Эквивалентные положения в элементарной ячейке

Представим себе, например, две идентичные молекулы, эквивалентные в элементарной ячейке (I и И на фиг. 9.2), положения равновесия которых симметричны относительно оси второго порядка С . Пусть Мх — электрический дипольный момент, возникающий при каком-то фундаментальном колебании молекулы I. Операция симметрии переводит его в Мц (фиг. 9.2,а). Мы видим, что результирующая молекулярных моментов имеет составляющую вдоль оси, а составляющая в плоскости, [c.241]

А, й = 89,6 А и с = 52,1 А элементарная ячейка содержит четыре молекулы UFe. Октаэдрическая структура молекулы в ней несколько искажена, и положения атомов фтора не эквивалентны. Это искажение обусловлено тем, что в кристаллическом поле молекулы обмениваются своими атомами фтора это подтверждается данными по ядерному магнитному резонансу (ЯМР) [c.118]

Указанная особенность спектров ЭПР пирамид <г>-кристал-лов кварца с аномально плеохроичной дымчатой окраской свидетельствует о различии заселенности примесными ионами алюминия трех эквивалентных положений кремния в элементарной ячейке кварца. Исследование спектров ЭПР для образцов синтетического кварца с дымчатой окраской, приготовленных из различных пирамид роста, показало, что отношение интенсивностей различных групп линий непосредственно зависит от собственной симметрии грани, сформировавшей данную пирамиду роста. Так, для пирамид ромбоэдра <г> и , имеющих собственную симметрию 1, спектр ЭПР состоит из трех пар групп линий с различной интенсивностью для пирамид <+х> с симметрией [c.73]

Теперь можно найти набор базисных функций, соответствующих симметрии решетки. Симметрию пространственной группы, за исключением трансляционной симметрии, дает фактор-группа, которая составлена из всех осей и плоскостей (включая винтовые оси и плоскости скольжения) и центров симметрии пространственной группы с условием, что все положения кристалла, которые трансляционно эквивалентны, рассматриваются как идентичные. (Фактор-группа является группой всех смежных классов подгруппы трансляций пространственной группы и часто называется группой элементарной ячейки.) Составим комбинации локализованных экситонов, которые являются представлениями фактор-группы [c.579]

Большую ценность представляет определение абсолютной массы содержимого одной элементарной ячейки кристаллической структуры. Размеры элементарной ячейки можно измерить, если это необходимо, с очень высокой точностью (ошибка составляет менее 0,01%). Труднее измерить плотности, но суммарная ошибка измерений может быть до 0,1% массы элементарной ячейки (без слишком большой экспериментальной работы). Помимо определения абсолютной массы ячейки, по кристаллическим структурам можно получить информацию относительно возможного содержания ячейки и другим путем. Пространственная группа симметрии, природа и многообразие эквивалентных допустимых положений узлов и основные требования, состоящие в том, что интенсивность наблюдаемых отражений Х-лучей должна соответствовать, в приемлемых пределах, интенсивности, рассчитанной для предполагаемой кристаллической структуры все это дает определенную сумму сведений, которые должны находиться в соответствии с какой-либо предполагаемой химической формулой. Так, независимо от наличия других молекул, в любую формулу должны быть включены 46 молекул воды на единицу клеточной структуры гидратов типа I. Если размеры элементарной ячейки [c.421]

Как было показано в разделе Зж, для расчета молекулярного веса структурной единицы можно воспользоваться данными рентгенографии и измеренными значениями плотности. Величина, полученная на основании измерений плотности, будет в / раз больше массы отдельной молекулы [уравнение (3-9)1, где /—целое число, кратное количеству эквивалентных положений в элементарной ячейке. Цифры, приведенные в трех последних графах табл. 1, [c.75]

С помощью наборов соответствующих элементов симметрии можно описать- не только идеальную форму кристалла, представив ее в стереографической проекции, но и 7 кристаллических систем, 14 решеток Браве и симметрию структуры кристалла относительно точки, являющейся началом координат элементарной ячейки. Можно показать, что а) путем комбинации элементов симметрии 14 решеток Браве и 32 точечных групп и б) путем введения двух новых элементов симметрии — плоскостей скольжения и винтовых осей — получится 230 так называемых пространственных групп , которые описывают симметрию всех возможных положений эквивалентных точек в кристаллах. [c.18]

Р и с. 43. Эквивалентные положения в элементарной ячейке. [c.184]

Согласно классической структурной теории, атомы расположены в определенных точках решетки в соответствии с симметрией одной из 230 пространственных групп. Отсюда следует, что все элементарные ячейки должны содержать одно и то же число тех же самых и одинаково расположенных атомов. Теория требует также, чтобы данный ряд эквивалентных положений был занят, и притом занят полностью, атомами одного и того же вида. Экспериментально установлено, что некоторые кристаллы не удовлетворяют этим условиям, причем говорят, что такие кристаллы имеют дефектную решетку. Сначала эти случаи рассматривались как исключительные, теперь же известно, что к этому типу принадлежат многие кристаллы, и хоть на первый взгляд может показаться, что они представляют интерес больше для кристаллографа. [c.185]

На основании изложенного выше и рис. 7.6, можнО придти к выводу, что в элементарной ячейке с частицами, расположенными в соответствии с пространственной группой Р2 1с, имеются четыре эквивалентных положения, внутренняя связь между которыми определяется элементами симметрии. В таком случае говорят, что кратность пространственной группы равна четырем. За исключением пространственной группы Р, которая вообше не имеет симметрии, и пространственных групп с единственной осью вращения или винтовой осью третьего или четвертого порядка, кратность группы должна быть четной и для некоторых, наиболее симметричных, пространственных групп она может достигать 192. [c.151]

Элементарные ячейки с отмеченным выше расположением осей удовлетворяют требованиям точечной симметрии. Существуют, однако, дополнительные типы ячеек, которые также удовлетворяют этим требованиям. Они описываются обычно введением дополнительных узлов решетки в ячейки тех стандартных. типов, которые приведены выше. Такие дополнительные узлы могут появиться в центре ячейки либо в центре одной или всех ее граней (рис. III.4). Если узлы решетки находятся только в вершинах элементарной ячейки (как это предполагалось выше), то ячейка называется примитивной (обозначается символом Р). Если в центре ячейки появляется дополнительный узел, то ячейка называется объемноцентрированной (символ I). Если узел появляется в центре одной из граней ячейки, то она называется базоцентрированной (символ С), а если все грани, центрированы, то — гранецентрированной (символ F). В гексагональной системе все оси ячейки могут быть равны по величине и направлены под одним и тем же углом а одиа к другой. Такая ячейка носит название ромбоэдрической (обозначается символом В). Ее можно получить из обычной гексагональной ячейки, добавляя два дополнительных узла решетки на одной из более длинных диагоналей ячейки в эквивалентных положениях Весь набор четырнадцати возможных типов элементарных ячеек приведен на рис. III.4. [c.765]

На рис. 65 показаны эквивалентные положения в элементарной ячейке, и поскольку координата г атома таллия равна нулю, все четыре атома таллия лежат на грани С элементарной ячейки. [c.175]

Соединения состава MXg и MjX имеют различные координационные числа катиона и аниона. Это обстоятельство допускает большое число возможных расположений структурных единиц, но только два из этих расположений особенно распространены для ионных соединений структура флюорита aFj и структура рутила TiOa- Образованию первой структуры благоприятствует значение отношения радиусов, большее 0,732, а образованию второй —интервал значений от 0,414 до 0,732. Хотя исключения из этого правила довольно часты, оно все же в общем справедливо и структура флюорита характерна главным образом для кристаллов с небольшими фторидными анионами. Примечательно, что эта структура обнаружена у фторидов щелочноземельных металлов кальция, стронция, бария, а также кадмия, ртути и свинца. На рис. 6-64 изображена структура флюорита и отчетливо видна тетраэдрическая координация анионов. Эту структуру можно рассматривать как кубическую гранецентрированную решетку в отношении катионов, причем каждый из них, находящийся в центре грани гранецентрированной элементарной ячейки, ассоциирован с четырьмя анионами, расположенными внутри ячейки. Очевидно, дополнительно четыре аниона будут в эквивалентном положении в соседней ячейке. Таким образом, около каждого катиона имеется кубическое расположение анионов, его ближайших соседей, и они обусловливают для него координационное число 8. Антифлюоритовую структуру имеют халь-когениды лития, натрия и калия (в отличие от структуры флюорита положительные и отрицательные ионы взаимно заменены). [c.273]

Обычно уточняют только те координаты, которые характеризуют независимые положения атомов в элементарной ячейке. Эквивалентные положения, характерные для пространственной группы (они приведены в первом томе Интернациональных таблиц ), можно представить с помощью матрицы вращения Я и вектора трансляции t, которые и используются в программе для определения координат эквивалентных атомов. [c.240]

Рассмотрим кристалл, физические свойства которого согласуются с наличием плоскости симметрии, оси 2-го порядка, центра симметрии и, как у любой замкнутой группы, операции идентичности. Порядок пространственной группы равен четырем. Если мы определим (или знаем) положение одного атома, элементы симметрии пространственной группы определят положение в общей сумме четырех эквивалентных атомов. Таким образом, необходимо определить положения атомов в четвертой части всего объема этой элементарной ячейки, в асимметрической ячейке, и можно быть совершенно уверенным, что элементы симметрии этой пространственной группы и трансляции решетки образуют оставшуюся часть структуры. Теперь становится очевидным, почему важно знать число 2 молекул, содержащихся в элементарной ячейке. (2 легко определяется из параметров решетки, молекулярного веса и плотности кристаллов,, как показано в следующем упражнении.) [c.35]

В данной главе за элементарную ячейку принимается минимальный, объем кристалла, при помощи которого и операций трансляции вдоль соответствующим образом выбранных осей порождается вся решетка ). Кристаллографы часто выбирают единичные векторы элементарной ячейки, исходя из соображений симметрии, хотя в этом случае иногда элементарная ячейка не является примитивной. Число примитивных ячеек, содержащихся в кристаллографической элементарной ячейке, можно легко определить для любой пространственной группы из рассмотрения симметрии кристалла или из кратности эквивалентных положений в элементарной ячейке [49]. [c.368]

По характеру угловых зависимостей и их амплитуде можно сказать, что четыре атома А1 в элементарной ячейке эдингтонита (см. рис. 23) упорядоченно располагаются в эквивалентных позициях, связанных по меньшей мере двумя взаимна перпендикулярными осями второго порядка, параллельными [001] и [100]. Наличие оси второго порядка, параллельной [100], вытекает из того, что две проекции главных осей тензоров ГЭП на (001) составляют один и тот же угол (2,5°) с [100]. Заметим, что данный результат может быть также следствием наличия плоскости симметрии, параллельной (010), поскольку ЯМР не может различать ось второго порядка и плоскость. Кроме того, при вращении образца вокруг оси С получаем лишь две кривые зависимости положений боковых компонент, а не четыре, что должно иметь место для четырех атомов в ячейке в отсутствие данного элемента симметрии. [c.64]

Положение атома в элементарной ячейке задается его координатами х, у и 2 вдоль ребер элементарной ячейки а, Ь я с (следует отметить, что здесь X, у п 2 яе являются декартовыми координатами, а измеряются в направлениях ребер элементарной ячейки). Атом в вершине угла элементарной ячейки имеет координаты О, О, О и объемноцентрирован-ное положение 72, 7а, 72- Если атом находится в точке х, у и г, то он должен также находиться в каждой другой точке, эквивалентной первой при операциях пространственно-групповой симметрии. Например, если в объемноцентрированной решетке атом находится в точке х, у, г, имеется эквивалентный атом в точке Х+У2, У+Чи, 2+72- В кристалле узел решетки необязательно занят атомом или молекулой, но он представляет повторяюшуюся единицу. [c.570]

Гранецентрированная решетка имеет четыре эквивалентных положения в элементарной ячейке, связанных с чисто трансляционной симметрией. В гранецвнтрированной кубической решетке (рис. 19.9, б) в центре каждой грани элементарной ячейки имеются узлы, помимо узлов, расположенных в вершинах углов. Половина узлов гранецентриро-ванной решетки и одна восьмая узлов в вершинах углов решетки принадлежат элементарной ячейке, составляя в сумме четыре узла на ячейку. Отсюда эквивалентными положениями будут xyz V2+-K, [c.575]

На рис. 291 изображена ячейка с четырьмя эквивалентными положениями — а, Ь, с, d. Если все эти положения занимают одинаковые атомы (например, атомы железа), то рисунок будет изображать 8 элементарных ячеек структуры a-Fe. При составе 50 ат.% Fe и 50 ат.% А1 атомы Fe занимают положения а и Ь, а атомы AI — end. В этом случае рисунок изображает 8 элементарных ячеек интерметаллического соединения FeAl, кристаллизующегося в структурном типе s l. Если к чистому железу постепенно прибавлять все большее и большее количество алюминия, то в закаленных сплавах (соответствующих состоянию сплава при высоких температурах) в интервале от О до 25 ат. % А1 наблюдается чисто статистическое распределение атомов алюминия в структуре железа, т. е., иначе говоря, имеет место типичный твердый раствор. Вероятность встретить атом А1 в положениях а, Ъ, с или d пропорциональна количеству растворенного алюминия. На рис. 292 эта зависимость изображается прямой линией (7, 2). По оси абсцисс отложен состав сплава в атомных процентах А1 по оси ординат — вероятность нахождения атомов А1 в каком-либо положении — а,Ъ, с или d, выраженная в процентах. [c.299]

Основным типом точечных дефектов ионных кристаллов являются катионные и анионные вакансии (рис. 55). Легко сообразить, что эти вакансии различаются не только своим положением в элементарной ячейке кристаллической решетки, но и электрическими свойствами. Действительно, отсутствие положительного иона в кристаллическом узле (катионная вакансия) с точки зрения распределения электрического заряда эквивалентно появлению в этом узле отрицательного заряда. Следовательно, катионная вакансия в кристалле выступает как отрицательно заряженный точечный дефект. Аналогично, анионная вакансия несет эффективный положительный заряд. Пара вакансий противоположного знака в ионном кристалле получила название дефекпш Шоттки. [c.179]

На рис. 255 изображена ячейка с четырьмя эквивалентными положениями — а, Ь, с, d. Если все эти пО Ло<жения занимают одинаковые атомы (например, атомы железа), то рисунок будет изображать 8 элементарных ячеек Структуры а-Ее. При составе 50 ат. % Ее -и 50 ат. % А1 атомы Ее занимают положения а и Ь, атомы А1 — end. В этом случае р исунок изображает 8 элементарных ячеек интерметаллического соединения FeAl, кристаллизующегося в структурном типе s L Если к чистому железу по степенно прибавлять все большее и большее КО ЛИ-чество алюминия, то в закаленных сплавах (соответствующих состоянию сплава при высоких температурах) в интервале от О до 25 ат. % А1 [c.285]

Ширины линий существенно изменяются под влиянием обменных процессов. Этот эффект также можно ослабить путем разбавления. Если обмен происходит между эквивалентными ионами, линии расширяются у основания и становятся уже в центре. Если в обмене участвуют неодинаковые ионы, резонансы отдельных линий сливаются с образованием одной широкой линии. Такой эффект наблюдается в Си304 5НгО, где в элементарной ячейке имеются два неэквивалентных положения атомов меди [19]. [c.377]

В качестве примера представления пространственных групп в этих таблицах рассмотрим группу № 20, С222 . Символ пространственной группы показывает, что элементарная ячейка является С-гранецентрированной и что имеются две поворотные оси 2-го порядка вдоль направлений а и Ь и одна винтовая ось 2-го порядка вдоль направления с. В пространственной группе С222 все три оси 2-го порядка пересекаются в узле, тогда как в группе С222 узел находится на пересечении осей 2121, а поворотная ось второго порядка вдоль направления Ь проходит на /4 выше по оси с. На рис. 5 показаны эквивалентные общие положения для этой пространственной группы. Если [c.21]

Координаты атома платины в кристаллах Pt (NHg)2 ia [16]. Максимумы на патерсоновской карте, представляющие векторы между тяжелыми атомами в реальном пространстве, вместе с данными о координатах эквивалентных положений в элементарной ячейке (их можно найти для каждой пространственной группы в первом томе Интернациональных таблиц ) позволили однозначно определить координаты тяжелого атома. С другой стороны, в элементарной ячейке могло быть несколько положений атомов, которые дают одни и те же пики на патерсоновской карте. На рис. 58 и 59 показаны проекции Патерсона вдоль осей а и f и соответствующие им проекции положений атомов в элементарной ячейке соединения цис-Pi (МНз)2С12- Пространственная группа кристалла есть PI, в ячейке — две молекулы. Координаты [c.155]

Атом меди в комплексном соединении медь—гли-цил-Ь-глутаминовая кислота [60]. Пространственная группа кристалла есть 222i, эта группа не имеет центра симметрии. Элементарная ячейка содержит 8 атомов меди. Координаты четырех эквивалентных положений следующие [c.158]

Любая точка в кристалле имеет позиционную симметрию, описываемую одной из 32 точечных групп симметрии. Большинство точек в кристалле занимают, конечно, общие положения в элементарной ячейке и обладают тривиальной симметрией С. Однако некоторые особые положения, или места, могут лежать на одном или нескольких элементах симметрии, которым соответствуют операции симметрии, оставляющие их на своих местах, то есть эти точки инвариантны по отношению к этим операциям. Следуя Халфорду [57], точечные группы, которые описывают позиционную симметрию в элементарной ячейке, называют группами позиционной симметрии. Необходимо подчеркнуть, что эти группы включают все элементы симметрии, оставляющие это положение инвариантным. Любая точка данного положения в элементарной ячейке переводится в эквивалентную точку с той же позиционной симметрией при операциях, которые не являются операциями точечной группы, а под действием этих операций порождаются элементы симметрии, которые не совпадают с элементами симметрии этой точечной группы. Поэтому в любой элементарной ячейке имеется конечное число особых позиций с одной и той же позиционной симметрией. Всевозможные позиционные симметрии и соответствующие эквивалентные положения табулированы [49] для любой из 230 пространственных групп. [c.377]

По данным рентгеноструктурного анализа, пространственная группа кристалла — Т РтЪ) и элементарная ячейка содержит одну формульную единицу. Каждый из ионов МОГ. крордини-рующих с центральным ионом металла, занимает положение с симметрией и участвует в образовании семейства из 6 эквивалентных ионов (фиг. 9.3). Таким образом, они сохраняют симметрию, характерную для них в свободном состоянии. Обозначим положения, которые занимают эти ионы, буквами а, Ь, с, [c.244]

Смотреть страницы где упоминается термин Эквивалентные положения в элементарной ячейке: [c.405] [c.575] [c.393] [c.124] [c.52] [c.272] [c.146] [c.75] [c.184] [c.195] [c.195] [c.197] [c.383] [c.650] [c.226] [c.161] [c.7] [c.242] [c.337] [c.200]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология