Скалярное произведение операторов

Например, для скалярного произведения операторов [c.115]

Свойства оператора Лапласа при действии его на векторные величины подробно обсуждены в работе [3]. Одним из возможных способов определения лапласиана векторного поля является также представление величины у в виде скалярного произведения оператора набла на диаду Л , т. е. запись Ао = [c.659]

Поскольку спин электрона равен, то оператор Гамильтона и любой другой Л -электронный оператор определены в пространстве антисимметричных, интегрируемых с квадратом модуля волновых функций со скалярным произведением (2.25). [c.54]

Скалярное произведение операторов 1 , входящее в амплитуду некогерентного рассеяния, можно преобразовать к виду [c.601]

Унитарный оператор — это линейный оператор, сохраняющий скалярное произведение. Условие [c.53]

J =S. Формулы (14.81), (14.82) представляют собой непосредственное обобщение (14.14). Аналогичным образом обобщаются и все остальные соотношения. Так, скалярное произведение операторов и определяется как [c.119]

По аналогии с классическим соотношением для скалярного произведения операторов 11-12 можно записать [c.62]

Дивергенция векторного поля. Если вектор о зависит от пространственных координат х , х и а з, можно записать выражение для скалярного произведения оператора набла на указанный вектор. Если, кроме того, использовать соотношение (А.31), выражение для скалярного произведения примет следующий вид [c.658]

Строгая теория спин-спинового взаимодействия ядер сложна и мы ее рассматривать не будем. Для учета спин-спинового взаимодействия ядер мы воспользуемся готовым результатом строгой теории спин-спинового взаимодействия, состоящим в том, что оператор взаимодействия двух ядер молекулы с номерами аир приближенно выражается через скалярное произведение операторов их спинов и некоторую константу /др — константу спин-спинового взаимодействия этих ядер, т. е. имеет вид [c.464]

Поскольку оператор Й2 состоит из нескольких скалярных произведений, которые выражаются через проекции соответствующих векторов, обозначим составляющие этих векторов не через (Л с, Зу, Лг), а с помощью цифровых индексов Л1, Лг, Лз, где Л1=Лх, Ла=Л , Лз=Л2. Удобство такого обозначения заключается в том, что оно позволяет о составляющей вектора говорить в общем виде. Например, Ль может указывать на составляющую Л, или Л , или Л . Цифровые индексы оказываются более удобными и в тех случаях, когда из составляющих вектора строятся элементы матрицы. [c.110]

Квадрат углового момента— скалярное произведение векторов угловых моментов. Его оператор можно выразить через операторы проекций импульса [c.42]

Точно также, как и в конечномерных пространствах, в функциональных пространствах (в общем случае бесконечномерных) могут быть введены преобразования функций, т.е. операторы Л, различные по своим основным свойствам, матричные элементы операторов, представляемые скалярными произведениями функций ф на преобразованные оператором А функции ф [c.15]

Оператор р, не является эрмитовым, поскольку скалярное произведение определено как интеграл по пространственным переменным, ар, от них не зависит. В то же время он очень похож [c.66]

Необходимо подчеркнуть, что эти функции должны быть нормированы (это указывается двойной вертикальной чертой при записи скалярного произведения). Допустим, что функция ф/ входит в базис неприводимого представления Г) группы С, которому соответствует матрица (ГеС), а функция ф/ входит в базис неприводимого представления Гз, которому соответствует матрица (7еС). Когда оба неприводимых представления совпадают, мы будем считать, что они полностью идентичны, а не только эквивалентны. В более широком смысле будем считать функции идентичными и тогда, когда они по-разному нормированы (поскольку в данный момент нас интересуют лишь их свойства симметрии). Выражение (6.59) представляет собой скалярное произведение (число), поэтому действие оператора преобразования симметрии Т на матричный элемент Му не изменяет его значения с использованием (6.49) можно записать [c.134]

Прежде чем преобразовывать это выражение далее, заметим, что оператор можно переписать в виде скалярного произведения вектора-столбца из первых производных по ядерным переменным (с некоторыми коэффициентами) на себя. Например, пусть [c.250]

Другими словами, можно сказать, что (10.4.7) разделяет полный дифференциальный оператор на антисимметричную и симметричную части в смысле скалярного произведения (5.7.4). Вследствие этого пер- [c.270]

Запись (6 1 ]) — линейный оператор) можно толковать двояко либо как скалярное произведение вектора ( на вектор A ij), либо как — (6"4 на rj). Так появляется сопряженный оператор А по определению, (Л+6 (бра-вектор, соответствующий равен линейному функционалу ( - Пз определения сразу следует, что [c.53]

Если вернуться к уравнению (2.1.22), то можно заметить, что существует определенное соотношение между средним значением оператора А и скалярным произведением (,А а). Однако следует заметить, что скалярное произведение включает в себя сопряженный оператор А)=Тт Аа(0 , (2.1.48) [c.39]

Пользуясь операторами повышения и понижения, скалярное произведение 1 -1/ можно представить в виде [c.358]

Здесь и — соответственно диагональные и недиагональные элементы матрицы 1 , (ж , — скалярное произведение векторов (а — совокупность базисных векторов оператора [c.225]

Здесь время I уже отсчитывается от начала процесса, А — оператор, сопряженный с оператором А. Используя определение сопряженного оператора через скалярное произведение Af,g)=(f,J(g), находим, что А" = А, [c.668]

Теперь скалярное произведение sL, входящее в (67,5), можно выразить через квадраты операторов моментов [c.310]

Отсюда, действуя на правую и левую части этого равенства оператором V и составляя скалярное произведение с tp, получаем условие для определения собственной энергии Е [c.331]

Произведение двух векторных операторов строится как скалярное произведение векторов. [c.15]

V — векторный оператор, следовательно, есть скалярное произведение V на V. Но составляющими оператора V являются операторы [c.67]

Выражение (14.49) носит название скалярного произведения тензорных операторов и 7 . [c.113]

Простейшим примером скалярного произведения тензорных операторов является теорема сложения сферических гармоник (12.16) [c.113]

Сейчас (/, ц)н = (Л "/. А " ц)н (/, Нд) и Я совпадает с пополнением Я,, относительно этого скалярного произведения. Оператор Л можно рассматривать как изометрически действующий из Ф (Л) с Я+ в Я IIЛф я = II Л ф н = ф я.,, (ф 6 Ф (Л)) и поэтому он распространяется по непрерывности до оператора с/2 Я+ —> -V Я , осуществляющего изометрию между Я+ и Я (и совпадающего с / ). Очевидно, Л = с/2 Ф (Л), при этом Ф (Л) = ф 6 Э Я I с/2ф Яо). Оператор с/2 самосопряжен относительно Нд -Ац>, [c.61]

В пашем случае имеется естественный выделенный базнс (соответствующий выделенным состояниям) для — 0), 1) ,адля — ж1,. . ., ж ) , Xj (Е Ш. Пространство С" с выделенным базисом обозначается через В. Выделенный базис считается ортопормпроваипым, это задаёт скалярное произведение на пространстве состояний. Коэффициенты Са-1, разложения вектора ф) по этому базису называются а.м-п.литуда.ми. Пх физический смысл состоит в том, что квадрат модуля амплитуды интерпретируется как вероятность обнаружить систему в данном базисном состоянии. Как и должно быть, суммарная вероятность всех состояний равна 1, поскольку длина вектора предполагается единичной. (Вероятности будут подробно обсуждаться позже до некоторых пор мы будем заниматься лииейпой алгеброй — изучать унитарные операторы на пространстве В "). [c.52]

Напомним, что применение оператора V к скаляру есть ьградиент скаляра, например УР (вектор). Действие оператора V на вектор дает либо дивергенцию , либо ротор векторного поля. В (5.1-6) с помощью операции скалярного произведения было получено выражение у о или div v (это скаляр). Далее в тексте будет рассмотрен пример векторного произведения V и вектора v — V или url v (чаще применяется обозначение rot v — вихрь или ротор векторного поля). Результат такой операции представляет собой вектор. [c.98]

Операторы действуют в пространстве X и предполагаются самосопряженными относительно введенного там скалярного произведения. Пространство ЗС - это, как правило, пространство состояний системы. В случае одной бесспиновой частицы элементами пространства ЗС являются волновые функции ф(г) = ф(х, у, z), т.е. интегрируемые с квадратом модуля функции трех переменных. Волновая функция одного электрона зависит от четырех аргументов добавляется спиновая степень свободы, а волновая функция многозлектронной системы - от многих четверок аргументов, относящихся к отдельным электронам. В еще более сложных случаях пространство состояний может состоять из векторных, или тензорных функций многих переменных и т.д. [c.12]

Здесь - электронный g-фaктop, равный для свободного электрона 2,002319. В круглых скобках, как всегда, стоят скалярные произведения векторных операторов, так что, например, [c.398]

Упражнение. Докажите свойства (1.4.3) и покажите на примере, что условие некоррелированности переменных Л х, является необходимым. Упражнение. Обобщите эти утверждения на сложение более чем двух переменных. Упражнение. Сформулируйте правила для суммы двух или большего числа векторных переменных (дисперсию нужно заменить матрицей ковариаций). Упражнение. Для н е з а в и с и м ы. х переменных кумулянты суммы равны сумме кумулянтов. Соотношение (1.4.3) является частным случаем этого правила. Упражнение. Все три приведен1гые выше правила используют как само собой разумеющееся в кинетической теории газов. Приведите примеры. Упражнение. В пространстве стохастических переменных скалярное произведение можно определить как <А К>. Докажите, используя это определение, что проецирование на среднее является эрмитовым оператором. Упражнение. В пространстве действительных матриц X размером Л хЛ функция [c.24]

Такие же вычисления можно выполнить для системы, включающей в себя большее число спинов [4.132]. В случае системы из Л/взаимодействующих спинов с / = 1/2 разложение состоит из 2 произведений вида Ikz, 21kzltz, Ikzhzlmz и T. д. Произведение операторов типа 2Ikzhz известно как продольный двухспиновый порядок (иногда называемый 7-порядок, скалярный или дипольный порядок), который не следует путать с нуль-квантовой когерентностью (см. разд. 4.4.5). [c.208]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология