Зона Бриллюэна и симметричные точки в ней

Оптические методы исследования дают относительно ограниченную информацию о спектре колебаний решётки. Так, высоко прецизионные рамановские измерения первого порядка позволяют изучать только оптические фононы вблизи центра зоны Бриллюэна. А такие методы, как инфракрасное поглощение, фотолюминесценция или рамановское рассеяние второго порядка являются косвенными и неточными измерениями энергий и ширин фононов в симметричных точках зоны Бриллюэна. Неупругое рассеяние нейтронов потенциально может дать полную информацию о колебательном спектре кристалла. Но пока ещё слабое экспериментальное разрешение этого метода не позволяет широко использовать его для исследований изотопических эффектов. Однако в случае сильного изотопического беспорядка современные установки позволяют получить количественную информацию. Так, недавно влияние изотопического беспорядка на энергии и ширины линий фононов в Ge было предметом исследований в работах [112, 113]. Такие измерения представляются особо интересными с академической точки зрения, поскольку позволяют сделать простую проверку теоретических моделей, широко используемых для описания разупорядоченных систем, таких, например, как приближение когерентного потенциала. [c.74]

Таким образом, любые векторы, отличающиеся друг от друга на целое число периодов обратной решетки, соответствуют одной и той я е БФ, так что для описания всех БФ цепочки достаточно ограничиться к-векторами из любого отрезка обратной решетки длиной Ъ. В качестве такового удобно выбрать отрезок, расположенный симметрично по обе стороны начала координат обратной решетки. Такой отрезок, содержащий N векторов к-пространства, называется первой зоной Бриллюэна. [c.54]

Исходя из этих данных, можно рассчитать кривые дисперсии комбинационных состояний, которые приведены на фиг. 11.18. При анализе инфракрасного спектра следует учитывать также правила отбора, которые для симметричных точек зоны Бриллюэна таковы [88] [c.316]

Посмотрим, на какие неприводимые представления групп (q) может распадаться представление, определяемое движениями атомов в кристалле, в случае, когда конец волнового вектора q находится в одной из симметричных точек зоны Бриллюэна. Будем считать, что необходимые таблицы характеров нам известны. Пусть [c.386]

Часто оказывается полезным знать неприводимые представления, соответствующие всем ветвям кривых дисперсий и(д) для симметричных направлений в зоне Бриллюэна. Для их определения используют соотношения совместности, в основе которых лежит то обстоятельство, что точечные группы (я) волнового вектора вдоль рассматриваемых направлений являются подгруппами групп (я), относящихся к экстремальным точкам на этих направлениях — центру зоны или точкам на поверхности зоны. Следовательно, неприводимые представления точек на оси должны содержаться в неприводимых представлениях концевых точек. [c.391]

В неприводимом представлении группы Га с номером к трансляции на вектор решетки tл соответствует число ехр(— ка) (с.м. (1.14)). В неприводимом представлении с номером к =к- Ь, где Ь — вектор обратной решетки, опе-рации /а соответствует число ехр(— к а) = ехр(—гка) X X ехр(—1аЬ)=ехр(—/ка). Следовательно, представления Ок п В к эквивалентны. Поэтому в качестве области изменения вектора к достаточно рассмотреть только элементарную ячейку обратной решетки минимального объема, т. е. область, внутри которой не содержатся эквивалентные (отличающиеся на вектор обратной решетки) векторы к, а для произвольного вектора обратной решетки к в этой области найдется эквив.а-лентный вектор. В качестве области изменения вектора к, удовлетворяющей этим условиям, удобно выбрать симметричную ячейку минимального объема в обратной решетке, т. е. ячейку Вигнера — Зейтца. В центральном узле ее помещают начало координат (точка с к = 0), которое обозначают символом Г (тождественное представление группы трансляций, в котором всем трансляциям /а соответствует единица). Симметричную относительно преобразований точечной группы обратной решетки ячейку Вигнера — Зейтца называют первой или приведенной зоной Бриллюэна. [c.55]

Термины ячейка Вигнера — Зейтца и приведенная зона Бриллюэна относятся к одному и тому же объекту — симметричной ячейке минимального объема. Однако первый из них обычно употребляют, когда говорят о прямой решетке, связанной с какой-либо кристаллической структурой, а второй используют для соответствующей обратной решетки. Например, поскольку обратной для ОЦК решетки является ГЦК решетка, то зона Бриллюэна ОЦК решетки есть ГЦК ячейка Вигнера— Зейтца. Наоборот, первая зона Бриллюэна ГЦК решетки есть ОЦК ячейка Вигнера — Зейтца. [c.55]

Накопленный к настоящему времени опыт показывает, что количественные результаты неэмпирических расчетов в базисе ЛКАО могут успешно конкурировать с результатами, полученными на базисе плоских волн. Следует отметить, что неоправданно негативное отношение к методу ЛКАО как к схеме, пригодной лишь для качественных объяснений, сложилось на том основании, что предложенный еще в 1928 г. Ф. Блохом метод сильной связи (под таким названием метод ЛКАО известен в теории твердого тела) требовал при своей реализации введения многочисленных приближений при вычислении матричных элементов. Поэтому чаще всего метод сильной связи применялся только как интерполяционная схема и позволял на основе расчетов на базисе плоских волн в нескольких симметричных точках зоны Бриллюэна получить одноэлектронные энергии в достаточно большом числе точек (метод Слетера — Костера). [c.168]

Особое значение для классификации состояний кристаллов имеют так называемые симметричные точки и направления зон Бриллюэна. По построению зона Бриллюэна обладает точечной симметрией Со соответствующей решетки Браве, т. е. при всех операциях этой группы соответствующий многогранник переходит сам в себя. Однако точки внутри объема зоны Бриллюэна или на ее поверхности, расположенные на элементах симметрии (на осях поворота, в плоскостях отражения), при некоторых операциях из группы Со остаются на месте (поворот вокруг соответствующих осей, отражения в плоскостях). Для точек на поверхности зоны Бриллюэна часть операций группы [c.58]

При симметричном расширении ячейки приведение волновых векторов к центру суженной зоны Бриллюэна (а также к точкам к на ее границе, обладающим точечной симметрией решетки Со) осуществляется, как видно из рассмотренных примеров, целыми звездами векторов к для квадратной решетки при расширении ячейки вчетверо (см. рис. 2.6) к точке Г приводятся звезда М (из одного вектора) и звезда Х (из двух векторов) для прямоугольной решетки (см. рис. 2.4) к точке Г приводится звезда 5, состоящая из одного вектора. Эти выводы можно сделать и из рассмотрения общего соотношения (2.7), выполнение которого для одного пз векторов звезды к влечет за собой и его выполнение для всех остальных векторов этой звезды (так как ортогональные преобразования точечной группы сохраняют скалярное произведение). [c.98]

В обычной схеме приведенных зон число значений N волнового вектора в первой зоне Бриллюэна равно числу примитивных ячеек в основной области кристалла. При этом, как отмечалось, несущественно, какая именно элементарная ячейка минимального объема выбрана в прямой решетке кристалла —-примитивная (выбор которой вообще неоднозначен) или симметричная (ячейка Вигнера — Зейтца), важно лишь, что путем трансляции выбранной элементарной ячейки получается весь кристалл (точнее, его основная область), а объем ячейки — минимально возможный. Внутри элементарной ячейки минимального объема содержатся только неэквивалентные точки [c.99]

Если прямая решетка является кубической гранецентрированной (ГЦК) решеткой, то векторы Ь, направлены по осям симметрии третьего порядка (зона Бриллюэна показана на рис. 2.8,6). Поэтому Ь, никакими поворотами нельзя совместить с другими осями симметрии из группы Он, на которых расположены представляющие интерес симметричные точки (X и например). При построении РЭЯ приходится отказаться от второго способа и ограничиться растяжением векторов Ь, [c.109]

Для описания таких свойств кристаллов, как полная зонная структура или плотность состояний, недостаточно ограничиться рассмотрением нескольких симметричных точек в зоне Бриллюэна. Вместе с тем полный самосогласованный расчет, связанный с суммированием по достаточно большому числу значений волнового вектора, практически осуществить очень трудно. [c.211]

В [10] для трех типов кубических решеток (примитивнод, ГЦК и ОЦК) построены специальные точки ко. При этом в случае простой кубической решетки М = 3, точка ко = 2л/а (1/4 1/4 1/4) является симметричной точкой — лежит в середине расстояния между центром ЗБ (точкой Г) и вершиной куба (точкой / с координатами 2л/а (1/2 1/2 1/2) (см. рис. 2.8). Для двух других кубических решеток М=2, так что система (2.35) имеет множество решений. Оптимальным из них в [10] считается то, которое минимизирует у4з(ко) . Найденная для ГЦК и ОЦК решеток точка ко оказывается точкой общего типа зоны Бриллюэна. [c.131]

Теперь обратимся к зонной структуре кристалла КС1, рассчитанной по методу локализованных орбиталей (см. рис. 4.3). Зона Бриллюэна ГЦК решетки, которую имеет кристалл КС1, уже рассматривалась нами (см. рис. 2.8). Как видно из рис. 4.3, точками минимума для верхних валентных зон являются точки L, для нижней зоны проводимости — точка Г. Точки максимума зон также являются симметричными точками (Г — для верхней валентной зоны, L —для нижней зоны проводимости). [c.264]

В методе Слетера — Костера предполагается, что в симметричных точках зоны Бриллюэна известны одноэлектронные энергии n(k) для представляющих интерес энергетических зон. Они могут быть получены либо на основе экспериментальных исследований спектров кристаллов, либо путем достаточно по- [c.271]

Согласно уравнению (1.10) кривая закона дисперсии г ка) для одномерной решетки оказывается симметричной функцией относительно центра Г зоны Бриллюэна (см. рис. 1.6). Это означает, что состояния, различающиеся только знаком волнового вектора ка, являются дважды вырожденными. Поэтому во многих случаях нет необходимости изображать всю параболическую зависимость г ка), достаточно ограничиться лишь графиком 8( А д ) (рис. 1.7) в интервале Q < к < я/а (в дальнейшем подобные графики будем обозначать г ка)). Если возникает необходимость воспроизвести всю дисперсионную кривую, достаточно лишь отобразить все точки 8( А ) относительно прямой, перпендикулярной оси волновых векторов и проходящей через точку Г. [c.18]

Покажем, что все /-группы, отвечающие НП симметричных точек зон Бриллюэна всех пространственных групп, разрешимы. Любая группа I задается набором различных матриц элементов нулевого блока и матриц трансляций исходной пространственной группы. Максимальное число элементов в группе / равно 48 32 = 1536, где 32 - максимальное число различных трансляций, отвечающее максимально возможному увеличению объема примитивной ячейки при фазовом переходе. Такое происхождение /-групп приводит к тому, что их порядок всегда может быть представлен в виде 2 3 , где а и )3 - целые числа. [c.89]

Из рассмотренного примера видно, что процедура построения ЦРБИ в случае к Ф О (для симметричных точек зон Бриллюэна) практически ничем не отличается от случая к= 0. [c.94]

В качестве примера на рис. 2.3 показаны обычная и суженная зоны Бриллюэна для квадратной решетки при увеличении вчетверо объема ячейки в прямой решетке (симметричном растяжении вдвое векторов трансляции прямой решетки). Центру суженной зоны Бриллюэна эквивалентны точки, являюш,Е еся концами векторов Ь], Ь , Ь)-(-Ьг (Ьь Ьг — новые векторы трансляции обратной решетки, направленные так же, как исходные, но имеющие вдвое меньшую длину). Другой пример — центрп-рованная прямоугольная плоская решетка Браве (рис. 2.4). Обсуждавшемуся выше расширению ячейки вдвое с переходом [c.98]

Заметим, что первая зона Бриллюэна кристалла представляет собой симметричный многогранник — она обладает всеми зломен-тами симметрии точечной группы. Это обстоятельство хорошо видно па примере зоны Бриллюэна для решетки алмаза или цинковой обманки (см. рис. 2.6). Отсюда следует, что каждому вектору к — в первой зоне отвечает несколько других векторов 2, кд,. . ., эквивалентных ему по симметрии. Все такие векторы вместе с исходным составляют так называемую звезду вектора к, и закон дисперсии е (к) имеет одинаковый вид для всех направлеиш , отвечаюш, 1Х векторам одной и той же звезды. Это связано с те.м обстоятельством, что БФ для векторов из одной и той же звезды переходят друг в друга при операциях точечной группы. Таким образом, исследование законов дисперсий во всей первой зоне разбивается па две задачи, первой из которых является нахождение различных типов звезд из к-векторов. Этот вопрос решается тривиально суш ествуют звезды обптего тина , для которых к-векторы не лежат на каком- либо элементе симметрии первой зоны, и звезды частных типов, для которых к-векторы лежат на оси пли плоскости симметрии первой зоны. Очевидно, что для зоны Бриллюэна (см. рис. 2.6) звезда [c.78]

Метод сильной связи неоднократно успешно применялся при изучении электронной структуры как металлов, так и неорганических соединений (см., например, [22—25] ). Целесообразность его использования для анализа свойств тугоплавких соединений и, в частности, карбидов, обусловлена также и тем, что в последних, как показали на примере Ti Эрн и Свитендик [6], Зс(-электроны атомов металла и 25-электроны атомов углерода в значительной мере (а 2р-электроны в несколько меньшей мере) локализованы около своих атомов. Наконец, метод ЛКАО, будучи в расчетном плане значительно менее трудоемким, чем методы ППВ и ОПВ, позволяет при последовательном его использовании доступными средствами проследить за влиянием природы атомов-компонентов на полосную структуру кристалла. Однако на этом пути возникают большие трудности, связанные с необходимостью нахождения при расчетах матричных элементов двух- и трехцентровых интегралов. Сложность вычисления последних привела к приближению двухцентровому ), согласно которому вклад многоцентровых интегралов предполагается пренебрежимо малым. Однако, как показали, например, еще Коста и Конте [26], подобное допущение в ряде случаев (в частности, для Ti , TiN) может существенно сказаться на результатах расчетов. В связи с этим при осуществлении расчетов по методу сильной связи обычно используется интерполяционная схема Слэтера и Костера [27] с подгоночными параметрами (роль которых выполняют двухцентровые интегралы перекрывания), оцениваемыми по результатам более точных расчетов (полученным, например, методами ППВ и ОПВ) в симметричных точках зоны Бриллюэна. [c.269]

При таком методе не учитываются возможные различия в волновых числах четырех ветвей на поверхности зоны Бриллюэна и для этих чисел берутся средние величины. Представление о ТОМ каковы эти различия, можно получить, сравнив между собой значения волновых чисел в разных симметричных точках для 70( — 464 см , 1 — 490 см-, 1 —48Гсм- ) или для ТА Х— ЪО см- , —114 см-1, Ц7-219 см- ). [c.316]

Кривые дисперсии (o(q) были определены экспериментально на основании данных по рассеянию рентгеновских лучей и нейтронов. Для главных точек и главных симметричных направлений зоны Бриллюэна расчеты были выполнены весьма тщательно [91] как в приближении жестких, так и в приближении поляризуемых ионов, сходном с оболочечной моделью. На их основании были построены кривые плотностей состояний, вначале для однофононных, а затем и для двухфононных состояний. Срав- [c.318]

Теоретико-групповы.м методом проведена классификация волновых функций в симметричных точках зоны Бриллюэна, рассмотрены возможные энергетические зоны в приближении свободных электронов и произведен расчет потенциала вдоль одного кристаллографического направления с учетом влияния узлов решеткн четвертой координационной сферы. Указывается, что при замене ванадия на более тяжелые ниобий и тантал ширина запрещенной зоны должна возрастать. [c.272]

Убедительное сопоставление остальны.х пиков отражения с определенными междузонными переходами может быть сделано только на основе детальных теоретических расчетов. Однако расчеты зонной структуры кристаллов с большим числом атомов, занимающих неэквивалентные позиции в решетке, встречают большие трудности. Имеющиеся исследования [13, 14] описывают возможные переходы только в симметричных точках зоны Бриллюэна, тогда как в сложных кристаллах интенсивные пики отражения могут возникать в критических точках, расположенных в общем объеме зоны. Кроме того, пики отражения могут возникать за счет суперпозиции вкладов нескольких пар зон с близкими энергетическими промежутками [8]. По этим причинам сопоставление пиков отражения с определенными междузонными переходами на существующем уровне теоретических зонных расчетов не может быть сделано в рассматриваемых кристаллах. [c.69]

Пространственная группа симметрии кристалла корунда (а-Л120з) — 0 а, в ромбоэдрической элементарной ячейке две формульные единицы (10 атомов) (рис. 1.19). Группа о1а соответствует тригональной решетке Браве и является несимморф-ной. При выборе начала координат в точке с симметрией С . (точка О на рисунке) поворот вокруг осей второго порядка (оси ОУ, ОС, ОО) и соответствующие отражения в плоскостях (/Сгу, /Сгс, /Сго) сопровождаются несобственной трансляцией на вектор ж= (а1+а2-Ьаз)/2, где аь аг, Яз — векторы основных трансляций, определяющие трансляционную подгруппу Га Зона Бриллюэна для кристалла корунда показана на рис. 1.19. В центре ее (точка Г) и в точке I группа волнового вектора Фк совпадает с пространственной группой кристалла. Для симметричных точек Р п 1 фактор-группа Фк/Т а изомор- фна точечной группе С2/1, а для симметричного направления А (пЬ оси г)—группе Сз . Для направлений В, Е, Q, У точечная группа волнового вектора изоморфна группе Сг. Для точки 2 [c.74]

В силу (2.7) к центру суженной зоны Бриллюэна (точке к =0) приводятся (становятся эквивалентными на подгру.апе тождественному представлению) те векторы k, псходпой зоны, которые оказываются узлами новой обратной решеткп, т. е. целочисленными комбинациями векторов bj. При симметричном расширении ячейки в прямой решетке суженная зона Бриллюэна имеет ту же точечную симметрию, но форма ее сохраняется только для примитивных решеток Браве для центрированных прямых решеток Браве форма суженной зоны Бриллюэна зависит от способа симметричного расширения ячейки в прямой решетке при симметричном растяжении основных векторов а,- векторы Ь, симметрично сжимаются, так что форма суженной и исходной зон одинакова при симметричном расширении, связанном с переходом к кристаллографической ячейке, форма зоны Бриллюэна изменяется (например, для ГЦК ре- [c.97]

Разложение термодинамического потенциала с не1ферывными параметрами порядка. Существование модулированных фаз означает, что термодинамические потенциалы могут иметь минимумы, лежащие не в симметричных (лифшицевских) точках зоны Бриллюэна, но где-то в общих положениях или, чаще, на симметричных направлениях вблизи лифшицевской точки. Движение точки, в которой находится волновой вектор, вдоль выбранного направления не меняет симметрию системы (ниже это положение будет уточнено ), но энергия зависит от положения этой точки, и реализуется, естественно, то значение волнового вектора, при котором энергия системы (его термодинамический потенциал) имеет минимум. [c.183]

Обратим внимание на то, что однородная фаза 1 отнюдь не означает непременно ферромагнитную фазу. Термодинамический потенциал (31.1) (или (31.22)) описывает фазовый переход в состояние с волновым вектором вблизи некоторой симметричной (лифшицевской) точки и речь идет о модуляции соответствующей лифшицевской структуры. Это может быть ферромагнитная структура, если симметричная точка лежит в центре зоны Бриллюэна, и антиферромагнитная - в других случаях. [c.189]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология