Стационарное вероятность

Первая матрица в квадратных скобках включает векторы стационарных вероятностей. Если учесть, что стационарное распределение не зависит от времени т, то из системы дифференциальных уравнений следует, что ( )=10 =рМ , где р —вектор стационарных вероятностей. [c.653]

Это система уравнений, с помощью которых с учетом условия (7.3.3.1) определяются стационарные вероятности в цепи Маркова. [c.653]

Разумеется, было бы очень удобно, если бы стохастическая эволюция системы в будущем была предсказуема на основе только той информации, которой мы располагаем в настоящий момент времени I относительно состояния х системы и условий в среде (вся эта информация содержится в вероятности значений <). На более строгом математическом языке вероятность того, что система будет находиться в некоторый будущий момент времени / -Ь Л в состоянии у, должна зависеть только от состояния х системы в настоящее время и от стационарной вероятности (плотности вероятности) Р г), описывающей среду, но не от предыстории. Такая ситуация является самым непосредственным стохастическим аналогом детерминированной ситуации, когда решение Х( ) уравнения (3.1) полностью определено, если задано начальное условие Х(0). Указанное свойство является словесным описанием отличительной особенности марковского процесса. Прежде чем переходить к строгому определению этого важного класса случайных процессов, заметим, что система может обладать указанным выше свойством только при условии, если среда полностью характеризуется одномерной плотностью вероятности ps(г), а не бесконечной иерархией п-мерных плотностей вероятности, как в общем случае. Единственным классом [c.91]

Название относится к однородности во времени, К сожалению, это может привести к путанице, потому что процесс может быть однородным в пространстве, т. с, инвариантным относительно сдвигов в пространстве в состоянии у. Поэтому чаше мы будем употреблять длинное выражение .марковский процесс со стационарной вероятностью перехода . [c.92]

Вероятностная интерпретация функционирования комплекса получает реальный смысл лишь в том случае, если известна совокупность объектов, в которой эта вероятность трактуется как доля того или иного признака. Так, в случае комплекса ферментов вероятность того, что комплекс находится в каком-либо состоянии, может быть соотнесена с долей комплексов, находящихся в данном состоянии в ансамбле большого числа невзаимодействующих комплексов. Вместе с тем в ряде случаев возможна и иная интерпретация стационарной вероятности застать комплекс в том или ином состоянии. Эта интерпретация связана с тем, что вероятности состояния комплекса отождествляются в определенном смысле со средними относительными временами пребывания комплекса в соответствующих состояниях [Хинчин, 1963]. Сказанное означает следующее. Обозначим через д]it) величину [c.70]

Рассмотрим пример вычисления стационарных вероятностей. [c.71]

Здесь для простоты обозначений не используются двойные индексы для нумерации плотностей вероятностей перехода Найдем стационарные вероятности. Запишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова согласно правилу (2.55) с1р,/Л = р к -р,к, [c.71]

Приравняв все производные нулю, получим следующую систему алгебраических уравнений для определения стационарных вероятностей [c.71]

В силу указанной выше интерпретации стационарных вероятностей как средних относительных времен пребывания комплекса в соответствуюш их состояниях соотношение (2.69) можно представить в виде [c.72]

Решая систему линейных уравнений относительно стационарных вероятностей состояний, соответствующую схеме (5.45), несложно найти [c.113]

Во-первых, будем предполагать, что стационарные вероятности всех рассматриваемых состояний комплекса отличны от нуля. Для этого, в свою очередь, нужно потребовать, чтобы из каждого состояния комплекса за конечное число шагов можно было попасть в любое другое состояние комплекса (см. гл. 2). [c.121]

Это вьфажение показывает, что отношение стационарных вероятностей состояний комплекса определяется произведением констант равновесия, вычисленных вдоль пути, соединяющего рассматриваемые состояния. Если имеется другой путь, соединяющий эти же два состояния (пусть это будет путь, определяемый состояниями /1, 0, то, последовательно применяя принцип детального равновесия, получим аналогичное выражение [c.122]

Он показывает, что логарифм отношения стационарных вероятностей двух любых (не обязательно соседних) состояний пропорционален разности функции Е от этих состояний. В дальнейшем функцию Е мы будем называть энергией, а ее значение Е = E(i) на /-М состоянии — энергией i-то состояния комплекса. [c.123]

Это соотношение показывает, что стационарная вероятность /-го состояния комплекса пропорциональна величине ехр(- //0). Из полученной формулы особенно отчетливо видно, что изменение уровня отсчета энергия не меняет стационарных вероятностей состояний комплекса. Действительно, замена в вьфажении (6.14) всех членов ехр(- //0) на члены ехр[-( /+ / /О)], где Г — произвольная постоянная, не меняет величины стационарных вероятностей. Существенно отметить, что из равенства химических потенциалов различных стационарных состояний комплекса вытекает справедливость принципа детального равновесия. Действительно, пусть в стационарном состоянии химические потенциалы [c.124]

Предварительно запишем для свободной энергии комплекса несколько иное выражение. Учитывая условие нормировки Ер/ = 1, а также то, что разность энергии двух состояний комплекса согласно формуле (6.9) пропорциональна логарифму отношения стационарных вероятностей этих состояний, для средней энергии комплекса имеем следующее выражение [c.128]

Докажем сначала аддитивность средней энергии комплекса. Рассмотрим разность энергий двух состояний комплекса и воспользуемся равенством (6.9), связывающим между собой разность энергий отдельных состояний комплекса и соответствующие стационарные вероятности [c.132]

Здесь —стационарная вероятность /-го состояния комплекса, [c.134]

Умножив и разделив каждый член этого равенства на значение стационарной вероятности (р1>0), получим следующее соотношение [c.135]

Из неравенства (7.6) вытекает, что стационарная вероятность /-Г0 состояния [c.149]

Мы видим, что стационарная оценка в данном случае является неэффективной. Это значит, что, используя локальный подход, когда вероятность интересующего нас состояния оценивается исходя лишь из уравнения для этого состояния, а в самой оценке фигурируют лишь константы скорости притока и оттока для данного состояния, нельзя рассчитывать на то, что верхняя оценка даст значение, близкое к истинному. Она может лишь указать тот предельный уровень, выше которого стационарная заселенность данного состояния быть не может. Совершенно очевидно, что если стационарная вероятность состояния, переходящего в первое состояние с константой скорости 100, равна нулю, то и вероятность первого состояния также равна нулю. 2. Пусть граф [c.151]

Оценки для стационарных вероятностей [c.157]

Для стационарных вероятностей состояний комплекса могут быть получены оценки, отличные от тех, которые являются предельными для экспоненциальных. Это связано с возможностью использовать для их получения систему линейных алгебраических уравнений относительно стационарных вероятностей. [c.157]

Исходя из формулы (7.1) для стационарных вероятностей можно записать следующую систему линейных алгебраических уравнений [c.157]

Чтобы получить оценку для стационарной вероятности того или иного состояния можно воспользоваться любым уравнением, куда [c.157]

Таким образом стационарная вероятность застать комплекс в /-том состоянии не превосходит суммы всех констант скорости оттока из соседнего по выходу состояния, деленной на сумму этой суммы и константы скорости перехода из /-го состояния в /-е. [c.158]

Более общие, чем полученные выше, оценки можно вывести из условия стационарности для контура у. Для того чтобы можно было получить оценку для стационарной вероятности / /, необходимо, чтобы контур содержал внутри себя интересующее нас состояние / либо чтобы это состояние могло переходить в одно из состояний контура у. Рассмотрим более подробно процесс получения оценок. Пусть интересующее нас состояние / находится внутри контура у и имеется состояние т (вне у, в которое переходит состояние / (рис. 35). Условие стационарности для контура, удовлетворяющего этому требованию, имеет вид [c.159]

Ясно, что выведенные здесь оценки для стационарных вероятностей являются обобщением неравенств (7.7) и (7.32) соответственно. [c.160]

Рассмотренные выше стационарные оценки связаны по существу с условиями стационарности, полученными простым суммированием алгебраических уравнений для стационарных вероятностей. Однако в ряде случаев оценку можно улучшить, если производить суммирование с соответствующими числовыми коэффициентами [c.161]

Таким образом, отыскание стационарных вероятностей может быть сведено к решению системы алгебраических уравнений меньшего порядка, чем исходная. [c.162]

В отличие от (верхних оценок, которые могли быть получены локально, т. е. исходя из условия стационарности либо для интересующего нас состояния, либо для соседних с ним состояний, нижние оценки, как легко видеть, е могут быть локальными и для их получения необходимо по существу использовать условия стационарности для всех состояний комплекса. Это связано с тем, что заселенность состоящий, которые переходят в интересующее нас состояние, может быть нулевой, что приведет к тому, что независимо от величин констант скорости стационарная вероятность этого состояния также будет равна нулю. [c.162]

Пусть константы скорости перехода комплекса из одного состояния в другое таковы, что стационарная вероятность того, что комплекс находится в состоянии /, близка к нулю, т. е. 0. Тогда, как уже указывалось ранее, для упрощения графа состояний необходимо исключить /-тое состояние и пересчитать все константы скорости. Чтобы найти формулы для пересчета констант скорости, нужно из соответствующей системы алгебраических уравнений, отвечающей данному графу, исключить вероятность / /. Нетривиальным здесь является то, что, исключая неизвестное, к нему не возвращаются, чтобы его вычислить, а пренебрегают им, поскольку оно мало. [c.165]

В заключение отметим, что исключение состояний из размеченного графа эквивалентно методу Гаусса исключения неизвестных и поэтому может представлять определенный интерес как метод для вычисления стационарных вероятностей. [c.166]

Несложно найти, что стационарная вероятность застать комплекс [c.172]

Стационарные вероятности состояний можно найти из следующей системы алгебраических уравнений, получающейся из уравнений (8.3) приравниванием производных нулю [c.176]

Вследствие этого в пределе, при 1 оо, для определения стационарных вероятностей имеем систему алгебраических уравнений, получающуюся из соответствующей системы дифференциальных уравнений (2.41) пррфавниванием нулю производных в левой части [c.71]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология