Базис неприводимого представления

Важность понятия базиса неприводимого представления состоит в том, что вследствие соотнощения (1.100) линейно независимые функции оператора Н, соответствующие ш-кратно вырожденному собственному числу, образуют базис неприводимого представления размерности т. Таким образом, не решая уравнения (1.98), а только изучая симметрию оператора Н, можно определить кратность вырождения энергетических уровней и установить тип симметрии волновых функций. [c.38]

Фундаментальным свойством волновых функций является то, что они могут использоваться в качестве базиса неприводимых представлений точечных групп молекулы [4]. Это свойство и устанавливает необходимую связь между симметрией молекулы и ее волновой функцией. Предыдущее утверждение следует из теоремы Вигнера, согласно которой все собственные функции молекулярной системы принадлежат к одному из типов симметрии данной группы [8]. [c.247]

Необходимо подчеркнуть, что эти функции должны быть нормированы (это указывается двойной вертикальной чертой при записи скалярного произведения). Допустим, что функция ф/ входит в базис неприводимого представления Г) группы С, которому соответствует матрица (ГеС), а функция ф/ входит в базис неприводимого представления Гз, которому соответствует матрица (7еС). Когда оба неприводимых представления совпадают, мы будем считать, что они полностью идентичны, а не только эквивалентны. В более широком смысле будем считать функции идентичными и тогда, когда они по-разному нормированы (поскольку в данный момент нас интересуют лишь их свойства симметрии). Выражение (6.59) представляет собой скалярное произведение (число), поэтому действие оператора преобразования симметрии Т на матричный элемент Му не изменяет его значения с использованием (6.49) можно записать [c.134]

Таким образом, имеющиеся в нашем распоряжении функции принадлежат к базису приводимого представления. Попробуем теперь построить из них функции, которые образуют базисы неприводимых представлений группы симметрии гамильтониана. Пусть вГ— матричный элемент неприводимого представления г, удовлетворяющий равенству (6.44), а Ф — функция, которая входит в базис приводимого представления. Определим при произвольном, однако в дальнейшем фиксированном значении V функцию следующим образом [c.139]

S, Рх, Ру, Pz, dzh dx- -y dxz, dyz, dxy. Рассмотрение их трансформационных свойств по отношению к операциям симметрии группы О позволяет убедиться в том, что эти функции образуют базисы неприводимых представлений октаэдрической группы симметрии [c.146]

Рассмотрим какой-либо уровень энергии Е1 невозмущенного гамильтониана Ж, который имеет -кратное вырождение. Согласно теореме 6.1 (см. разд. 6.4), соответствующие этому уровню собственные функции о] , о]) ,. .., 1] ° (см. последнюю часть разд. 4.6) образуют базис неприводимого представления Г° группы Со. Снижение симметрии под действием возмущения Т может привести к тому, что в новой группе симметрии С представление Г° окажется приводимым [c.159]

Теперь имеем необходимые основания для доказательства соотношений ортогональности. Беря системы функций лг,,. .. лГд,. .. являющиеся базисами неприводимых представлений и Г , сформулируем теорему [c.497]

Нормальные координаты, относящиеся к одной и той же собственной частоте колебания, образуют базис неприводимого представления группы симметрии молекулы, причем кратность частоты равна размерности представления. [c.100]

Рассмотрим звезду, неприводимое представление (т) группы (я), и расположим в столбцовую матрицу X е нормальных координат, описывающих колебания кристалла с одинаковой частотой и, следовательно, образующих базис неприводимого представления пространственной группы. Операция Н, + Тд) может оставлять инвариантными или преобразовывать в эквивалентные векторы некоторое число векторов звезды. Каждая нормальная координата, соответствующая одному из этих векторов, в результате операции симметрии преобразуется в линейную комбинацию нормальных координат этого же волнового вектора. [c.113]

Нетрудно убедиться, что эти координаты симметрии образуют базисы неприводимых представлений группы Например [c.380]

В таблице характеров часто указывают также простейшие функции, образующие базис НП. Например, координаты Z, х, у, ху (система координат введена согласно рис.8.1) образуют базисы неприводимых представлений 1 , В , соответственно для группы Са ,. [c.136]

Волновые функции образующие базис неприводимых представлений, могут быть получены в виде линейной комбинации волновых функций получаемых при рещении уравнения Шредингера для центрально-симметричного поля [c.107]

При помощи оператора проектирования (4.7.9), соответствующего неприводимому представлению Е, были получены три линейно зависимые функции и потребовались дополнительные действия для построения двух линейно независимых ортогональных друг другу комбинаций. Оказывается, что существуют операторы проектирования, которые сразу выделяют линейно независимые функции базиса неприводимого представления. Согласно теории групп, такой оператор получится, если в формуле (4.7.9) характеры заменить элементами матриц М (/ ) неприводимого представления [c.96]

Иметь трансформационные свойства базиса неприводимого представления точечной группы пространственной симметрии гамильтониана системы. [c.106]

X. е. его точечная группа симметрии определяется одноэлектронными операторами первого члена (7.1.2), так как второй член (межэлектронное взаимодействие) зависит только от разностей координат электронов и потому инвариантен относительно преобразований пространственной симметрии. В 4.2 мы видели, что принадлежащая собственному значению энергии Е волновая функция имеет трансформационные свойства базиса неприводимого представления размерности g точечной группы симметрии [c.165]

Форма молекулы в конфигурации R не обязательно должна быть равновесной, важно лишь, чтобы смещения ядер из положений R( ) можно было описать на языке нормальных координат Qh], образующих базисы неприводимых представлений точечной группы симметрии молекулы в конфигурации R< >. [c.377]

Полученный результат является частным случаем более общего результата, справедливого не только для линейных молекул, но и для молекул другой симметрии, и не только для одноэлектронных, но и для многоэлектронных состояний. Множество операций пространственной симметрии молекулы образует так назьшаемую группу - множество, обладающее определенными свойствами, изучаемыми в теории групп [1, 10, 12, 26]. Здесь приведены лищь некоторые результаты применения теории групп к квантовой теории молекул. Так, можно ввести такие наборы функций (базисы неприводимых представлений группы симметрии молекулы), которые при операциях симметрии молекулы будут преобразовываться друг через друга. Иными словами, базис неприводимого представления определяет функциональное подпространство, которое инвариантно относительно преобразований симметрии молекулы. Слово неприводимое означает, что инвариантное подпространство обладает наименьщей возможной размерностью, назьшаемой размерностью представления. Функции, образующие базис неприводимого представления, называют функциями-партнерами. [c.38]

К первой категории, очевидно, относится тривиальный случай, когда Ж (вообще говоря, onst). При этом соотнощение (6.62) обусловливает ортогональность некоторых функций только лищь на основании их свойств симметрии. Типичным примером может служить такая ситуация, когда Ж представляет собой гамильтониан (например, хартри-фоковский или одноэлектронный гамильтониан другого типа). Гамильтониан, инвариантен ко всем операциям симметрии данной группы и, следовательно, преобразуется по неприводимому представле нию Aig для этого (одномерного) представления характерно, что все его матричные элементы равны единице (см. табл. 6.4). Свойства симметрии функций <р в соответствии с (6.58) определяются свойствами прямого произведения представления A g (по которому преобразуется оператор Ж) и неприводимого представления Гг (по которому преобразуется базис функций ф, г = 1, 2,. ..), поэтому функции фь фг,. .., Ф/ обязательно должны образовывать базис неприводимого представления Гг. Тогда из соотношения [c.135]

Рассмотрение, проведенное в предыдущем разделе, было основано на предположении о том, что функции, входящие в матричные элементы, принадлежат к базисам неприводимых представлений. Достигнутые при этом в ряде случаев удрощения связаны с тем, что функции с такими свойствами могут рассматриваться как собственные функции операторов симметрии гамильтониана, т. е. операторов, коммутирующих с гамильтонианом. С этой точки зрения ясно, почему частное следствие, полученное в виде соотношения (6.65) и связанного с ним условия в разд. 6.5, согласуется с теоремой 5, сформулированной в разд. 4.3. [c.138]

Возьмем теперь совокупность переменных л . .. лг , образующую базис неприводимого представления некоторой группы. Возьмем также совокупность переменных у[. . yljt образующую базис неприводимого представления Гуг той же группы. В этом случае имеем следующую теорему [c.494]

Согласно теории, развитой Лонге — Хиггинсом, альтернантный углеводород имеет в своем основном состоянии не менее N-—2Т неспаренных электронов (N — число углеродных атомов, Т — максимально возможное число двойных связей). Каждый из таких электронов занимает несвязывающую МО. Спиновая мультиплетность молекулы в основном состоянии определяется, таким образом, числом несвязывающих МО. Применительно к триметиленметильному бирадикалу вышеизложенное будет означать, что эта молекула в основном состоянии будет триплетной (N = i, Т = I) [4]. Теоретико-групповой анализ молекулы триметиленметильного бирадикала (симметрия D h) предсказывает, что волновая функция нижнего, полностью занятого уровня образует базис неприводимого представления Л2", а волновые функции вырожденного, несвязывающего уровня — базис неприводимого представления В приближении Хюккеля низший уровень имеет энергию а—уз р. Следовательно, в основном состоянии трнметиленметильный бирадикал дестабилизирован относительно двух изолированных двойных связей всего на 2(2—]/3)р (8,6 ккал/моль при р = 16 ккал/моль). [c.83]

Отсюда следует, что нормальные координаты, преобразующиеся при операции симметрии друг в друга, описывают колебания с одной и той же частотой, т. е. они являются вырожденными. Совокупность вырожденных между собой координат (или координат-партнеров), которые мы обозначим индексами г, г, г",. .., образует базис неприводимого представления группы д цУ, их число равно размерности представления ). [c.107]

Из (1.19) следз ет, что преобразование вида f=ig tw) переводит блоховскую функцию г ) к в блоховскую функцию с векто-ро.м gk. Следовательно, если в базис неприводимого представления D пространственной группы входит функция ijjk,, то в него входят и все функции, где g—операция точечной группы кристалла. [c.63]

Поскольку d функций ifki, . - ij k образуют базис неприводимого представления D группы Ф, действуя операциями j w для всех элементов точечной группы G на произвольную функцию фк,, мы получим все остальные (d—1) функции [c.63]

Наличие решеточных сумм в (3.33) обусловлено тем, чго циклические граничные условия накладываются на всю основную область кристалла (размерами которой определяется число слагаемых в (3.28)), а фактическое рассмотрение ведется для небольшой ее части — элементарной ячейки (минимальной или расширенной), числом атомов в которой определяется порядок матриц в уравнениях (3.30). Возможность такого рассмотрения обусловлена налнчие.м трансляционной симметрии у кристалла и предварительным построением базисов неприводимых представлений конечной группы Т — блоховских су,м.м атомных функций (3.28). [c.170]

Уравнения (3.38) описывают столько одноэлектронных состояний, сколько базисных АО приходится на выбранную КРЭЯ, т. е. столько же, сколько МО было бы у молекулы, совпадающей по структуре с расширенной ячейкой кристалла. В то же время волновые функции (3.36) удовлетворяют теореме Блоха — являются базисами неприводимых представлений группы трансляций КРЭЯ. Как уже отмечалось, модель КРЭЯ молено считать молекулярной лишь условно точечная симметрия соответ- [c.173]

В группе симметрии Сг орбитали центрального атома европия образуют базисы неприводимых представлений (А к В) A — 6s, Gpz, Ы , , 5dx l, bd , 4/л 4/ж1/,, 4/2(ж. 2) В — рх, 6ри, Ыхг, Ыиг, 4/жг2, 4/ж(гМил, 4/у(3.ч. -,/ ), 4/,/г . Линейные комбинации МО лигандов, образованных из 2pz атомных орбиталей лиганда, и линейные комбинации 2рх орбит алей атомов кислорода, лежащих в плоскости хелатного кольца, образуют базисы неприводимых [c.60]

Допустим теперь, что матрицы С приводимы, а результат приведения выражается блочными матрицами, одна из которых показана на рис. 4.3. В таком случае функции Ч (г = 1, 2,. .., ) образуют в действительности два независимых набора , I = = I, 2,. .., 1) и (/ = 1, 2,. .., а то обстоятельство, что соответствующие им значения энергии совпадают, можно рассматривать как случайное. В качестве примера случайного вырождения можно указать на состояния 2 и 2р атома Н волновые функции разбиваются на два набора фаз и (Фгрх. Щ-ру, Фгрг). имеющие совершенно различные трансформационные свойства. Поскольку подобное случайное вырождение встречается довольно редко, разумно считать, что, как правило, волновые функции, принадлежащие данному собственному значению энергии, образуют базис неприводимого представления группы пространственной симметрии рассматриваемой механической системы. [c.79]

Например, согтояниа с определенным значением энергии при Ь = 2 (Л-состояние) пятикратно вырождено =0, 1, 2. Соответствующие пять волновых функций образуют базис неприводимого представления трехмерной непрерывной группы вращений, характеризующей пространственную симметрию атома. В то время как размерности неприводимых представлений групп Соо , Лоо не превышают 2, нетрудно сообразить, что в случае атома размерности неприводимых представлений равны (2 + 1), т. е. образуют бесконечную последовательность 1, 3, 5, 7,. ... [c.86]

Ог). Симметрия полного гамильтониана Оо и О" характеризуется группой Ооо I Согласно 7.1, такую же симметрию должны иметь операторы Фока в уравнениях ХФ, а получающиеся в ре зультате расчета МО должны образовывать базисы неприводимых представлений группы. При таком подходе состояния иони зации двух самых глубоких МО должны характеризоваться фор мулами [c.286]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология