Определения и основные математические соотношения

В 2 приводятся необходимые определения и основные математические соотношения, используемые в последующих параграфах. В 3 — 5 выводятся уравнения сохранения массы, количества движения и энергии. В 6 устанавливается эквивалентность полученных уравнений и уравнений, следующих из кинетической теории неоднородных газовых смесей. [c.522]

В простейших случаях искомые теоретические закономерности удается представить в явной форме, позволяющей непосредственно определить взаимосвязи основных параметров объекта. Однако при изучении более сложных систем приходится прибегать к их существенной идеализации в виде определенных упрощений и ограничений, позволяющих без утраты основных свойств объекта описать его приемлемыми математическими средствами. Иными словами, реальный объект при его рассмотрении заменяется некоторой упрощенной моделью. Однако искомые зависимости далеко не всегда можно представить в явной форме, и они могут быть выражены лишь в неявном виде посредством одного или нескольких математических равенств, например интегральных уравнений. В подобных случаях принято говорить о математической модели объекта, подразумевая под ней совокупность математических соотношений с определенной идеализацией, но достаточно адекватно отображающих его основные свойства и позволяющих исследовать поведение объекта и его количественные характеристики в различ-268 [c.268]

В основном применяются два принципа измерения определение электризуемости и определение проводимости волокна. В первом случае замеряется заряд статического электричества, возникающий на волокне в определенных условиях механической обработки, во втором случае — способность волокна передать возникший заряд. Работы, имеющиеся в этой области, посвящены теоретическому рассмотрению взаимосвязи между обеими измеряемыми величинами и влиянию поверхностной структуры нити на величину возникающего заряда [147], а также математическим соотношениям между величиной заряда статического электричества, поверхностной проводимостью и концентрацией антистатического препарата на волокне [148]. [c.578]

Математическая модель, отображающая тот или иной процесс, представляется в виде определенных математических соотношений, которые устанавливают взаимосвязь между параметрами исследуемого процесса. При этом используются как теоретические методы, так и необходимые экспериментальные данные. Конечной целью разработки математических моделей является прогноз результатов проведения процесса и выработка рекомендаций по возможным воздействиям на ход процесса с целью ведения его в оптимальных условиях. При отсутствии достаточной информации об исследуемых явлениях их изучение начинается с построения простейших моделей, но без нарушения основной (качественной) специфики исследуемого процесса. Вид математической модели определяется природой анализируемого процесса. По своей природе процессы делятся на детерминированные и стохастические. [c.6]

Б отличие от квантовой теории атома Бора, в квантовой механике не вводится понятие об орбитах электрона в атоме и стационарное уравнение Шредингера определяет лишь плотность вероятности нахождения электрона в том или другом элементе объема в атоме. Плотность электронного облака в разных точках называют распределением этой вероятности по объему. Математическое соотношение, выражающее это распределение для определенного состояния электрона в атоме, получают из уравнения Шредингера. Такие соотношения называют атомными орбиталями. Они неодинаковы для разных состояний электрона в атоме. Так, для основного (т. е. невозбужденного) состояния атома водорода состояние электрона в нем выражается 15-орбиталью [c.48]

Второй этап структурного анализа — непосредственной расшифровки атомного строения — является основным. Он призван дать ответы на те кристаллохимические вопросы, решение которых является целью всей работы. Этот этап требует значительно большего внимания, тщательности и времени. Если предварительная стадия анализа проводится, в общем, по твердо разработанным правилам, то во второй, главной части исследования, весь путь решения задачи не может быть определен заранее здесь экспериментатор встречается со значительными и разнообразными трудностями, преодоление которых требует большой изобретательности и эрудиции. Исследователь должен правильно оценить все особенности дифракционной картины, даваемой кристаллом, уметь разумно их использовать. Методика исследования на втором этапе значительно сложнее, чем на первом , она основана на более глубоких физико-математических принципах и связана с довольно тонкими математическими соотношениями.. Несравнима также и трудоемкость этой части исследования. Время необходимое для проведения многочисленных вычислительных операций, которыми сопровождаются поиски атомного мотива структуры,, в десятки, если не сотни, раз, больше того времени, которое требуется на выяснение симметрии кристалла. [c.179]

Единственное, что может вызывать определенное беспокойство при первом знакомстве с интегралом Ито — его неординарность . Мы уже упоминали о том, что интеграл Ито не подчиняется правилам обычного интегрального исчисления. Но, как уже говорилось, удобство правил — не более чем вопрос привычки. Для того чтобы объяснить основное правило интегрального исчисления Ито, заменяющее правило дифференцирования сложных функций в обычном математическом анализе, полезно ввести понятие стохастического дифференциала. Соотношение (5.37) можно записать кратко следующим образом [c.127]

Модель. Для изучения и выявления закономерностей процессов обработки деталей часто прибегают к их исследованию с помощью моделей, отражающих основные свойства объектов моделирования. Изучение свойств объекта моделирования с помощью анализа аналогичных свойств его модели представляет собой процесс моделирования. Различают физические и математические методы моделирования. Физическое моделирование предназначено для исследования натурных моделей подобия, воспроизводящих объект моделирования в меньшем масштабе. Математическое моделирование основано на том, что реальные процессы в объекте моделирования описывают определенными математическими соотношениями, устанавливающими связь между входными и выходными воздействиями. Математическое моделирование, сохраняя основные черты протекающих явлений, основано на упрощении и схематизации. Математические модели являются моделями неполной аналогии. [c.19]

В последнее время широкое распространение получают методы механики сплошных сред для описания движения многофазных систем. В этом случае каждая фаза рассматривается как сплошная среда, характеризуемая полем скоростей и давления внутри нее. Вся система представляется в виде многоскоростного континуума взаимопроникающих сплошных сред. Тогда описание движения многофазной системы сводится к заданию условий совместного движения фаз и определению величин, описывающих межфазные взаимодействия. В [31] дается обзор работ, посвященных применению методов механики сплошных сред к многофазным системам, а в [8] приведено их дальнейшее развитие на системы, внутри которых происходит обмен энергий, импульсом и массой, а также на системы, в которых протекают химические реакции. Несмотря на всеобъемлющий характер такого подхода, он остается в большей степени теоретическим, так как предлагаемые математические описания трудно применимы при расчете реальных процессов в силу незамкнутости описания и трудностей вычислительного характера. В свою очередь, например, описание межфазного взаимодействия, поля скоростей и давлений невозможно без упрощающих допущений и проведения экспериментальных исследований. Поэтому основным подходом к описанию движения многофазных систем является получение полуэмпирических соотношений для учета влияния важнейших параметров исходя из общих теоретических закономерностей. [c.289]

Метод угловых коэффициентов относительно прост в применении. Он позволяет проводить анализ структурно сложной системы с достаточно высокой степенью достоверности. Математический аппарат этого метода разработан настолько детально, что позволяет говорить об алгебре угловых коэффициентов ( поточной алгебре ) как о самостоятельном разделе общей теории теплообмена излучением. Большое число всевозможных таблиц, в которых приведены соотношения для определения угловых коэффициентов для множества комбинаций различных типов поверхностей, и широкие возможности для их расширения и дополнения послужили причиной распространения этого подхода в качестве одного из основных аналитических методов расчета вакуумных систем, применяемых в проектно-конструкторской практике. [c.20]

Основной формой балансовых соотношений, используемых при изложении настоящего метода, является слегка видоизмененный вариант уравнения (8.242). В большинстве случаев множитель, зависящий от сечения и появляющийся перед знаком интеграла, по определению, входит в ядро. Таким образом, в дальнейшем под ядром будет подразумеваться такая функция, физический смысл которой отличается от приведенной выше интерпретации функции К. Мы пока не будем обращать внимания на детализацию физического смысла этой системы, а выясним математические свойства основного интегрального уравнения. Уравнения, с которыми мы будем иметь дело в дальнейшем рассмотрении, имеют очень простую математическую форму (8.218). Основные свойства этих уравнений можно вывести лишь на основе свойств уравнения (8.242) и его ядра. [c.352]

Любая математическая модель состоит из совокупности количественных соотношений, описывающих с определенной идеализацией основные свойства объекта. Рассмотрим эти соотношения для модели вольтамперометрических датчиков, удовлетворяющей исходным условиям, изложенным в разделе 8.2.1. [c.295]

Мы будем иногда использовать табл. 27.2 вместо полного вывода уравнений. Однако если вам будет необходим вывод каких-то уравнений при решении задач или упражнений, то совершенно не обязательно использовать табл. 27.2. Можно использовать эту таблицу для проверки результата, но ваши выводы должны исходить из основных законов и определений термодинамики и содержать все последовательные стадии. Вы должны были уже обратить внимание на некоторые удобные математические приемы использование свойств полного дифференциала [уравнения (26.5) и (26,9)], взятие полного дифференциала (стр. 349), подстановки из соотношения Максвелла [уравнение (27.8) и стр. 366], а также подстановки из первого и второго законов термодинамики. [c.355]

При нарушении стационарности могут возникать совершенно новые закономерности, связанные с возможным коренным изменением роли и значения разных стадий, соотношений их скоростей и переходом к другим механизмам. Ввиду того, что такие нестационарные режимы сулят большие перспективы, в последнее время на них обращается усиленное внимание и интенсивно начала развиваться фактически новая область — нестационарная кинетика. Развитие ее в гетерогенном катализе пока что в основном ограничивается накоплением новой интересной информации, которая еще нуждается во всестороннем анализе, хотя и имеются уже определенные достижения, особенно в математической трактовке явлений. Этих вопросов мы еще коснемся в дальнейшем. [c.138]

К настоящему времени в области создания методов математического описания условий паро-жидкостного равновесие выполнен чрезвычайно большой объем исследований, основные-результаты которых достаточно полно отражены в работах [126—133] и, в частности, в томе 1 данной серии Итоги науки и техники [132]. Характеризуя состояние работ в этом направлении в целом, можно отметить, что общая тенденция теоретических и экспериментальных исследований сейчас включает проблему экспериментального определения данных в бинарных системах [137, 145], разработку модификаций известных соотношений с целью повышения их точности [150, 152] и задачи определения областей применимости различных методов описания условий паро-жидкостного равновесия в многокомпонентных смесях [142—154]. [c.40]

При реализации любого алгоритма расчета процесса ректификации обычно определяются составы всех потоков, т. е. так называемые основные переменные. Остальные переменные, входящие в систему уравнений математического описания, могут быть определены как зависимые (теплоемкости, теплосодержания, равновесные концентрации и т. д.). Все переменные основной группы связаны между собой вполне определенными соотношениями, что приводит к возможности выделения их из числа независимых переменных. Тогда, определяя в результате расчета именно эти переменные, можно по соответствующим соотношениям найти значения остальных переменных. Многие методы расчета составов по ступеням разделения отличаются друг от друга именно выбором систем независимых переменных. [c.53]

В основу общей структуры системы положен блочный принцип реализации отдельных этапов рещения общей системы уравнений математического описания независимо от вида используемых соотношений (рис. 7). Выделяются шесть основных этапов расчета (блоки №№ 1—6), кроме которых используются блоки № О и № 7, которые не входят в итерационный цикл, а предназначены для начальной обработки исходных данных с определением некоторых типов ошибок, возникающих при вводе исходной информации, и для представления результатов моделирования в желаемой форме. [c.74]

Рассмотрев характеристические функции, дифференциальные уравнения и дифференциальные соотношения, составляющие аналитический аппарат термодинамики, позволяющий устанавливать связь одних свойств веществ с другими, полезно заметить, что нахождение определенных зависимостей для термо-механической системы основывается на использовании основного уравнения термодинамики йО = Тй8 — р йУ и математических свойств функции Z = f (х, у), соответствующей по форме уравнению состояния термомеханической системы. [c.95]

Все математические модели являются предположениями, одни из которых более правдоподобны, чем другие. Само слово модель означает копирование или воссоздание чего-то более реального и, возможно, более ценного, чем сама модель. В детерминированных моделях соотношения причины и следствия заранее устанавливаются с определенностью. Можно сделать смелые выводы (смелые в смысле математическом, конечно) относительно того, каким образом протекает процесс от стадии к стадии. Последовательность принимаемых значений переменных и соответствующие значения функций дохода с точки зрения математики известны абсолютно точно. Преимущество детерминированной модели состоит в том, что она позволяет концентрировать внимание на основных аспектах задачи. В результате получаются уравнения, достаточно простые для того, чтобы их решать математически. [c.442]

Объект, обладающий определенными реальными свойствами, изменяющимися в зависимости от условий его существования, называют оригиналом. Если оригинал достаточно сложен, то его непосредственное исследование в больщинстве случаев неэкономично, трудоемко, т. е. требует больших материальных и временных затрат. Поэтому свойства сложного оригинала чаще всего изучают на его модели, а результаты исследования модели после их обработки переносят на оригинал. Создание модели, воспроизводящей изучаемые особенности структуры и поведения оригинала, и последующее исследование этой модели с распространением результатов на оригинал называют моделированием. В прикладных науках моделирование проводят с использованием материальных моделей. Материальные модели разделяют на физические и математические. При физическом моделировании процессы в оригинале и физической модели не отличаются по физической природе. Основное отличие между оригиналом и моделью— их размеры. Опытные данные, полученные при исследовании физической модели, представляют в виде уравнений, содержащих критерии подобия (Рейнольдса, Архимеда, Фруда, Пекле, Прандтля, Нуссельта и др.), и безразмерных соотношений геометрических и физических величин. Физическое моделирование сводится к воспроизведению равенства определяющих критериев подобия в модели и оригинале в пределах изменения основных параметров процесса, которые исследованы на модельных установках. В подавляющем большинстве случаев ХТП настолько сложны, что соблюдение подобия модели и оригинала, заключающееся в одновременной идентичности многих критериев подобия, практически невозможно. Кроме этого, современные ХТП иногда не поддаются изучению в чистом эксперименте. Не всегда имеется экспериментальная база и возможности выделения большого числа квалифицированных кадров. [c.88]

Ниже приведена блок-схема основных этапов работ по построению математических моделей технологических агрегатов. Для построения моделей необходимо задать схему установки, ее конструктивные и режимные параметры (этап 1). После этого производится разбиение установки на подсистемы — декомпозиция (этап 2). Выполняется анализ априорной информации об элементах объекта с целью определения возможности использования известных математических моделей элементов объекта или постановки новых исследований процессов и аппаратов, информация о которых недостаточна (этап 3). Не представляется возможным выполнить формализацию работ по этому этапу. Оцениваются характеристики элементов, условия их работы, чтобы выявить возможность применения для получения их моделей известных работ по этим установкам. Анализируются соотношения для определения коэффициентов моделей с [c.110]

В этом случае приходится прибегать к двум основным приемам либо заменять точную математическую модель приближенной, в которой например, произвольные функции распределения являются экспоненциальными (т. е. математическая модель объекта сводится к марковской модели, для которой хорошо известны методы решения, или же имеются готовые результаты в относительно компактной замкнутой форме), либо использовать асимптотические модели, в которых делается предположение об определенных соотношениях между теми или иными параметрами системы. [c.16]

Основной результат предпринятых исследований заключается в том, что в экологии водных животных появился и развивается новый метод исследования — математическое моделирование с применением вычислительных машин. В области теоретической экологии этот метод имеет самостоятельное значение как для проверки высказываемых гипотез и обобщений, так и для получения новых зависимостей и соотношений. В области экологического исследования конкретных природных объектов метод построения моделей популяций и сообществ, а также целых экосистем на ЭВМ является мощным средством обобщения и проверки обычно разрозненной и громоздкой информации, полученной в результате наблюдений и экспериментов. С помощью математических моделей возможно определение или уточнение таких характеристик популяций или сообществ, которые нельзя или очень трудно измерить непосредственно. Наконец, задачи прогнозирования и оптимального управления природными популяциями, сообществами и экосистемами не могут быть успешно решены без создания математических моделей этих объектов. [c.179]

Описание и изображение всех 230 пространственных групп, а также важнейшие математические соотношения, характеризующие пространственные группы с точки зрения рентгеност >уктурного анализа, приводятся в двух известных справочниках — Международных таблицах для определения кристаллических структур немецкого издания и английского изданияВ этих справочниках для обозначения пространственных групп используются так называемые международные символы, построенные из обозначений типа решетки и основных элементов симметрии соответствующих пространственных групп. С целью унификации и большей легкости чтения во втором (английском) издании Международных таблиц символы некоторых пространственных групп несколько изменены по сравнению с первым (немецким) изданием. [c.47]

Следующим ответственным этапом является алгоритмизация задач. Алгоритм характеризуется словесной и математической формами. В первой раскрывается определенная последовательность действий, во второй показаны количественные соотношения, выраженные в виде формул. Математическое обеспечение автоматизированной подсистемы управления обслуживанием и ремонтом оборудования требует глубокого изучения и специального рассмотрения. Основные составные частн математического обеспечения система программирования библиотека стандартных программ по обработке данных на ЭВМ система ведения нормативной справочной информации алгоритмы решения задач АПУОРО. [c.27]

Анализ физических процессов, происходящих в установках подготовки нефти, газа и конденсата, позволяет сделать вывод, что основными процессами являются разделение фаз (жидкости от газа, газа от жидкости, жидкости от жидкости, твердых частиц примеси от газа или от жидкости), а также извлечение определенных компонент из газовой или жидкой смеси. В специальной литературе, посвященной этим процессам, каждый процесс имеет свое название. Так, процесс отделения жидкости от газа или газа от жидкости называется сепарацией, жидкости от жидкости — деэмульсацией, разделение суспензий, т. е. жидкостей или газов с твердыми частицами, — седиментацией и т. д. С физической точки зрения любой из перечисленных процессов происходит под действием определенных движущих сил, заставляющих фазы или компоненты одной из фаз разделяться. Для гетерогенных смесей такими движущими силами являются силы гравитации, инерции, поверхностные и гидродинамические силы, электромагнитные силы и термодинамические силы. Для гомогенных смесей, например смеси газов или растворов, движущими силами являются градиенты концентраций, температуры, давления, химических потенциалов. Математическое моделирование этих процессов основывается на единых физических законах сохранения массы, количества и момента количества движепшя, энергии, дополненных феноменологическими соотношениями, конкретизирующими модель рассматриваемой среды, а также начальными и граничными условиями. Сказанное позволяет объединить все многообразие рассматриваемых физических процессов в рамках единой теории сепарации многофазных многокомпонентных систем. Для лучшего понимания специального материала в разделах П1 —УП в разделе П изложены физико-химические основы процессов. [c.43]

В данной главе рассматривается уравнение для плотности вероятностей концентрации динамически пассивной примеси. Как ив 1.3, ддя обозначения этой концентрации используется буква г. Здесь подробно обсуждаются гипотезы, используемые для замыкания этого уравнения. Анализируются решения замкнутого уравнения в случае статистически однородного поля концентрации и в свободных турбулентных течениях. В главе преследуются три основные цели. Первая является чисто практической и заключается в том, чтобы дать простой приближенный метод определения распределения вероятностей концентрации и коэффициента перемежаемости в струях. Эта задача решается по возможности без сложных математических выкладок. Вторая цель - исследовать математические свойства уравнения для плотности вероятностей концентрации, сформулировать краевую задачу и показать, что из условия разрешимости этой краевой задачи вытекают дополнительные связи между заранее не известными функциями, входящими в замыкающие соотношения. Этот результат имеет принципиальное значение, так как из него следует, что развиваемый подход позволяет сократить количество произвольных функций по сравнению с обычными полуэмпирическими теориями для одноточечных моментов. Не исключено, что новые пути построения замкнутой теории турбулентности будут связаны с совершенствованием этого подхода. Третья цель -изучить структуру изоскалярных поверхностей в турбулентных потоках. Такое исследование позволяет, во-первых, предложить дополнительный способ получения граничных условий для плотности вероятностей концентрации и выявить их физический смысл и, во-вторых, проследить взаимосвязь между перемежаемостью и структурой изоскалярных поверхностей. [c.70]

Данный параграф посвящен более строгому (чем это было сделано в 3.5) математическому исследованию уравнения для плотности вероятностей концентрации в свободных турбулентных течениях. При анализе используется уточненная аппроксимация условно осредненной скорости (и>2 в области больших амплитуд пульсаций концентрации (3.18). Обсуждаются такие общие качественные свойства уравнения, как особые точки, существование автомодельного решения, постановка краевой задачи. Отмечаются имеющиеся аналогии со случаем статистически однородного поля концентрации, рассмотренного в 3.4. Важную роль в проведенном анализе играют существенно нелокальные свойства уравнения. Показано, что условие разрешимости краевой задачи позволяет найти две неизвестные функции, входящие в замыкающие соотношения. В данном, а также в следующем параграфе (в нем приведено численное решение сформулированной краевой задачи) преследуются две главные цели. Первая — дать обоснование приближенного метода исследования уравнения, описанного в 3.5. Вторая цель - показать на примере уравнения для плотности вероятностей концентрации, что с развитием направления, предложенного в книге, могут быть связаны вполне определенные перспективы построения замкнутой теории турбулентности. По крайней мере в настоящее время удается уменьшить количество произвольных функций по сравнению с полуэмпирическими теориями для одноточечных моментов. Заметим, что проведенное исследование сопряжено с большим количеством достаточно громоздких выкладок, а также с использованием ряда неформальных качественных соображений. Материал этого параграфа рассчитан в nepByiQ очередь на такого читателя, которого заинтересует весьма нестандартная математическая структура уравнений для плотностей вероятностей, полученных с помощью теории локально однородной и изотропной турбулентности Колмогорова -Обухова, и те возможности, которые предоставляют такие уравнения (или уравнения с похожими свойствами) в решении проблемы замьжания в теории турбулентности. Остальные читатели могут этот параграф пропустить и сразу перейти к 3.7, в котором приведено численное решение автомодельной задачи и в краткой форме перечислены основные результаты исследования уравнения. [c.104]

В работе Зельдовича 1948 г. [13] были изложены основы общего метода численного интегрирования уравнений пламени без ограничивающих предположений нн о зависимости скорости реакции от температуры, ни о соотношении между О и (Х/срр). Большое число опубликованных за последнее десятилетие теоретических работ содержит различные варианты решения уравнений пламени как приближенными методами, так н численным интегрированием с определением как собственного значения, удовлетворяющего уравнениям пламени в заданных граничных условиях. Оставляя вне рассмотрения математическую сторону этих работ, мы коснемся их в дальнейшем лишь в той части, в которой они связаны с кинетической стороной явлений горения — основным предметом настоящего исследования. [c.184]

Уравнения процесса можно классифицировать по роду операции, которую они описывают, по виду самого уравнения или по методике, применяемой для его раскрытия. Для выражения взаимосвязей процесса могут быть использованы различные типы уравнений. В непрерывных длительных процессах можно предполагать относительно постоянными скорости подачи сырья и выхода продукции можно ожидать, что так же мало изменяются давление, температура, концентрация и др. Возмущения могут иметь ступенчатый вид и являться случайными результатами, например, резкого изменения в подаче сырья или в качестве продукции. Основной задачей автоматического управления такими процессами является определение наилучших условий работы в установившихся режимах, поскольку отклонения от этих режимов непродолжительны. Поэтому здесь наиболее предпочтительна математическая модель, состоящая. ИЗ алгебраических уравнений. Эта мпде,аь составляется из энергетического и материального балансов, производительности или обратных ей величин, фазовых соотношений, статических уравнений и других видов уравнений, знакомых химикам. [c.444]

Проблема анализа данных существенно усложняется, если кинетическая модель не может быть выражена линейным соотношением. Математическое определение линейности звучит следующим образом функция / (а, х) линейна относительно а, если дЦда независима от а. Опубликованы компьютерные программы для трех основных методов обработки нелинейных кинетических выражений все эти методы используют процедуру итерации и по этой причине реализуются на сравнительно мощных ЭВМ. Эти методы имеют также другую общую черту — для оценки неизвестных параметров необходимо ввести их исходные приближенные значения. Процедура итерации включает минимизацию остаточной суммы квадратов, как и по методу наименьших квадратов применительно к уравнению линейной регрессии [41]. Бард [42, 43] дал детальный обзор этих методов, а Нэш [44] опубликовал аннотированный библиографический обзор. [c.170]

Не делая пока попыток расширить молекулярную интерпретацию вязкоупругих явлений в полимерах далее тех весьма качественных замечаний, которые сдслаиы в предыдущей главе, перейдем теперь к рассмотрению феноменологической теории линейных вязкоупругих свойств и выведем точные соотношения, с помощью которых каждая из функций, описанных в предыдущей главе (а также в других главах), может быть вычислена из любой другой функции. По этому вопросу имеется обширная литература, и интерес к не.му возникает по нескольким причинам. Прежде всего такие вычисления обычно необходимы для того, чтобы воспроизвести поведение какой-либо функции в большом интерва.те изменения времени или частоты, комбинируя результаты измерений различного тнпа. Большинство кривых, приведенных в гл. 2, получено таким путем. Во-вторых, подобные вычисления имеют практическую ценность, позволяя предсказывать поведение пластика или каучука в определенных условиях, которые могут быть недоступными для прямого эксперимента, на основании измерений, проведенных при других, легче реализуемых условиях. Наконец, феноменологическая теория представляет определенный математический интерес и ее структура может быть представлена в весьма изящно11 фор.ме. Кроме того, она является частным случаем более общей теории линейных преобразований, которая широко используется при анализе электрических цепей. В настоящей главе излагаются основные положения и результаты теории и не затрагиваются более отвлеченные понятия, включающие преобразования Фурье и Лапласа, с которыми читатель может познакомиться в других работах [1—6]. Замечания о выводе уравнений даются лишь для немногих мало известных случаев. Как обычно, все выражения формулируются для деформации сдвига, но аналогичные соотношения имеют место и для объемного сжатия, простою растяжения и т. д. [c.58]

Следует напомнить, что основные уравнения физической химии водных растворов электролитов получены сначала применительно к отдельным ионам с помощью теории межионного взаимодействия, причем использование коэффициентов активности отдельных ионов делает вывод термодинамических соотношений весьма простым. (Это совершенно естественно, поскольку именно ионы являются основными реальными ком- юнентами растворов электролитов). Таким образом, как справедливо отмечает Рязанов [137], возникает парадоксальная ситуация, при которой коэффициенты активности отдельных ионов, не имея с термодинамической точки зрения [19, 138] никакого физического смысла, все же сохраняют в теории определенное положительное значение, по крайней мере, с математической точки зрения. Поэтому представляется вполне обоснованным поиск такого принципа, на основании которого коэффициентам активности отдельных ионов можно будет придать определенный реальный смысл. [c.29]

Таким образом, из сказанного следует вывод, что одним из основных условий эффективного решения поставленной задачи вычисления термодинамических характеристик растворения газов из данных по их растворимости является построение математической модели на основании известных физико-химических соотношений. При этом параметры модели приобретают вполне определенный физический смысл. Наиболее просто и гибко эту проблему решает метод Кларка и Глу [27]. Авторы метода, вполне обоснованно допустив, что К(Т) является аналитической непрерывной монотонной функцией температуры, показали, что и 2 при температуре Т и постоянном давлении могут быть разложены в ряд Тейлора относительно некоторой температуры сравнения 0. В результате Кларк и Глу получили уравнение, выражающее температурную зависимость 1пЛГ [c.227]

Исчерпывающее изучение прочностных свойств полимеров обязательно должно включать математическое описание поверхности и определение системы критериев разрыва. Зависимость между а и е для такой поверхности, описывающей свойства аморфных полимерных тел, может быть выведена из молекулярных или из континуальных механических теорий. В первом случае параметры, входящие в соответствующее соотношение, будут иметь молекулярный смысл, и соответствующие критерии разрыва будут выражаться через свободную энергию цепей, число цепей в единице объема, прочность химических связей и т. д. Во втором случае связь меяоду а и е будет выражаться через коэффициенты основных механических уравнений. Этим коэффициентам заранее нельзя приписать какого-либо молекулярного смысла. Критерии разрыва в этом случае будут просто некоторыми критическими величинами, выраженными в терминах основных уравнений. - [c.287]

Проведенное рассмотрение показывает, что неравновесная термодинамика является мощным инструментом исследования транспортных свойств ионообменных мембран. Основным достоинством этой науки является то, что она позволяет обозреть все явления переноса через мембрану с единых теоретических позиций и стать, таким образом, фундаментом, отталкиваясь от которого, можно проводить более детальное изучение свойств мембраны и мембранных систем. Важным преимуществом является простой математический аппарат, приводящий к линейным уравнениям со сравнительно небольшим числом феноменологических коэффициентов. Не совсем четкий смысл этих коэффициентов, особенно перекрестных, вполне компенсируется параллельным рассмотрением фрикционной модели, приводящей к идентичным уравнениям переноса. Анализ концентрационных зависимостей коэффициентов проводимостиу, сопротивления / ,у и фрикционных коэффициентов А2,ухарактере взаимодействий компонентов мембраны. Что касается количественных оценок с помощью данной модели, то здесь в последние годы достигнут заметный прогресс. Благодаря усилиям многих исследователей, в первую очередь Мирса и Наребской с сотрудниками, решена задача идентификации уравнений переноса ТНП определен набор экспериментов и разработаны методы их обработки, позволяющие численно определять феноменологические коэффициенты переноса в зависимости от концентрации внешнего раствора. Использование этих данных для расчета потоков частиц через мембрану при современном развитии вычислительной техники представляется уже несложной задачей, особенно если воспользоваться концепцией виртуального раствора. Использование этой концепции позволяет заменить при решении дифференциальных уравнений переноса зависимость феноменологических коэффициентов от координаты на их зависимость от концентрации. Необходимо обратить внимание на то, что использование концепции виртуального раствора позволяет существенно упростить постановку и решение сопряженных краевых задач, учитывающих одновременно транспорт ионов в мембране и омывающем ее растворе. Традиционным в такого рода задачах является запись уравнений Нернста-Планка в мембране и окружающих ее диффузионных слоях и в использовании в качестве условий сопряжений на границах мемфана/раствор соотношений Доннана отдельно для скачка потенциала и для скачка концентрации. Применение же уравнений переноса типа (2.123) или (2.151) и выражения (2.129) для градиента потенциала подразумевает использование в качестве условий сопряжения условия непрерывности концентрации и потенциала. Условие непрерывности электрохимического потенциала, лежащее в основе соотношений Доннана, выполняется при этом автоматически. [c.130]

Понятие о разложении Фурье можно считать общеизвестным, Поэтому здесь напоминаются лишь основные соотношения и определения. Математические подробности читатель майдет в любом учебнике. [c.12]

Поэтому, если ф( ) удовлетворяет уравнению (1У.3.14) и первому условию (IV.3.15), то и /( ) удовлетворяет этим соотношениям при любом д. > 0. Это дает возможность свести определение функции ф к решению эадачи Коши для уравнения (1У.3.14). Однако в данном случае нет даже необходимости решать задачу Коши ввиду того, что рассматриваемая задача оказывается в точности математически эквивалентной основной задаче теории пограничного слоя — [c.88]