться в соответствии с выражением [c.73]

Волновой вектор сверхструктуры принадлежит 6-лучевой звезде кЭ), и группа волнового вектора им(. т, очевидно, 48/6 = 8 элементов в нулевом блоке. Из таблиц [1] находим, что они строятся из следующих точечных элементов симметрии [c.30]

Пусть фазовый переход сопровождается увеличение.м объема элементарной ячейки, т.е. переход идет по ненулевой звезде волнового вектора к . В подавляющем большинстве наблюдаемых фазовых переходов диссимметричная фаза характеризуется одним волновым вектором, т.е. переход происходит по однолучевому каналу звезды. Группа симметрии диссимметричной фазы при таком переходе либо совпадает с группой волнового вектора, Сд - Gjt, либо является ее подгруппой, o t- В первом случае число доменов, отличающихся ориентацией, совпадает с числом лучей ( о Такие домены будем называть лучевыми. Во вто- [c.71]

Возьмем сначала случай колебания, невырожденного по отношению к группе симметрии волнового вектора д (яо) в критической точке Яо. Если все три составляющие вектора gгadg(Oг(qo) равны нулю, точку Яо называют аналитической критической точкой. Если же одна или несколько составляющих скачкообразно меняют знак, а остальные равны нулю, точку Яо называют сингулярной критической точкой. Такой критической точкой может быть только точка пересечения двух ветвей. [c.270]

Филлипс вывел правило, которое позволяет по симметрии определять критические точки в пространстве q. В некой точке зоны Бриллюэна, являющейся концом вектора q, каждая фонон-ная ветвь принадлежит какому-нибудь неприводимому представлению группы симметрии волнового вектора (q) если квадрат этого представления (по Кронекеру) не содержит представления вектора, то критическая точка является для соответствующей ветви обычной критической точкой, поскольку величина gradg a при операции симметрии преобразуется как вектор [137а]. [c.273]

С первого взгляда мон ет показаться, что проблема устойчивости сверхструктуры относительно образования антифазных доменов не имеет общего решения и должна в каждом случае рассматриваться на основе конкретного количественного анализа межатомного взаимодействия. К счастью, дело обстоит иначе. Ниже будет показано, что необходимый критерий устойчивости сднородной структуры относительно образования антифазных доменов связан с ее симметрией и поэтому носит универсальный характер [73). Этот критерий совпадает с критерием Е. М. Лифшица, обсунч давшимся в 4. Он сводится к требованию, чтобы группа всех сверхструктурных волновых векторов (точечная группа всех точек обратного пространства неупорядоченной фазы, в которых появляются сверхструктурные отражения) содержала бы пересекающиеся в одной точке элементы симметрии. [c.123]

Функции, полученные из уравнения с помощью операций фактор-группы, являются функциями подобного же вида, принадлежащими разным местам элементарной ячейки, заданным одним из значений индекса . Линейные комбинации уравнения (19) и его преобразований могут быть составлены так, чтобы они принадлежали представлениям фактор-группы. Пример будет приведен ниже . Даже если вектор к не равен нулю, может, однако, случиться, что он инвариантен по отношению к определенным операциям фактор-группы. Эти операции образуют подгруппу фактор-группы, названную Бокартом и др. [5] группой волнового вектора. Из функций [уравнение (19)], принадлежащих к-му представлению группы трансляций, тоже могут быть составлены такие комбинации, которые обладают свойствами представлений группы волнового вектора. В качестве примера для простого кристалла нафталина и антрацена (Р21/й) уже было показано, что для к = О волновые функции кристалла преобразуются подобно представлениям фактор-группы. Сг/г, приведенным в табл. 1. Существуют два занятых места, пронумерованных 1 и 2, и /2 молекул в каждом наборе молекул, связанных трансляцией. Из операций фактор-группы, приведенных в табл. 1, как вращение, так и отражение переводят набор 1 в набор 2 и наоборот. Инверсия переводит каждый набор сам в себя, а представления фактор-группы должны иметь те же самые характеры ( или и), что и волновые функции молекулы. Прежде чем рассматривать другие операции, следует найти соотношение между системами координат молекул в этих двух местах. Это делается следующим образом. Предположим, что прямоугольная правовинтовая система осей совмещена с осями симметрии молекулы в месте 1 элементарной ячейки при выбранном произвольно положительном направлении. Тогда расположение осей для молекулы в месте 2 будет определяться преобразованием исходных осей с помощью операций 0/1. Теперь преобразование функции при помощи каждой операции симметрии фактор-группы фиксировано, а следовательно. [c.521]

Если молекулы в кристалле сохраняют центр симметрии в локальной группе, то переходы g g, которые запрещены в молекуле, остаются запрещенными и в кристалле, так как каждое состаяние свободной молекулы переходит в "-состояния фактор-группы, а ы-состояния входят в и. Однако это верно только для состояний кристалла с нулевым волновым вектором и неприменимо во всех случаях, когда к не равен нулю, потому что группа волнового вектора в этих случаях никогда не включает в себя инверсию пространства. Следовательно, даже в кристаллах высокой симметрии можно наблюдать переходы g — g, если снято ограничение к = 0. Это, по-видимому, более вероятно в случае спектров люминесценции, а не в спектрах поглощения, потому что смешение экснтонных и решеточных колебаний может быть достаточно сильным в течение времени жизни люминесцентного состояния. Вследствие этого осуществляется заселение экснтонных уровней с не равным нулю к, а также не равных нулю фонон-ных уровней, если существуют подходящие соотношения энергий. [c.525]

Для обертонов и составных полос правила отбора приходится давать в более общей форме. Для трансляционной группы симметрии переход разрешен, если начальному и конечному состояниям соответствует один и тот же вектор волнового числа [см. уравнение (85) ]. В общем случае число разрешенных переходов очень велико. При учете про-странственно-групповой симметрии правила отбора более четкие, но большая часть переходов, разрешенных при трансляционной симметрии, все еще оказывается активной. Особое значение имеют переходы между низкочастотными колебаниями решетки и молекулярными колебаниями , так как они определяют форму и ширину полос поглощения. Они зависят от температуры, поэтому их можно идентифицировать при помощи низкотемпературных спектров. [c.119]

Таким образом, операция симметрии пространственной группы приводит к новым переменным с преобразованным волновым вектором, причем они умножаются на величину, зависящую от трансляции. Заметим, что матрице поворота К, преобразующей векторы положений, соответствует обратная матрица К , преобразующая волновые векторы. [c.103]

Когда конец волнового вектора я. служащего для определения звезды, находится внутри зоны, звезда имеет столько лучей, сколько операций в кристаллическом классе. Группа волнового вектора является группой трансляций, в которой данному вектору я соответствует только одномерное представление. Если д(я) — нормальная координата, принадлежащая этому представлению, то g нормальных координат, соответствующих ц ветвям звезды, образуют вместе й -мериое представление пространственной группы. Когда модуль волнового вектора равен нулю (1я1 =0). волновой вектор совпадает с центром Г зоны Бриллюэна и все операции симметрии кристаллического класса оставляют этот вектор инвариантным. В этом случае группа волнового вектора совпадает с пространственной группой, но, поскольку все операции трансляции представляются единицей, [c.111]

Правила отбора для группы кубической симметрии запрещают комбинационное рассеяние на оптических колебаниях с волновым вектором q ж О в щелочно-галоидных кристаллах. Однако при достаточно больших экспозициях можно получить спектры рассеяния, состоящие из более или менее заметных максимумов, налагающихся на нерегулярный фон. На фиг. 10.3 приведена микрофотограмма такого спектра Na l, [c.252]

Одно правило отбора мы получим, исходя из того, какие коэффициенты М д, —я г и Гг), а = х, у, г должны быть равны нулю по соображениям симметрии при заданных значениях Я, Г и Г2. Для этого индексы ветвей Г1 и в выражении (8.1) удобно заменить обозначеппямц, применяемыми в теории групп, которые указывают на случайное вырождение ветвей. Обозначим через д / (ч) нормальную координату, принадлежащую /п-му неприводимому представлению группы волнового вектора (я) индекс I принимает значения 1, 2,. .., 1т, где 1т — степень вырождения представления т) (гл. 4, 4). Тогда выражение (8.1) примет вид [c.275]

В теории твердого тела доказывается, что энергия кристалла для состояния с волновым вектором к обладает симметрией точечной группы О, т. е. одинакова для всех векторов одной звезды к. Это выполняется 1 для одноэлектронных энергий е(к), вычисляемых в зонной теории. Поэтому расчет энергетического спектра кристалла позволяет ограничиться (если не проводится самосогласование) рассмотрением лишь одного вектора из каждой звезды. Совокупность таких векторов располагается в так называемой неприводимой части приведенной зоны Бриллюэна, объем которой в По пс — порядок точечной группы кристалла) раз меньше объема всей зоны Уь = = Ь)-[Ь2ХЬз] = 2л/Ка ( а —объем примитивной ячейки прямой решетки). [c.61]

Для обозначения неприводимых представлений пространственных групп в точках и направлениях симметрии зоны Бриллю эна в литературе обычно используют а) символ соответствующей точки или направления (для всех зон Бриллюэна эти символы приведены на рис. 1.12—1.16), который фиксирует звезду волнового вектора б) символы, используемые для неприводи- [c.64]

Пространственная группа симметрии кристалла корунда (а-Л120з) — 0 а, в ромбоэдрической элементарной ячейке две формульные единицы (10 атомов) (рис. 1.19). Группа о1а соответствует тригональной решетке Браве и является несимморф-ной. При выборе начала координат в точке с симметрией С . (точка О на рисунке) поворот вокруг осей второго порядка (оси ОУ, ОС, ОО) и соответствующие отражения в плоскостях (/Сгу, /Сгс, /Сго) сопровождаются несобственной трансляцией на вектор ж= (а1+а2-Ьаз)/2, где аь аг, Яз — векторы основных трансляций, определяющие трансляционную подгруппу Га Зона Бриллюэна для кристалла корунда показана на рис. 1.19. В центре ее (точка Г) и в точке I группа волнового вектора Фк совпадает с пространственной группой кристалла. Для симметричных точек Р п 1 фактор-группа Фк/Т а изомор- фна точечной группе С2/1, а для симметричного направления А (пЬ оси г)—группе Сз . Для направлений В, Е, Q, У точечная группа волнового вектора изоморфна группе Сг. Для точки 2 [c.74]

Таким образом, рассмотренная в 1.8 классификация многоэлектронных состояний кристалла по неприводимым представлениям Л пространственной группы сохраняется и для одноэлектронных состояний, которые характеризуются звездой волнового вектора к и номером I неприводимого представления группы волнового вектора. Одному и тому же непр Ш0дим0 у1у представлению группы симметрии кристалла может соответствовать, как и в случае молекул, несколько одноэлектронных состояний. Для нумерации одноэлектронных энергий кристалла в отличие от молекул вместо двух значков гу (г — индекс неприводимого представления точечной группы, V — номер состояния с данной симметрией) вводят два значка лк. Номер энергетической зоны п (при фиксированном к все одноэлектронные энергии упорядочиваются в порядке возрастания) характеризует как неприводимое представление точечной группы волнового вектора, так и номер состояния с данной симметрией относительно этой группы, а вектор к определяет неприводимое представление группы трансляций. [c.80]

Рассмотрим сначала РЭЯ, получаемые отнесением центриру-ЮШ.ИХ трансляций к точечной группе кристалла О (для групп Оь, о], группа <7 совпадает с точечной группой симметрии решетки Браве, для группы Т% является ее подгруппой Т ). Пусть векторы трансляций а5, а,, Зз определяют примитивную ячейку в ГЦК решетке. Соотношению (2.7) при к = 0 удовлетворяют векторы трансляции, соответствующие простои кубической решетке с базисом а ——а , а —а, — а-2 + аз, а — = — 8]а ,- -а, для трех волновых векторов звезды Действительно, эти три вектора можно следуюилим образом выразить через векторы трансляции обратной решетки, определяющие ЗБ кд-. = (Ь1-1- Ьз)/2, (Ь + Ьз)/2, кх, — (Ь1 - - Ь г2. Учитывая соотношение (а,-Ьу) = видим, что условие (2.7) [c.117]

Решение ряда задач теории т ердого тела (самосогласованные расчеты энергетического спектра и электронной плотности в кристалле, определение полной энергии кристалла и др.) связано с суммированием по состояниям с различными значениями волнового вектора, изменяющегося в зоне Бриллюэна. Ма-тематическп задача сводится к вычислению интеграла по зоне Бриллюэна от функции, обладающей полной симметрией относительно операций из точечной группы С (порядка л, ) кристалла и периодической с периодами обратной решетки [c.129]

Построенные в [11] специальные точки общего вида, однако, неудобны для расчетов на основе модели КРЭЯ, как впрочем и при обычных зонных расчетах. Расчет заметно упрощается для симметричных точек ЗБ, лежащих на ее границах или на осях симметрии обратной решетки. При этом благодаря более богатой точечной группе волнового вектора для таких точек существенно сокращается объем вычислений, особенно для высокосимметричных кристаллов со сложной структурой ячейки. Вместе с тем можно построить такие комбинации симметричных точек, которые удовлетворяют (2.36) по крайней мере для нескольких первых значений М, т. е. использовать симметричные точки в качестве специальных. [c.135]

Специального рассмотрения требует вопрос о том, как для конкретной КРЭЯ связать каждую из получающихся МО с каким-либо неприводимым представлением группы трансляций и установить, таким образом, какому уровню п(к) в энергетическом спектре кристалла соответствуют связанные с МО одно-электронные энергии квазимолекулы Ет. При установлении такой связи необходимо учитывать степень вырождения каждого уровня, зависящую от числа векторов звезды волнового вектора, а также свойства симметри блоховских функций, связанные с группой волнового вектора (см. 1,8), [c.174]

В развитии математических методов следует выделить два направления. Одно из них начинается с работы Бирмана [20], в которой предложена новая схема поиска диссимметричных фаз с заданным волновым вектором, возникающих из данной фазы с группой симметрии С. Вместо нахождения коэффициентов смешивания базисных функций из уравнений минимизации термодинамического потенцизла предлагается анализировать список всех подгрупп С1 группы С и список всех НП группы С с заданным волновым вектором. Существуют простые теоретико-групповые критерии [20], позволяющие отбирать допустимые подгруппы и допустимые НП, по которым и могут возникать искомые фазы. Ценность этого метода состоит в том, что, во-первых, он в принципе позволяет найти все фазы во-вторых, результат применения метода не зависит от степени приближений в термодинамическом потенциале и в-третьих, этот метод позволяет обойти трудоемкую процедуру минимизации Ф. [c.16]

Магнитная структура, характеризующаяся данным волновым вектором к, может быть записана как суперпозиций псевдовекторных базисных функций некоторого НП d группы волнового вектора исходной (парамагнитной) фазы кристалла. Здесь, однако, уместно сделать замечание, что группа симметрии парамагнитного кристалла (так назьтаемая парамагнитная группа С Г) не вполне тождественна пространственной группе кристалла С, а представляет собой прямое произведение группы С на группу обращения спина R [c.42]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология