Спектральной плотности функция

После вычисления спектральных плотностей функции корреляции получены следующие выражения для времен релаксации в приближении маловязких сред [c.272]

Спектральная плотность Функция (пли кривая) спектрального распределения [c.509]

В этой главе рассматриваются ошибки оценок статистических характеристик случайных процессов. Предполагается, что обрабатываемые данные представляют собой реализации стационарных эргодических или переходных процессов и анализ производится на цифровой ЭВМ. Полученные результаты касаются оценок различных зависящих от частоты характеристик линейных систем с одним или несколькими входными процессами. К ним относятся спектральные и взаимные спектральные плотности, функции обычной, частной и множественной когерентности, когерентный спектр выходного процесса, оптимальные амплитудная и фазовая характеристики и другие связанные с ними функции. [c.277]

Общая схема расчета вероятностей переходов и времен релак-са,ции была изложена в главе III. Вероятность перехода между двумя состояниями определяется спектральной плотностью функции корреляции для зависящего от времени возмущения. [c.271]

Здесь (со) — взаимная спектральная плотность входного и выходного сигналов (ш) — спектральная плотность входного сигнала W (о) — передаточная функция объекта без запаздывания. [c.324]

Из (23) можно получить условную вероятность р( , т о, 0) обнаружить частицу в момент т в точке с координатой , если в момент т = О она находилась на о. Это решение, полученное в [24] в преобразованном по Лапласу виде, содержит полную информацию о случайном движении частицы. По нему можно построить функцию автокорреляции, спектральную плотность распределения мощности колебаний по частотам, вероятность найти частицу в заданной области слоя в течение определенного времени, распределение вероятностей времени первого достижения границы и др. Например, автокорреляционная функция Д(т) выражается через условную вероятность так ь ь [c.55]

Рис. 8. Спектральная плотность (а) и функция автокорреляции (б) при случайном движении частиц в кипящем слое, а 1—Ь=1 (циркуляционная модель —ЦМ) 2 —1,=2 (ЦМ) 3 — Ь>5 (ЦМ диффузионная модель —ДМ), б Ф = 0,8 1 — (ЦМ) 2 — Ь=2 (ЦМ) 3 —

Подстановка (XII.58) в равенство (XII.57) даст число состояний в заданном интервале частот как функцию v, т. е. получим спектральную плотность g (v). При подсчете полного числа колебательных состояний в интервале значений частот от v до v + dv следует, однако, учесть, [c.326]

Расчет линейных систем часто проводят, пользуясь преобразованием Фурье и полученными с его помощью частотными характеристиками линейных звеньев. В этом случае вместо корреляционных функций удобнее использовать их преобразования по Фурье — спектральную и взаимную спектральную плотности. Спектральная плотность подсчитывается по формуле [c.158]

Она является четной функцией Для любой частоты Зхх (л) >0. Физически величина спектральной плотности для частоты со показывает, какая доля мощности случайного процесса приходится на эту частоту. Общая же мощность случайного процесса может быть подсчитана как интеграл его спектральной плотности. Из обратного преобразования Фурье следует, что [c.158]

Оценки, полученные согласно выражениям (VII. 3) и (VII. 4), являются несмещенными, однако их отклонение от истинных характеристик может быть весьма значительным. Это особенно относится к ординатам корреляционной функции, соответствующим большим значениям т, и к ординатам спектральной плотности, соответствующим малым значениям частоты. Оценки могут, например, иметь вид, показанный на рис. VII. 1. Для обоснованного выбора длины реализации Т необходимо знать статистические характеристики процесса, т. е. как раз те характеристики, которые по этой реализации вычисляются. Выход из этого положения состоит в том, чтобы выбрать Т по какой-нибудь грубой оценке характера случайного процесса, которую можно определить до вычисления спектральной плотности и корреляционной функции. [c.159]

Рис. VII. 1. Оценки корреляционной функции (а) и спектральной плотности (б).

Для решения уравнения (VII. 1) и расчетов систем регулирования приходится переходить к спектральным характеристикам случайных процессов. Эти характеристики могут быть получены двояко по предварительно вычисленным корреляционным функциям и непосредственно по реализациям. Обычно предпочитают первый путь, так как количество вычислительных операций приблизительно одинаково, между тем оценка спектральной плотности, вычисленная непосредственно по реализации, це всегда сходится к истинной спектральной- плотности [8]. [c.169]

Использование таблицы преобразования Фурье. Ввиду линейности преобразования Фурье корреляционную функцию можно представить как сумму нескольких функций, преобразования Фурье для которых известны. Тогда спектральная плотность может быть представлена как сумма преобразований Фурье этих элементарных функций. [c.170]

Рис. VII. 6. Построение спектральной плотности по корреляционной функции. методом треугольников а-представление Ц Х) как суммы треугольников б-истинная спектральная плотность и ее приближение.

Пример аппроксимации треугольниками корреляционной функции и соответствующая спектральная плотность даны на рис. VII. 6, Значения функции Л(ш) приведены в табл, VII. 1. [c.171]

Разложение спектральной плотности в ортогональный ряд. В случае численного преобразования корреляционной функции по Фурье мы получаем дискретную последовательность ординат спектральной плотности. Чтобы получить спектральную плотность в аналитической форме, необходимо аппроксимировать. эту таблицу дискретных значений какой-либо функцией. Часто можно существенно сократить объем вычислений и повысить их точность, если вместо использования отдельных ординат спектральной плотности определить ее целиком в форме разложения по системе [c.171]

Спектральная плотность, соответствующая единичной треугольной функции [c.172]

Покажем, как по корреляционным функциям непрерывно вычисляются коэффициенты разложения взаимной спектральной плотности. Результирующие формулы для спектральной плотности входного сигнала могут быть получены аналогично. [c.173]

При использовании метода моментов [11] имеет место именно этот случай. Действительно, моменты корреляционной функции случайного процесса с точностью до постоянного множителя равны коэффициентам разложения спектральной плотности в ряд Тейлора [c.176]

Пусть ординаты корреляционной функции обозначены через Ь-т,, Ьо,. .., Ьт. Коэффициенты разложения спектральной плотности по полиномам Чебышева вычисляются непосредственно через эти ординаты по формулам [c.178]

Если вычисляется приближение спектральной плотности входного или выходного сигналов (по корреляционной функции), то ja + i = О и формула (VII. 42) принимает вид [c.180]

Передача стационарных случайных процессов линейными системами может быть исследована с помощью спектральной плотности Sx (u)), определяемой в результате преобразования Фурье корреляционной функции, [c.66]

Так как os шт = os (—тт), то S (ю) = S (—<а), т. е. спектральная плотность является действительной четной функцией частоты (О. [c.66]

Соотношения для скоростей спин-решеточной и спин-спиио-вой релаксации могут быть записаны через спектральные плотности функции корреляции [c.258]

Здесь / (ю) — спектральная плотность функции корреляции iT (t) молекулярного движеиия I, у — спин- и гиромагнитное отношение ядра Й — постоянная Планка соц — резопансная частота — время корреляции Т о — время спин-сниновой релаксации в отсутствие молекулярного движения. [c.193]

Р() = РР Р — обобщенпьп импульс молекулы) дс11ствне случайных сил пока не учтено. Ввиду того что явное выражение для этих сил неизвестно, их учет произведем методами статистики на основании информации, содержащейся в величинах гит (этим, разумеется, не преуменьшается значение метода отыскания спектральной плотности функции корреляции случайных сил [14]). Формально дело сводится к нахождению некоторых эффективных значений постоянных С[ и Со, являющихся результатом статистического усреднения начальных условий для колебательного движения молекулы. [c.230]

Системы с пониженной размерностью. Обычные теории межмолекулярного вклада в протонную магнитную релаксацию, предложенные для трехмерных систем, не применимы для систем с пониженной размерностью, например для одномерных (Ш) или двумерных (2D) систем. Вместе с тем при исследовании структуры воды в гидрофильных объектах системы такого типа встречаются довольно часто например, вода, адсорбированная на плоской подложке, вода между плоскими пластинками слоистых силикатов или вода в плоских бислоях лиотропных жидких кристаллов — все это характерные примеры 2D-систем. Обзор теорий магнитной релаксации для систем с пониженной размерностью дан в работе [607]. Интересной особенностью неограниченных систем с пониженной размерностью является то, что для них функция спектральной плотности при малых частотах расходится и I (со- 0)->оо. Для ограниченных систем (когда величина d на рис. 14.1 конечна) расходимости при малых частотах нет, но для таких систем на кривой зависимости T i(t ) наблюдаются два минимума, соответствующие условиям (uqT 1 и (ooTiat l, где -Tiat ii /(4D, ). Детальное обсуждение экспериментальных результатов по ЯМР релаксации в ограниченных двумерных системах приведено в работе [608]. [c.237]

Используя это соотношение, интегрируем спектральную плотность и находик величину давления в функции координаты [c.115]

Преобразование Фурье взаимнокорреляционной функции, называется взаимной спектральной плотностью [c.158]

Вычисление оценки спектральной плотности по оценке корреля> ционной функции возможно тремя различными способами [c.169]

С точки зрения трудоемкости расчетов на ЦВМ спектральную плотность удобнее всего представлять в виде разложения по системе ортогональных полиномов, так как вычисление полиномов требует лишь операций сложения и умнолсения и в памяти машины необходимо хранить только значения коэффициентов полиномов. Использование полиномов позволяет выбрать нужную весовую функцию для ошибки приближения в частотной области. [c.172]

Коэффициенты этого ряда fa(t)= (—Согласно уравнению (VII. 32) коэффициенты разложения спектральной плотности могут быть получены по взаимнокорреляционной функции [c.174]

Нельзя дать универсальных рекомендаций по выбору функций Фа(м) и а (со), так как на него существенно влияют и вид искомой спектральной плотности, и тот диапазон частот, в котором требуется обеспечить наиболее точное приближение. Мы остановимся на влиянии такого общего для всех случаев определения характеристик фактора, как ограниченность испальзуемой длины реализации [7]. Так как длина реализации существенно ограничена, то коэффициенты вычисляются не по истинным корреляционным функциям, а по их оценкам. Как указано выше, эти оценки можно считать несмещенными. [c.174]

Чтобы уменьшить эту погрешность, нужно выбирать а((о) малым на тех участках, для которых велика дисперсия оценки спектральной плотности. Величина Ji обращается в нуль, если а (со) и D(m) взаимноортогональны. Однако особенности этих функций [c.176]

Химико-технологические, тепловые и многие другие объекты регулирования часто обладают запаздыванием. Наличие запаздывания в объекте приводит к тому, что взаимная спектральная плотность входного и выходного сигналов носит колебательный характер, так как включает множитель К подобному же результату приводит и инерционность объекта, состоящего из ряда последовательно включенных апериодических звеньев. Обе эти причины во временной области соответствуют сдвигу кривой взаимнокорреляционной функции вправо. Чем правее расположен центр тяжести площади взаимнокорреляционной функции относительно оси т = О, тем с большей частотой колеблются действительная и мнимая части взаимной спектральной плотности. Между тем практически при всех разложениях вида (VH. 28) первые их члены имеют монотонный характер. Чтобы обеспечить хорошее приближение взаимной спектральной плотности при небольшом числе членов разложения, удобно перейти от приближения функции Sxy i(u) к приближению функции [c.177]

Так как корреляционная функция заданй в виде таблицы значений ее ординат в ряде равноотстоящих точек, то спектральная плотность, ей соответствующая, имеет периодический характер и приближать ее нужно лишь в диапазоне [—Ютр, тр], где тр = = л1М, А —расстояние между соседними дискретными значениями аргумента корреляционной функции. [c.178]

Следует, однако,. иметь в виду, что Rxx и Rxy определены экспериментально и, следовательно, могут отличаться от истинных значений корреляционных функций. Вследствие этого важно знать, как меняется решение задачи при малых изменениях экспериментальных данных. Если решение непрерывно зависит от Rxx и Rxy, то при использовании их оценок, близких к истинным значениям, получим характеристику объекта, мало отличающуюся от действительного значения характеристики. В нашем случае, однако, такой непрерывной зависимости часто не наблюдается. Это следует, например, из формулы (VII. 47). Величины 5 ((u) и 5ха(/<в) с увеличением частоты обычно стремятся к нулю. Начиная с некоторой частоты их ординаты по величине становятся соизме имыми с отклонениями оценок от истинных значений спектральных плотностей. Так как частотная характеристика получается в результате деления Sxy(ia) на 5жж((о), то при больших частотах сколь угодно ма- [c.182]

A. M. Цирлин, Определение спектральной плотности случайных процессов как задача приближения функции по ее оценке . Автоматика и телемеханика, т. XXV, № 8 (1964). [c.184]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология