Представления элементов группы матрицами эквивалентные

Каждому элементу симметрии точечной группы можно сопоставить матрицу, выбранную таким образом, чтобы операции между отдельными матрицами удовлетворяли требованиям (6.3) — (6.6) и, следовательно, соответствовали операциям симметрии. Набор матриц для всех операций симметрии образует представление группы Г. Существует бесконечно большое число таких наборов, связанных друг с другом эквивалентными преобразованиями (приводимые представления). Особое значение имеют неприводимые представления, к которым относятся такие матричные представления, которые не приводятся эквивалентным преобразованием к блок-даагональ-ному виду. [c.189]

Напомним, что группа G порядка g имеет g независимых элементов. В случае групп симметрии этими элементами являются операции симметрии. Каждой операции симметрии соответствует некоторое линейное преобразование координат, которое задается матрицей его коэффициентов. Символическому произведению двух операций симметрии соответствует произведение матриц линейных преобразований, описывающих эти операции симметрии. Если речь идет о тождественной операции е, то ей отвечает единичная матрица, обратной операции соответствует обратная матрица. В целом совокупность матриц линейных преобразований, соответствующих элементам данной группы симметрии, сама образует группу, по своим свойствам эквивалентную исходной группе симметрии. Группа, состоящая из матриц л ,- линейных преобразований, однозначно соответствующих элементам некоторой группы, называется представлением этой группы. Число переменных, линейные преобразования которых образуют представление, определяет ранг матриц представления и носит название размерности представления, а совокупность указанных переменных — базиса представления. [c.189]

Необходимо подчеркнуть, что эти функции должны быть нормированы (это указывается двойной вертикальной чертой при записи скалярного произведения). Допустим, что функция ф/ входит в базис неприводимого представления Г) группы С, которому соответствует матрица (ГеС), а функция ф/ входит в базис неприводимого представления Гз, которому соответствует матрица (7еС). Когда оба неприводимых представления совпадают, мы будем считать, что они полностью идентичны, а не только эквивалентны. В более широком смысле будем считать функции идентичными и тогда, когда они по-разному нормированы (поскольку в данный момент нас интересуют лишь их свойства симметрии). Выражение (6.59) представляет собой скалярное произведение (число), поэтому действие оператора преобразования симметрии Т на матричный элемент Му не изменяет его значения с использованием (6.49) можно записать [c.134]

Таким образом, матрицы представления Г суть унитарные матрицы. Можно доказать, что все возможные представления каждой группы О (в том числе и не обязательно группы точечной симметрии) эквивалентны ее унитарным представлениям, другими словами, при подходящем выборе базиса матрицы любого представления переходят в унитарные матрицы, а потому при рассмотрении представлений достаточно ограничиться лишь унитарными представлениями. Среди всех унитарных представлений всегда есть единичное, или полносимметричное, в котором каждому элементу группы отвечает одна и та же матрица размерности 1 х 1, а именно единица. [c.201]

Поскольку представление, соответствующее единичному элементу группы, изображается диагональной eAHHH4Hqn матрицей, то характер этого представления всегда равен размерности представления. Характеры эквивалентных представлений, т. е. представлений, отличающихся преобразованием подобия (Д, 2), совпадают. Характеры неприводимых неэквивалентных представлений взаимно ортогональны [c.691]

При решении некоторых задач полезно знать матрицы, соответствующие операциям конечной группы в данном неприводимом представлении. В одномерных неприводимых представлениях матрицами являются матрицы вида 1 X 1> т. е. такие матрицы совпадают со своими характерами. Среди 32 точечных групп встречаются неприводимые представления, размерности которых равны двум или трем. Мы знаем, что неприводимое представление полностью определено, если известны матрицы, отвечающие производящим элементам группы в самом деле, соответствующая группа матриц должна удовлетворять той же самой таблице умножения, что и элементы группы. Следует сразу же заметить, что совокупность матриц представления не является единственной совокупность матриц, которая получается из первоначальной путем одного и того же преобразования подобия (эквивалентные матрицы), также образует эквивалентное представление, в принципе ничем не отличающееся от исходного. В табл. В.9 приведены матрицы, соответствующие производящим элементам 32 точечных групп. Мы выбрали для них действительные значения, сгруппировав пары комплексно-сопряженных представлений (объединенных фигурными [c.368]

Поскольку след матрицы инвариантен ко всем унитарным преобразованиям [см. (4.130)], все эквивалентные представления [т. е. те, которые удовлетворяют соотнощению (6.35)] имеют одинаковый характер. Это позволяет объединить все эквивалентные (физически идентичные) представления в одну совокупность. Более того, из тех же соображений [см. (6.42)] очевидно, что все элементы одного класса группы должны иметь одинаковый характер и что, следовательно, характер является свойством данного класса эквивалентных элементов. Далее, характер матрицы приводимого представления можно выразить в виде суммы характеров входящих в него представлений, как это непосредственно вытекает из равенств (6.38) и (6.40). [c.128]

Согласно теории групп все молекулы делятся на группы симметрии в зависимости от наличия у них элементов симметрии, например осей, вращение вокруг которых на угол 2я1п (п— Целое число) переводит молекулу в эквивалентное положение плоскостей, отражение в которых дает тот же результат центра симметрии, инверсия в котором (операция, при которой точка с координатами х, у, z переходит в точку с координатами —X, —у, —z) дает тот же результат. Группы симметрии характеризуются так называемыми неприводимыми представлениями (НП) — наборами матриц, показывающих, как преобразуются функции при операциях симметрии, и характерами НП — суммами диагональных элементов матрицы. [c.43]