Определение собственных значений как функций

Математический аппарат квантовой механики построен таким образом, что экспериментально наблюдаемыми значениями физической величины могут быть только собственные значения уравнения (21), а волновыми функциями системы — только фигурирующие в этом уравнении собственные функции оператора С. Чтобы это условие выполнялось, должен обладать -определенными свойствами, а именно он должен быть линейным и самосопряженным эрмитовым ). [c.38]

Аналогия с квантованными орбитами, в которых может уместиться лишь целое число волн де Бройля, напрашивается сама собой. Конечно, уравнение (15) не похоже на уравнение (14)—разные порядки производной по времени. Но важно другое — идея рассмотреть задачу о движении электрона в атоме как математическую задачу на определение собственных значений и собственных функций некоторого дифференциального уравнения. Оставалось найти это уравнение. [c.31]

Для определения средних значений функцию системы разлагают в ряд по собственным функциям оператора данной величины. Квадраты коэффициентов разложения суть вероятности найти при измерении для данной величины одно из собственных значений оператора этой величины. [c.58]

Решение уравнения Шрёдингера позволяет найти определенные собственные значения энергии, соответствующие стационарному состоянию атома. Каждому значению собственной энергии , соответствует определенная волновая функция — собственная функция которая описывает стационарное состояние. Решение уравнения Шрёдингера, например для атома водорода (при выполнении необходимых граничных условий), дает для энергетических состояний атома водорода следующее соотношение [c.175]

Следует отметить, что эти граничные условия (е = О при т = Тг и 8 = 1 при т = 1) по форме совпадают с граничными условиями, введенными в пункте б 4 главы 5 для того, чтобы избежать трудности, связанной с граничным условием на холодной границе, в случае пламени в газе. В главе 5 величина Тг была определена как безразмерная температура воспламенения, для которой было выбрано некоторое квазистационарное значение в данном случае величина Тг является вполне определенной безразмерной величиной, равной безразмерной температуре поверхности конденсированной фазы. Важным следствием эквивалентности этих двух постановок граничных условий является тот факт, что любой из описанных в 4 главы 5 методов определения собственного значения скорости ламинарного пламени Л может быть без изменения применен в рассматриваемой задаче при расчете величины Л как функции величин тг, а и величины р, определенной формулой (5.44). Следует помнить, что при применении приведенных в 4 главы 5 формул для вычисления [c.281]

Таким образом, коммутация операторов/ и Д и в этом случае будет означать, что у них может быть выбрана общая система собственных функций. Все функции ф будут относиться к одному и тому же собственному значению оператора А, но каждая из них - к вполне определенному собственному значению Ь оператора В (которые могут хотя бы отчасти и совпадать друг с другом). [c.60]

Достаточно трудоемкое решение получается путем определения собственных значений и собственных функций, как в 6.8, которые оказываются некими странными многочленами Готлиба. К сожалению, скорость реакции, вычисленная при различных значениях а, Р, Л , Г Л, оказывается на несколько порядков величины меньше наблюдаемого значения. [c.184]

Согласно (18,15), волновые функции состояний с определенным собственным значением оператора Р можно разделить на два класса а) функции, остающиеся неизменными при действии оператора инверсии, [c.84]

Определение собственных значений как функций А [c.124]

Для того чтобы удовлетворить условию (1.29), нужно подобрать соответствующим образом число Ь, так как все Ьтп заданы заранее. Поэтому равенство (1.29) следует рассматривать как уравнение для определения собственных значений При его решении получим, вообще говоря, дискретный спектр бесконечного числа собственных значений Ьп- Каждому значению будет соответствовать бесконечный набор коэффициентов с, с, . .., 4,. .., определяющих -ю собственную функцию [c.35]

Теперь ясно, что все возможные колебания струны описываются при помощи дискретного набора функций Tj5 (x), нумеруемых целыми числами п = 1, 2, 3. .., каждой из которых отвечает свой период колебаний т или соответствующая ему частота v,,, называемая собственным значением задачи. Сами функции отвечающие определенным собственным значениям, называются собственными функциями. [c.23]

Я Ту) И 1 Тг) смешиваются друг с другом. Значения энергий получить нетрудно. Зависимость энергии уровней от поля показана на рис. 8.2. Точно так же можно провести определение собственных значений, когда поле направлено вдоль оси у, и таким образом дополнить исследование изменения волновых функций и энергий с изменением магнитного поля. [c.160]

Константа скорости мономолекулярной реакции и квазистационарная функция распределения, могут быть найдены также и с помощью решения задачи на собственные значения. В случае дискретной задачи вычисление этих величин сводится к определению минимального по модулю собственного значения матрица А и соответствующего ему собственного вектора. Для поиска собственного значения и соответствующего собственного вектора используется метод обратной итерации с релеевским сдвигом [142] [c.197]

Существует ли какой-нибудь способ приближенного определения собственных значений и собственных функций оператора Н из собственных значений и собственных функций Н Решение этой задачи дает теория возмущений. [c.70]

Уравнение (1.1.1) — это уравнение на собственные функции и собственные значения. Его решения, принадлежащие классу существуют только при определенных собственных значениях параметра . Такие решения называются собственными функциями оператора Н, а соответствующие им значения параметра Е — собственными значениями параметра, /< в данном случае они являются значениями энергий возможных стационарных состояний рассматриваемой электронной системы. Отметим, что Н — эрмитов оператор. Подробно свойства таких операторов рассматриваются ниже в гл. 2. Укажем здесь, однако, сразу же, что любые две собственные функции эрмитова оператора, которые соответствуют различным значениям энергий я Е , ортогональны друг другу [c.12]

Как и в других уравнениях волнового движения, интегрирование волнового уравнения дает стационарные решения функции лишь для определенных собственных значений полной энергии Е, определяемой квантовыми числами п, равными 1, 2, 3. . . . После подстановки значений и га в дифференциальное уравнение (19) путем интегрирования получают большое число решений, каждое из которых представляет как функцию пространственных координат. Эти уравнения называются орбитальными волновыми функциями или просто орбиталями. Каждая из них определяет одно возможное состояние электрона в атоме, характеризующееся как своей энергией, так и своей геометрией, [c.79]

Подставляя эти ряды в (3.5.1), (3.5.30), (3.5.31) и разделяя переменные, для определения собственных значений и собственных функций / , получим те же самые уравнения (3.5.9), (3.5.10) с другими граничными условиями [c.130]

Здесь v > — вектор v — линейная функция, переводящая произвольный вектор с в . Результат действия линейного отображения lv> или просто v. Из (3.192) видна самосопряженность К относительно скалярного произведения <я Ь> и ее отрицательная определенность в инвариантном подпространстве 5, являющемся линейной оболочкой векторов V . Все собственные значения К — отрицательные действительные числа, поэтому ТДР является устойчивой по первому приближению точкой типа узел , и вблизи нее невозможны затухающие периодические колебания. Такие колебания, однако, возможны, пока система находится вдали от ТДР. При этом концентрации некоторых веществ могут многократно, но ограниченное число раз, проходить через локальные экстремумы, общее число которых определяется как типом кинетики, так и механизмом сложного процесса. Для кинетики Аррениуса и линейного механизма общее число колебаний не превышает — 1 раз [85]. [c.242]

В уравнении (3.1) оператор Я предполагается известным, а определению подлежат собственные значения энергии Е и собственные функции г (х) = 1з(х1, Х2,. .., х ), зависящие от координат х , х ,. .., х . На функцию г з =г з(х) при решении уравнения (3.1) накладываются определенные условия требуется, чтобы она была конечна, непрерывна и однозначна и обращалась в нуль на границах области. Решая уравнение (3.1), находим собственные значения Е , Е ,. .., которые являются уровнями энергии. Вместе с уровнями энергии определяются собственные функции. Уровни энергии могут быть невырожденными или вырожденными, причем степень вырождения часто называется весом уровня. Собственные функции оператора энергии, принадлежащие разным уровням, являются ортогональ- [c.14]

Уравнение (8.2656) имеет совокупность собственных функций г ) (г), соответствующих собственным значениям и по определению ортогональны только в активной зоне. Определение критического размера реактора производится так иге, как и выше. [c.360]

Предполагается, что собственные значения расположены в порядке увеличения индекса, а равно нулю. Тогда определенная из уравнения (13.21) функция фо(г, и) по смыслу совпадает с потоком нейтронов в реакторе, определяемым согласно уравнению (13.1). Собственные значения и собственные функции уравнения (13.21) могут быть, конечно, и комплексными. Но существенно то, что собственные значения уравнения (13.21) могут быть расположены в порядке возрастания величины действительной части. [c.569]

Некоторые сведения о строении атомов. Атомная система, состоящая из положительно заряженного ядра и отрицательно заряженной оболочки, устойчива лишь в состоянии движения. Движение электронов в электростатическом поле ядра и оболочки описывается в квантовой механике функцией или так называемой волновой функцией. Последняя в случае устойчивого атома зависит только ot пространственных координат, например х, у, г, и может быть найдена в вИде так называемой собственной функции путем рещения некоторого дифференциального уравнения в частных производных (независимого от времени уравнения Шредингера). Обычно существует большое число таких решений, н каладой собственной функции соответствует определенное собственное значение энергии Однако бывает и так, чto одному собственному значению соответствует несколько различных собственных функций. Этот случай называется вырождением. Собственное значение энергии и соответствующая собственная функция каждого электрона определяют его состояние (орбиту) в атоме. Наглядная интерпретация собственных функций, по Борну, заключается в следующем квадрат значения х, у, г), умноженный на элемент объема = йхйуйг в точке х, у, г, т. е. представляет собой критерий ве- [c.47]

Изменение распределения концентрации внутри капли с течением времени. Диффузионный поток вещества через поверхность капли. 1Иетодом разделения переменных с последующим определением собственных значений в задаче Штурма — Лиувилля с привлечением квадратичной аппроксимации по функции с ( , ) по методу Ритца можно построить решение краевой задачи (4.6) — (4.10) в виде [c.301]

Формула (83) дает точное решение нашей задачи, и при малых п (число атомов в критическом зародыше) ее можно использовать для вычисления вероятности / (0- Главная трудность в решении основной системы уравнений (83) заключается в определении собственных значений. В настоящее время имеются численные методы решения [147] и оценки границ собственных значений [148, 149]. Однако для малых времен функция распределения / близка к нулю, а слагаемые в правой асти уравнения (83) велики. Поэтому при вычислении вероятности fn t) с заданной относительной погрешностью указанные слагаемые приходится вычислять с большим числом значащих цифр. В то же время значительный интерес представляет поведеййе системы в начальной стадии, когда процесс зародышеобразования является, как правило, нестационарным. [c.33]

В теории колебаний молекул кинематическая характеристика молекулы представлена матрицей G, являющейся матрицей кинетической энер-гр и в импульсном представлении. Потенциальная функция задается матрицей силовых постоянных F. При ручном счете решение прямой задачи обычно сводилось к определению собственных значений и собственных векторов оператора колебаний W =GF, однако, при выполнении расчетов на ЭВМ наиболее удобным оказывается метод раздельной диаго-нализации матриц G и F [3]. Определяя собственные значения и собственные векторы матрицы G, [c.12]

Вокруг каждого атома имеется несколько сферических функций Ханкеля 1-го рода, представляющих собой хвосты АО, связанных с данным атомом и экспоненциально убывающих по мере удаления от него. На поверхности каждой атомной сферы суперпозиция всех таких убывающих хвостов от всех атомов должна непрерывно, вместе с 1-й производной, переходить в решения уравнения Шредингера внутри данной сферы. Это требование ( сшивка волновых функций) приводит к системе вековых уравнений для амплитуд различных сферических функций Ханкеля 1-го рода. Ненулевые решения этой систеглы уравнений возможны при определенных собственных значениях е,, которые находят из условия равенства нулю детерминанта векового уравнения. [c.45]

Решение задачи при наличии возмущений в контуре сопла и при отсутствии возмущений на начальной линии должно удовлетворять неоднородному граничному условию на стенке сопла и однородному — на начальной линии, что приводит к решению сложной задачи об отыскании собственных значений функций Хейна. Этого можно избежать, если принять, что на начальной линии имеются возмущения, вызванные возмущениями контура. Тогда граничное условие на контуре сопла может служить для определения его формы. [c.141]

Перейдем к анализу замкнутой системы уравнений (3.1)-(3.5) на основе асимптотического по времени решения системы управляющих уравнений (1.88). Так как коэффициенты при неизвестной функции распрелеления в (3.1) зависят от времени, то задача на определение собственных значений и векторов теряет смысл. Поэтому воспользуемся методикой КФР и представим систему (3.1) с учетом одноквантовых переходов (Ап = 1) в виде [c.116]

Однако структура кинетических моделей, как правило, такова, что оценки кинетических констант сильно коррелируют между собой. Это ведет к тому, что функции меры, характеризующие степень совпадения экспериментальных и расчетных данных, обнаруживают в пространстве параметров в окрестности точки минимума наличие оврагов, затрудняющих определение точечных оценок констант. Детерминантные критерии значительно уменьшают объем доверительного эллипсоида, не изменяя коэффициентов корреляций и, следовательно, не исправляя овражной ситуации. В этом отношении критерий формы, максимизируюпщй наименьшее собственное значение информационной матрицы Л/(е), представляется более предпочтительным, так как стремится придать доверительной области сферичность посредством минимизации длины большой полуоси доверительного эллипсоида. [c.189]

В работах [68 65 показано, что в определенном смысле формула BFGS (111,84) является наилучшей в семействе (111,107) при 0 > 0 соответствующие матрицы Hi обладают наибольшей величиной минимального собственного значения и, кроме того, при минимизации квадратичной функции с положительно определенной матрицей G эвклидова норма матрицы т. е. = Тг определенной в виде Е. = [c.97]

Таким образом, задача поиска минимума тесно связана с задачей интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, причем "овражный" характер поверхности Ф(к) соответствует "жесткой" системе ОДУ, так как матрица Гессе Э Ф/Э ,Э/Гу целевой функции одновременно является якобианом системы обыкновенных дифференциальных уравнений, В том случае если эта матрица имеет различающиеся между собой на несколько порядков собственные значения, то возникают определенные математические трудности при численном решении задач минимизации и интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.163]