Обратная операция симметрии

Если при выполнении какой-либо операции симметрии некий элемент объема с определенными свойствами переходит в другой элемент объема, некоторое свойство которого имеет ту же численную величину, но обратный знак, то такой элемент объема антисимметричен относительно данной операции симметрии и соответствующего ей элемента симметрии. [c.87]

Во второй графе справа помещены символы, соответствующие трем поступательным и трем вращательным движениям молекулы. Каждый из них помещен в одной строчке с набором характеристик, соответствующих трансформационным свойствам данного движения. Так, например, если молекула Н2О помещена в описанную выше систему координат и претерпевает перемещение в направлении г, мы можем ассоциировать это перемещение с вектором вдоль оси г. Легко видеть, что после осуществления любой из четырех операций симметрии этот вектор остается без изменений. С другой стороны, рассмотрим перемещение в направлении у, ассоциируемое с вектором вдоль оси у. Очевидно, что после операции Е этот вектор остается неизменным. Аналогично он не изменяется и после операции <У уг), так как лежит в плоскости уг. Однако если мы осуществляем операцию симметрии Сг или а , хг), мы изменяем направление этого вектора на обратное, или, другими словами, превращаем его в такой же вектор, но с отрицательным знаком. По этой причине символ Ту помещен в последнюю строчку таблицы характеров, которая, очевидно, соответствует только что описанным трансформационным свойствам. [c.289]

Как видим, каждому преобразованию симметрии системы можно поставить в соответствие некоторую матрицу-оператор. При этом обратному преобразованию симметрии соответствует обратная матрица, последовательному применению двух операций симметрии — произведение соответствующих матриц, а тождественному преобразованию — единичная матрица. Таким образом, геометрические свойства симметрии оказываются полностью переведенными на язык матриц-операторов, который является существенным при использовании теории групп в квантовомеханических исследованиях. [c.53]

Равенство нулю интеграла (I. 13) может быть установлено сравнительно легко на основе свойств симметрии системы. При помощи специального аппарата теории групп этот вопрос решается непосредственно (раздел IX. 6). Можно это сделать и без знания теории групп. Для этого, зная расположение в пространстве функций фА и фв, можно установить те повороты и отражения молекулы (операции симметрии, гл. IX. 9), которые не меняют эти функции или меняют их знак на обратный. Если среди них найдется хотя бы одна такая операция, при которой только одна функция меняет знак, а другая нет, то 5дв = 0. [c.30]

Каждая молекула обладает определенным набором операций симметрии, т. е. таких перемещений в пространстве, в результате которых полученная конфигурация атомов неотличима от исходной. Для спектроскопии интерес представляют такие перестановки, которые сохраняют неизменным положение одной точки молекулы — ее центра тяжести. Такие операции симметрии называются операциями точечной симметрии и исследуются математически с помощью теории точечных групп. Операциями точечной симметрии являются отражение в центре инверсии, т. е. замена знаков координат всех ядер на обратные (если начало координат находится в центре тяжести), отражение в плоскости симметрии, поворот вокруг оси симметрии на угол, представляющий собой долю полного угла. Если молекула не меняется при повороте на угол 360°/п, она имеет ось симметрии га-го порядка. В соответствии с возможными для молекулы операциями симметрии говорят о наличии у молекулы элементов симметрии — центра инверсии , плоскостей симметрии а и ал, осей вращения п-то порядка С . Символ означает, что плоскость симметрии проходит через ось вращения, ал — что она перпендикулярна оси. Кроме того, для математической полноты группы вводится единичный элемент симметрий /, который показывает, что над молекулой не производится никаких операций. [c.13]

Отражение в плоскости можно представить как изображение в зеркале, плоскость которого совпадает с плоскостью Х1. В таком изображении движение в плоскости зеркала или в плоскости параллельной плоскости зеркала сохраняет свое направление, а движение перпендикулярное этой плоскости меняет его. Соответственно сказанному, отражение в плоскости У меняет знак на обратный, х = —х. = —1)х. Мы видим, что интересующее нас свойство — перемещение молекулы вдоль оси X — либо не меняется при операциях симметрии, либо меняет знак. [c.14]

Нормальное колебание называется симметричным ( ) по отношению к данной операции симметрии, если при ее выполнении все амплитуды естественных координат или векторы смещений атомов не меняют знака и абсолютного значения (умножаются на +1). Колебание антисимметрично (аз) относительно операции симметрии, если при ее выполнении знак смещений меняется на обратный (умножение на —1). Нормальное колебание, симметричное относительно всех операций симметрии, образующих точечную группу, к которой принадлежит молекула, называется полносимметричным. Все остальные типы нормальных колебаний не полно симметричные или дважды (Е), или трижды [Р) вырожденные. При вырожденных колебаниях операция симметрии переводит одну форму колебаний в другую, т. е. векторы смещений умножаются на числа не все равные 1 или все неравные I. [c.195]

При выводе формулы (2.14) особое внимание уделялось тем операциям симметрии пространственной группы, вращательная часть которых, единственно действующая на волновой вектор, оставляет последний инвариантным или преобразует его в эквивалентный вектор я -(- Кл, где по формуле (4.34) из гл. 3 величина Кл/2л — трансляция обратной решетки. Действительно, эти операции преобразуют каждую координату совокупности 35 координат а(/,я) (а = х,у,г / = 1, 2,. .., 5) в линейную комбинацию координат этого же волнового вектора. [c.103]

Матрица Р, которой определяются преобразования вектора при операции симметрии Р, ортогональна, для нее существует обратная матрица такая, что [c.227]

Каждой операции симметрии соответствует обратная операция, переводящая преобразованную конфигурацию в исходную. Так, повороту С(ф) на угол ф обратной операцией является поворот С(—ф) на угол —ф [c.140]

Напомним, что группа G порядка g имеет g независимых элементов. В случае групп симметрии этими элементами являются операции симметрии. Каждой операции симметрии соответствует некоторое линейное преобразование координат, которое задается матрицей его коэффициентов. Символическому произведению двух операций симметрии соответствует произведение матриц линейных преобразований, описывающих эти операции симметрии. Если речь идет о тождественной операции е, то ей отвечает единичная матрица, обратной операции соответствует обратная матрица. В целом совокупность матриц линейных преобразований, соответствующих элементам данной группы симметрии, сама образует группу, по своим свойствам эквивалентную исходной группе симметрии. Группа, состоящая из матриц л ,- линейных преобразований, однозначно соответствующих элементам некоторой группы, называется представлением этой группы. Число переменных, линейные преобразования которых образуют представление, определяет ранг матриц представления и носит название размерности представления, а совокупность указанных переменных — базиса представления. [c.189]

Аналогичные применения различных операций к вращению вокруг осей х у дают одинаковые наборы характеров, а значит, и одинаковые типы симметрии. К сожалению, вращение вокруг оси г не имеет для молекулы физического смысла,.тем не менее если мы рассмотрим кусок трубки с осью Соо, то легко можно наблюдать вращательное движение вокруг продольной оси и заметить, что оно остается неизменным при действии операции симметрии С >, но меняется на обратное при любом Ov В записи, которую мы использовали ранее, полностью симметричные типы следует обозначать через Ai, преобразования вращательного движения вокруг г —через Лг и смещения трансляций или вращений — через Е (или, лучше, j, так как существуют и другие Е). На деле, однако, используются обозначения, заимствованные из квантовой механики, которая в свою очередь переняла их из ранних обозначений атомной спектроскопии. Волновая функция, относящаяся к одному из типов, которые по нашему обозначению следовало бы назвать Л, не имеет углового момента относительно оси z. В случае атома функция, не имеющая углового момента, называется s (для одного электрона) или S (для многих). Подобным же образом для линейной молекулы мы используем греческий эквивалент а или S. У атома вырожденная функция первого типа имеет угловой момент, равный единице, и называется р или Р в случае молекулы вырожденные функции обозначаются я или П. Таким образом, поступательное движение вдоль оси Z и вращение вокруг нее относятся к типу S мы, однако, видели, что эти две функции относятся к разным типам. Чтобы отличать их друг от друга, их обозначают через Е+ и Е" в зависимости от их поведения (симметричного или антисимметричного) по отношению к Ov Из вырожденных типов рассмотрим пока только П. (Здесь никаких знаков + или — не нужно.) [c.119]

В этом случае можно разделить собственные функции оператора Н на два класса в зависимости от того, будут ли они симметричными или антисимметричными по отношению к операции Симметрии, симметричные функции при действии операции симметрии не меняются, тогда как антисимметричные функции меняют знак на обратный. [c.80]

Рассматривая вместе все операции симметрии, которые переводят молекулу саму в себя, включая в их число также и тождественную , или единичную , операцию, которая оставляет молекулу на месте, мы получаем группу. Операции симметрии являются элементами этой группы. Для любых двух из них (А, В) существует элемент группы С=АВ, называемый произведением В на А, причем по определению действие С на функцию эквивалентно действию на нее сначала В и потом А (такое условие очень важно, так как часто АВ=7 =ВА). Группа содержит элемент идентичности (обычно обозначаемый через Е), такой, что имеем ЕА=А для любой операции А. Для любого элемента А из группы существует обратный элемент, обозначаемый как А , который полностью аннулирует действие А, т. е. А А=Е. В рассматриваемом случае мы имеем дело с точечными группами, элементами которых являются про- [c.348]

Если среди элементов группы симметрии молекулы нет осей вращения порядка выше второго, то такая группа всегда является абелевой. Из табл. 8.2 видно также, что, так как на главной диагонали стоит элемент /, каждый из элементов группы равен своему обратному. Операции [c.126]

Если молекула обладает симметрией, то и все формы ее нормаль ных колебаний (типы смещений атомов из равновесного состояния) можно также характеризовать определенными свойствами симметрии, так как колебания совершаются около положений равновесия. Каждая форма нормального колебания определенным образом преобразуется при выполнении той или иной операции симметрии. Существуют три случая поведения нормального колебания по отношению к любой операции симметрии 1) нормальное колебание остается неизменным 2) оно изменяет знак на обратный 3) оно переходит в другую форм нормального колебания. В первом случае нормальное колебание оказы-вается симметричным, во втором — антисимметричным и в третьем — вырожденным колебанием по отношению к данной операции симметрии. Нормальные колебания, симметричные ко всем элементам симметрии, называются полносимметричными, а колебания, вырожденные хотя бы по отношению к какому-либо одному элементу симметрии, называются вырожденными (дважды и трижды в зависимости от числа независимых форм колебаний). [c.182]

Обобщенные проекции—см. взвешенные проекции Обратная решетка—98, 99, 315 Обратное пространство—см. дифракционное пространство Обрыв ряда Фурье—514, 537, 539, 561, 580, 601, 604, 606 Однопараметрическая структура—метод решения—226 Операции симметрии и антисимметрии- 334, 346, 366, 438 Опорные отражения—289 Оптические методы суммирования рядов Фурье—407 [c.622]

Таким образом, при действии операций симметрии, допускаемых равновесной ядерной конфигурацией, электронные-вол овые функции либо остаются неизменными (полносимметричные), либо только меняют знак на обратный (антисимметричные), либо (в случае вырожденных состояний) переходят в линейную комбинацию нескольких функций, описывающих эти вырожденные состояния. [c.365]

Аналогичны результаты применения операций симметрии С., о и а, допускаемых равновесной конфигурацией ядер симметричной нелинейной молекулы АХг, к смещениям ядер в трех ее нормальных колебаниях Qь Q2, Сз- Это следует из рис. 87. Операция а не меняет смещений ядер, а операции Сг и а меняют местами смещения ядер Х[ и Хг во всех трех колебаниях. Операции Сг и о в колебаниях QI и Ог оставляют неизменным смещение ядра А, а в колебании С з изменяют направление смещения ядра А на обратное, не изменяя его величины. [c.385]

Для ответа на этот вопрос рассмотрим, чем отличается состояние электронов в термах, описываемых функциями г) и г)з . Эти функции обладают различной симметрией в отношении обмена электронов местами. Функция не меняет при этой операции знака, функция о з меняет знак на обратный. Другими словами, функция яр,, симметрична, а функция я]), асимметрична. [c.473]

Над каждой молекулой можно произвести ряд операций симметрии, греобразующих молекулу до состояния, не различимого с тем, которое было до преобразования. Полная совокупн ть таких операций симметрии представляет группу симметрии. Число операций симметрии в группе называется порядком группы. Группа операций,, например а, Ь, с..., определяется как совокупность, удовлетворяющая условиям 1) произведение двух операций группы эквивалентно какой-либо операции этой же группы а Ь = с) 2) система содержит тождественную операцию Е (аЕ = Еа = а) 3) для каждой операции имеется обратная операция, которая является операцией этой же группы (а а == а а = ) 4) произведение нескольких операций обладает свойстэом ассоциативности а(Ь с) = (а Ь)с. [c.20]

Операции симметрии и обратные им операции можно найти в таблицах умножения групп. Эти таблицы состоят из проиведений элементов групп. Примером подобной таблицы для точечной группы С2 является табл. 4-1. Она построена следующим образом каждый элемент группы, т.е. операция симметрии, выписан без повторений в верхней строке и в левом столбце таблицы. Произведение двух элементов образуется так первый элемент берется из строки, а второй из столбца, причем порядок применения этих элементов должен строго соблюдаться. Результат находится на пересечении соответствующего столбца и строки. Любой из этих результатов является операцией симметрии, также принадлежащей к точечной группе Действи- [c.185]

Для молекул с достаточно высокой сп.мметрией применяется классификация колебаний, основанная на теории групп. Колебания называются симметричными, если при колебании не изменяется ни одно из свойств симметрии, и антисимметричными, если колебания таковы, что при проведении операции симметрии знак смещения сменяется на обратный. [c.24]

Если бы все узлы обратной решетки были равноценны, то она имела бы точечную группу, голоэдрическую в данной сингонии. В / 2-теле веса узлов различны, причем отражениям от плоскостей, связанных операциями симметрии, соответствуют узлы равного веса. Поэтому [/ р-тело должно передавать точечную симмет рию кристалла. Однако в соответствии с теоремой центросимметричности узлы кЫ и кЫ, находящиеся на равных расстояниях в противоположные стороны от начала координат, должны всегда иметь одинаковый вес ( / -тело всегда обладает центром инверсии). Таким образом, симметрия / -тела есть точечная симметрия кристалла плюс центр инверсии, плюс равнодействующие элементы симметрии -тело обладает симметрией дифракционного класса. [c.315]

Каждому элементу должен соответствовать обратный элемент, который также является элементом группы. Это требование означает, что для каждой операции симметрии должна существовать другая операция, ликвидирующая результат действия первой операции. Для каждой плоскости отражения обратным элементом является идентичная плоскость отражения, т. е, аХа—Е. Для собственного вращения Сп обратным является вращение СГ , т. е. СГХСГ " = Я. [c.129]

Таким образом, операция симметрии пространственной группы приводит к новым переменным с преобразованным волновым вектором, причем они умножаются на величину, зависящую от трансляции. Заметим, что матрице поворота К, преобразующей векторы положений, соответствует обратная матрица К , преобразующая волновые векторы. [c.103]

Смотреть страницы где упоминается термин Обратная операция симметрии: [c.138] [c.110] [c.101] [c.197] [c.447] [c.111] [c.125] [c.89] [c.29] [c.151] [c.34] [c.159] [c.22] [c.53] [c.365] [c.101] [c.197] [c.447] [c.602] [c.362] [c.520]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология