Ранг матрицы определение

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА КОМПОНЕНТОВ ПО РАНГУ МАТРИЦЫ ОПТИЧЕСКИХ ПЛОТНОСТЕЙ [c.38]

Понятие и определение ранга матрицы см. [9]. [c.92]

В матричной алгебре показывается, что это имеет место, когда ранг матрицы равен d. Для определения ранга матрицы ее преобразуют так, чтобы часть строк состояла из нулей. Число остальных строк, где не все элементы обратились в нули, равно рангу матрицы. Преобразование матрицы коэффициентов для определения ее ранга можно выполнить по следующим простым правилам. Вначале проводят деление первой строки на vu/vn l. Затем, вычитая из строки / первую строку Vij раз, получают матрицу с нулями в первом столбце [c.103]

Говоря об определении числа компонентов по рангу матрицы оптических плотностей, мы до сих пор имели в виду, что спектры чистых компонентов исследователю неизвестны. Если же спектры хотя бы нескольких компонентов смеси заранее известны, то их следует включить в анализируемую матрицу оптических плотностей. При этом повышается вероятность того, что определенное минимальное число компонентов будет соответствовать действительному. [c.55]

Полученные экспериментальные данные используются для нахождения предварительных оценок параметров модели, которые используются для анализа обусловленности системы, определения корреляционных зависимостей параметров и построения плана дополнительного эксперимента. С использованием найденных оценок определяются расчетные значения концентраций компонентов, и находится матрица А. Отметим, что матрица А может быть построена и на основании априорных значений параметров модели, если таковые имеются. Так как точную оценку погрешности е найти трудно, а известна только достаточно широкая область, в которой может быть заключено ее значение, то следует определить е-ранг матрицы (Q (е)) как целочисленную функцию от е в указанной области. Если окажется, что при некотором е матрица А содержит попарно зависимые с точностью до е столбцы, то это означает, что имеются попарно коррелированные между собой параметры. Если коэффициенты линейной зависимости соизмеримы друг с другом, то все параметры коррелированы и не могут быть достаточно надежно оценены раздельно. В первом случае необходимо изменить начальные концентрации тех компонентов, которые существенно входят в линейно зависимые с точностью до е столбцы во втором — для надежной оценки параметров желательно изменить начальные концентрации всех компонентов. Наилучшие условия можно подобрать, максимизируя максимальную величину е, при которой еще сохраняется В (е) = п. [c.451]

Особый интерес представляет определение числа компонентов в за> крытой системе. Согласно уравнению (2.2), в закрытой системе измене ния концентраций компонентов линейно зависимы. Поэтому ранг мат рицы изменений концентраций г (АС) должен быть на единицу меньшй г (С). Следовательно, ранг матрицы изменений оптических плотностей Д0= ЕАС/ тоже должен быть на единицу меньше r(D) (при условии что г(Е) = Пс, т. е. все спектры линейно независимы) [61]. [c.40]

На иную зависимость параметров кинетических уравнений было указано в работе [И]. Был предложен метод определения числа независимых параметров. Метод состоял в численной оценке ранга матрицы Якоби (известно, что эта процедура может сопровождаться значительной ошибкой). В последующем этп вопросы детально анализировались в работах В. Г. Горского и С. И. Спивака [52, 53]. Однако здесь не ставилась задача выделения физико-химических причин появления зависимых и неопределяемых параметров. Наше же последующее изложение посвящено именно этому аспекту. [c.113]

В заключение укажем, что определение числа компонентов по рангу матрицы оптических плотностей представляет собой наиболее общий и строгий способ, при котором объективно используется вся информация, содержащаяся в семействе спектральных кривых. Все изложенные в разделах 2.2 и 2.3 подходы к оценке числа компонентов могут трактоваться как частные случаи анализа ранга матрицы. [c.55]

Рангом матрицы называется максимальный порядок минора матрицы, отличного от нуля. Другими словами, если матрица А имеет минор порядка г, который отличен от нуля, а любой другой минор порядка г + 1 и выше равен нулю, то ранг матрицы равен г. Очевидно, что ранг может быть определен как для квадратной, так и для прямоугольной матриц. [c.564]

Определение 3. Наивысший порядок отличных от нуля миноров называется рангом матрицы А. [c.7]

С точки зрения теории матриц задача определения ранга достаточно тривиальна и может быть решена несколькими способами, в принципе эквивалентными по конечному результату. В случае матриц, образованных экспериментальными величинами, задача осложняется необходимостью учета искажающего влияния погрешностей эксперимента на ранг матрицы. Если такой учет не производить, ответ на поставленную задачу известен заранее — из-за погрешностей эксперимента матрица О никогда точно не является вырожденной (см. раздел 8.1.1) и строго алгебраически ее ранг равен не Пс, а т1п(п5, п%). [c.41]

Первая работа, в которой был развит достаточно простой способ определения ранга матрицы оптических плотностей с учетом погрешностей эксперимента, принадлежит Уоллесу и Кацу [63]. Эти авторы предложили приводить матрицу оптических плотностей к ступенчатому виду, пользуясь стратегией полного упорядочивания (см. раздел 8.1.4). Одновременно с преобразованием исходной матрицы О выполняют преобразование исходной матрицы погрешностей 8. Матрицу 8 составляют таким образом, чтобы каждый ее элемент зц представлял собой с. о. оптической плотности Оц. Все перестановки строк и столбцов, выполняемые в матрице О, в точности копируют в матрице 8. На каждом этапе, когда элементы преобразованной матрицы О рассчитывают по формуле (8.8), элементы преобразованной матрицы погрешностей З рассчитывают по уравнению распространения погрешностей [c.41]

Известны методы определения ранга матрицы оптических плотностей, основанные на нахождении ненулевых собственных значений одной из симметрических матриц вида [c.46]

Несмотря на различия в подходах к оценке погрешностей оптических плотностей, разумную величину ранга матрицы можно получить, опираясь, по-видимому, на любой из них. Гораздо важнее, чтобы использованные в расчете значения погрешностей были взяты не по аналогии с какими-то литературными данными и не из паспорта прибора. Они должны быть определены экспериментально для данного прибора в условиях, максимально приближенных к условиям полученных данных, включенных в анализируемую матрицу оптических плотностей, поскольку зависят от технического состояния прибора и в определенной степени — от методики работы и квалификации работающего. Неучет этого обстоятельства может привести к ошибочному рангу матрицы так, вычисленный ранг одной и той же матрицы оптических плотностей изменяется от 5 до 2 при изменении принятого стандартного отклонения оптических плотностей от 0,004 до 0,05 [83]. [c.55]

При оценке числа компонентов желательно принимать решение на основании не одного, а нескольких способов определения ранга матрицы оптических плотностей [70, 71]. Если использование нескольких способов не представляется возможным, следует применить несколько критериев, возможных в рамках данного способа (например, несколько критериев, подтверждающих число ненулевых собственных значений). [c.55]

Способ 3 (определение числа ненулевых собственных значений). Вычислим матричное произведение А А или АА и для полученной симметрической матрицы найдем собственные значения Хи. .. и т. д. (см. раздел 8.1.3). Число ненулевых собственных значений матриц А А или АА равно нх рангу, который совпадает с рангом матрицы А. Если это удобно для расчета, все элементы матрицы А А или АА можно разделить на любое число, например ва число строк или столбцов в матрице А. [c.163]

Во всех рассмотренных выше способах определения ранга матрицы оптических плотностей пренебрегали корреляцией между погрешностями отдельных элементов матрицы, которая возможна благодаря общим концентрационным погрешностям. Такое приближение является общепринятым [64, с. 94 85, 86], поскольку вклад концентрационных погрешностей в оптическую плотность обычно на порядок меньше, чем вклад погрешностей собственно спектрофотометрического измерения. [c.55]

Далее процедура повторяется для второй строки и т. д. Если, осуществив операции (а) и б) для всех р строк, не получили ни одной строки, все элементы которой равны нулю, все реакции независимы. Если же получено g незначимых строк, то ранг матрицы и число независимых реак1щй равно (р— )> и g реакций можно исключить из рассмотрения. Таким образом, определение числа линейно независимых реакций требует определения коэффициентов V. Это не вызывает затруднений для реакций индивидуальных веществ, но не для превращений технологических групповых компонентов. В последнем случае не обязательно создавать модель процесса, так как значения V,/ можно найти из общих соображений о соотношениях компонентов в ходе процесса. Для иллюстрации этого рассмотрим реакцию каталитического крекинга легкого газойля А, продуктами которой являются бензин А1, таз А2 и кокс Аз- Предположим, что процесс проводится без рециркуляции. При этом можно использовать представления о непревращенном сырье и описать процесс схемами [c.79]

Рассмотрим три наиболее часто встречающихся способа определения ранга матрицы. [c.162]

Для определения остаточного с. о. спектрофотометра За по способу Верпимонта [69] следует несколько раз снять спектры поглощения растворов одного вещества — например, бихромата калия с различными концентрациями. Из полученных данных следует составить матрицу М [уравнение (2.17)] и описанным выше способом определить для нее первое собственное значение Я . Теоретически ранг матрицы М должен быть равен единице. Поэтому остаточное с. о. [c.49]

Число независимых компонентов обычно равно числу присутствующих химических элементов, однако может быть и меньше, если в системе протекают реакции изомеризации, полимеризации или присоединения. Такие случаи наблюдаются при определении ранга матрицы состава. Указанные вопросы обсуждаются Ари-сом и Маем [2]. Число независимых компонентов в одной из систем примера 10.11 меньше числа содержащихся в ней химических элементов. [c.490]

Размерность Г = Мр X Л уч- Ранг матрицы Г совпадает с рангом матрицы Г, так как эти матрицы отличаются нулевыми клетками. Для определения ранга матрицы Г заметим, что каждую строку Ъ матрицы Ва из (11,27) можно представить в виде линейной комбинации всех строк Ъ матрицы В] и тех строк матрицы В (обозначим их через Ъ ), которые дополняют строки В] до базисного набора. Итак [c.36]

Решение. Если исходить из условия, что вопрос о том, образуется ли СО2 и HjQ по второй или третьей реакциям, не имеет значения, то из схемы реакций очевидно, что они линейно зависимы, так как, складывая первую с третьей, получаем вторую реакцию или, вычитая из второй первую, получаем третью реакцию. Следовательно, число линейных независимых реакций равно двум и при определении его через ранг матрицы, величина последнего должна также получиться равной двум. Проверим это. [c.22]

Нетрудно убедиться, что полученная система уравнений для линейно зависимых веществ соответствует п — г возможным химическим реакциям. При этом из п веществ для описания системы реакций необходимо только г веществ. Процедура решения уравнения типа А = В сводится к определению ранга матрицы , а затем к отысканию фундаментальной системы (см. стр. 26). Обсуждение этой процедуры можно найти также в сообщении [190]. [c.24]

Для равновесий, включающих три или более поглощающих частиц, обычно необходимо применять расчетные методы определения ранга матрицы [5—11]. Самый лучший метод пред- [c.37]

Рис, 13.1. Зависимости, используемые для графического определения ранга матрицы для случая со стехиометрическим ограничением в системе тетра-хлоропалладат(П) натрия — хлорид натрия, о —тест на присутствие двух частиц, где 1=274 нм и = 282 нм б — тест на присутствие трех частиц, где /=274 нм, / = 282 нм и /"=297 нм. [c.232]

Аналогичный метод можно использовать для экспериментального определения ранга матрицы Г. При этом опыты падо проводить в режиме, когда обеспечено выполнение стационарности по промежуточным веществам, например в проточно-циркуляционном (безградиент-ном) реакторе. В качестве столбцов матрицы Л К выступают векторы скоростей образования участников реакции при разных опытных условиях. [c.43]

Как А. , так и Яг действительны и положительны. Ранг матрицы должен равняться 2, поскольку в системе существуют два ненулевых собственных значения. Компоненты собственных векторов, связанные с каждым из собственных значений, получаем из определения собственных векторов следующим образом для первого собственного значения [c.196]

Тогда задача определения ранга матрицы В сводится к определению ранга матрицы D. Принципиально оба метода экспериментального определения ранга стехиометрической матрицы эквивалентны, но у последнего имеется некоторое преимуш ество, связанное с большей точностью в определении численных значений элементов экспериментально определяемой матрицы D. Увеличение точности связано с возможностью применения методов планирования эксперимента для получения оценок искомых производных. Так, при применении дробной факторной реплики (в качестве факторов рассматриваем i, Сю,..., ivo) среднеквадратичная ошибка в определении каждого элемента матрицы составляет всего i/y N среднеквадратичной ошибки опыта (т. е. ошибки в определении элементов матрицы С). При использовании дробных реплик происходит всего лишь незначительное увеличение числа опытов по сравнению с первым методом (в качестве уровня —1 для переменной t можно рассматривать значение нуль). Для системы, состоящей от 4 до 7 реагентов включительно, требуется постановка восьми опытов, от 9 до 15 реагентов включительно — 16 опытов и т. д. в соответствии с требованиями дробных реплик (см. гл. П1, 5). В заключение следует отметить, что если концентрации промежуточных реагентов ввиду их крайней реакционной способности пренебрежимо малы и не поддаются количественному замеру, то экспериментальные методы позволяют установить ранг стехиометрической матрицы только для брутто (суммарных) реакций. [c.23]

Для определения ранга стехиометрической матрицы проводятся такие преобразования, чтобы часть строк (столбцов) состояла из нулей, т. е. проводится обнулевка матрицы . Число строк (столбцов), где не все элементы обратились в нули, равно рангу матрицы. В случае стехиометрической матрицы окисления этилена ранг матрицы равен двум, т. е. базис реакции и соответственно число ключевых веществ равно двум. [c.38]

Нетрудно подсчитать, что ранг матрицы (а , ) равен трем, следовательно, фундаментальная совокупность решений системы (3.6.8) состоит из = 5 — 3 = 2 решений. Для их определения примем Дг , ДгПд и Д(Пз за главные, а Дг 4 и ДгП5 за свободные неизвестные. В качестве двух независимых наборов значений свободных неизвестных возьмем столбцы любого не равного нулю определителя второго порядка, например [c.169]

Анализ данных табл. 2.6 с помощью программы TRIANG (разд. 2.4) свидетельствует о присутствии четырех частиц, так как все значения 61, в интервале от 0,001 до 0,01 соответствуют N12+, [Ы1(еп)]2+, [М1(еп)2] + и [Н1(еп)з]2+, что подтверждает результаты, полученные методом изомолярных серий. Совершенно ясно, что если исследования проводятся при достаточно большом числе длин волн, то трудности выявления величин Хщах возрастают, когда в растворе присутствуют три и более частиц. В такой ситуации более надежным следует считать число частиц, определенное с помощью анализа ранга матрицы, а химически правдоподобную модель можно построить на основании сведений о реагирующих соединениях. [c.47]

В данной главе рассматривается система медь(II) —этилендиамин— оксалат [1] с целью иллюстрации того, насколько эффективным может оказаться применение спектрофотометрии для определения как числа, так и природы частиц в системе, а также различных констант устойчивости, характеризующих равновесия в системе. Для установления числа и природы частиц в растворе применимы методы с использованием данных по. изобестическим точкам, метод Жоба (или изомолярных отноще-ний) и метод, основанный на анализе ранга матрицы (см. гл. 2). На основании полученных результатов затем строится химическая модель. Для обработки спектрофотометрических данных с целью расчета констант устойчивости пригоден классический подход, основанный на применении линейных функций, обсуждавшихся в гл. 3. И наконец, эти же данные могут быть обработаны по нелинейному методу наименьших квадратов. Для такого расчета на ЭВМ использована программа DALSFEK, приведенная в приложении III. [c.206]

Отперфорировать NOIN R , число различных матриц ошибок, которые необходимо рассчитать вместе с приведенной матрицей светопоглощения с целью определения ранга матрицы. Формат 13. [c.318]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология