Точечные и пространственные группы симметрии

Приняты следующие обозначения преобразований, входящих в точечные пространственные группы симметрии [c.19]

Точечные и пространственные группы симметрии [c.20]

Последовательно решаются две задачи сначала устанавливается точечная группа, а затем пространственная группа симметрии кристалла. [c.68]

Взаимная ориентация симметрически связанных узловых сеток не зависит от того, включает ли соответствующая операция симметрии трансляционный перенос. В этом смысле узловые сетки нечувствительны к замене операции зеркального отражения на операцию скользящего отражения или простого поворота на аналогичный винтовой поворот. Поэтому по симметрии рентгенограмм можно судить лишь о точечной, но не пространственной группе симметрии кристалла. [c.68]

Хотя собственно для кристаллов возможны 32 класса кристаллов (точечных групп симметрии), для комбинаций элементов симметрии в элементарной ячейке разрешены не менее, чем 230 пространственных групп симметрии [c.395]

Для описания отношений симметрии между внешними гранями кристаллов применимы только кристаллографические операции типа пип. Последние могут быть объединены в 32 кристаллографические точечные группы симметрии, известные как классы кристаллов. Внутреннее периодическое расположение атомов в кристаллической структуре требует применения векторов параллельного переноса, которые также могут сочетаться с осями вращения и плоскостями симметрии, как обсуждалось выше. Включение сложных операций симметрии, таких, как винтовые оси и плоскости скольжения, приводит к 230 пространственным группам симметрии, разрешенным для комбинаций элементов симметрии в элементарной ячейке. Они приведены в Международных таблицах кристаллографии [11.2-1]. В этом контексте интересно отметить, что примерно 75% всех органических и металлоорганических соединений образуют кристаллы, принадлежащие всего к 5 пространственным группам, а 12 пространственных групп симметрии, все принадлежащие к триклинным, моноклинным и орторомбическим кристаллическим системам, охватывают 87% таких соединений. Все эти пространственные группы симметрии допускают достаточно хорошую плотную упаковку органических молекул, которые, как правило, имеют низкую симметрию. [c.395]

В таблицу характеров группы К(3) входят только характеры тождественного преобразования н операции вращения. Все произвольные вращения относительно любой оси имеют одинаковые характеры это означает, что группа содержит бесконечное число вращений С(ф). В таблице характеров указано только одно такое вращение. В таблицу характеров группы 0(3) должны входить еще характеры других операций. В конечных пространственных группах симметрии (или точечных группах, как их принято называть) имеется пять типов операций симметрии (см. гл. 13). Двумя из них являются тождественное преобразование Е и операция вращения (иначе — собственного вращения) С( ). Кроме того, имеются еще инверсия, обозначаемая символом I, отражение в плоскости а, а также несобственное вращение 8 ф). Несобственное вращение включает обычное вращение, которое сопровождается отражением в плоскости, перпендикулярной оси вращения. (Другое определение несобственного вращения — вращение, сопровождаемое инверсией.) Число элементов симметрии а и 5 ф) также бесконечно. Инверсия эквивалентна несобственному вращению в том частном случае, когда угол вращения равен 180°. Отражение эквивалентно несобственному вращению, когда угол вращения равен нулю. Следовательно, двух типов операций достаточно для того, чтобы породить остальные операции рассматриваемой группы. [c.60]

Такую обратную решетку Г. С. Жданов предложил назвать / -телом . Название подчеркивает, во-первых, что в качестве веса узла берется значение соответствующего структурного фактора / во-вторых, что эта бесконечная совокупность узлов обладает симметрией конечной фигуры, т. е. принадлежит к точечной, а не к пространственной группе симметрии. [c.314]

Теория групп имеет очень важное значение для спектроскопии именно потому, что все молекулы можно отнести к определенным группам симметрии. Симметрия молекулы в положении равновесия определяется набором элементов симметрии, которые являются элементами группы симметрии. Симметрию неполимерных молекул можно описать при помощи точечных групп, тогда как молекулярные и ионные кристаллы описываются пространственными группами симметрии. Элементы симметрии цепной молекулы образуют одномерную пространственную группу, которую иногда называют линейной группой [35]. В этом разделе мы рассмотрим различные группы симметрии и особенно линейные группы. [c.62]

Пространственная группа симметрии характеризует симметрию структуры кристалла, так же как точечная группа симметрии характеризует симметрию внешней формы кристалла и его физических свойств. [c.115]

Симметрия кристаллов — симметрия, соответствующая решетчатому строению кристаллов и описываемая с помощью точечных и пространственных групп симметрии (стр. 14 сл.). [c.127]

Под точечной группой симметрии подразумевается набор операций симметрии (поворот, инверсия, отражение), производимых над телом, при которых хотя бы одна его точка остается неподвижной. Операции, вызывающие перенос всех точек тела в пространстве (трансляция, скользящее отражение, винтовое движение), объединяются в пространственные группы симметрии . [c.131]

Однако для большинства кристаллов пространственные группы симметрии оказываются беднее, чем пространственная группа соответствующей решетки Браве, так как точечная группа симметрии О базиса (периодически повторяющейся совокупности частиц, образующей кристалл) в общем случае ниже точечной группы симметрии решетки 0 . Иными словами, не все точечные преобразования, совмещающие узлы решетки, совмещают также все остальные эквивалентные точки кристалла, так что группа С оказывается подгруппой 0 . [c.34]

Совокупность всех элементов симметрии данной кристаллич. структуры иаз. ее пространственной группой. В 1890 Е. С. Федоров впервые доказал, что 32 видам симметрии (точечным группам) соответствует 230 пространственных групп симметрии, к-рые часто называют федоровскими. Результат размножения одной точки всеми элементами симметрии пространственной группы наз. правильной системой точек. [c.426]

Определение размеров элементарной ячейки типа решетки, точечной и пространственной группы симметрии является первым и по существу предварительным этапом структурного исследования. Вопрос о целесообразности дальнейшего изучения атомной структуры ставится обычно уже после решения этих задач рентгеновской кристаллографии . На основе данных, полученных при изучении симметрии кристаллов и количества элементарных частиц, приходящихся на ячейку в различных химических соединениях, интересующих исследователя, производится выбор объектов для дальнейшего, более глубокого изучения. [c.179]

Совокупность элементов точечной и трансляционной групп симметрии образуют пространственную группу симметрии. Обгцее число независимых пространственных групп симметрии кристаллов — 230. [c.12]

Все возможные кристаллические структуры описываются 230 пространственными группами симметрии. Пространственной группой симметрии называется сочетание всех возможных бесконечных преобразований симметрии кристаллической структуры. Пространственная группа симметрии характеризует симметрию кристаллической структуры, так же, как точечная группа симметрии характеризует симметрию внешней формы кристалла и симметрию его макроскопических физических свойств. [c.27]

Чтобы в полной мере использовать информацию, содержащуюся в справочнике, нужно владеть основами кристаллографии, в первую очередь аппаратом точечных и пространственных групп симметрии. Необходимо также знакомство с основами органической кристаллохимии. Ниже мы даем список литературы, в которой изложен этот материал. Однако с помощью нашего справочника можно получить ясное представление о геометрии той или иной молекулы, даже не располагая специальными знаниями в области кристаллографии и кристаллохимии. [c.4]

Важность этого понятия связана с тем, что симметрия кристалла определяет и симметрию проявления самых разнообразных физических свойств. Но макрофизические свойства, такие, как электропроводность, упругость и др., относятся не к отдельным атомам или атомным рядам, а к кристаллу в целом, и определяются не пространственной группой симметрии кристалла, а его классом симметрии — той точечной группой, которая получится, если все открытые элементы симметрии заменить сходственными закрытыми и перенести в общую точку пересечения. [c.25]

Если описание симметрии фигур связано только с нетрансля-циоиньши элементами симметрии, то в этом случае мы имеем дело с точечными группами симметрии. Если же описание симметрии содержит трансляционные элементы (включая плоскости скользящего отражения, винтовые оси), то говорят о пространственных группах симметрии. [c.10]

Дальнейший расчет всевозможных способов комбинации этах элементов симметрии — задача чисто математическая. Такой математический анализ был впервые проведен Хесселйм в 1830 г., который установил, что возможны 32 различных класса симметрии, известных под названием 32-точечных групп. Они представляют собой конечные в математическом смысле группы преобразований (в отличие от пространственных групп симметрии, которые содержат бесконечные группы преобразований). Эти классы называют точечными группами, так как преобразования всегда происходят при условии неподвижности одной фиксированной точки. Кристаллы обычно подразделяют на семь систем (сингоний) в соответствии с наиболее общепринятым выбором осей координат. В табл. 1 приведены 32 вида симметрии. [c.25]

Существует всего 32 вида (или класса) макросимметрии кристаллов, по которым распределяются все известные 230 пространственных групп симметрии. Эта внешняя симметрия кристаллических многогранников (форм роста) описывается 32 так называемыми точечными группами. [c.32]

Каждой точечной группе соответствует несколько пространственных групп. Из пространственной групп )[ симметрии кристалла легко получить его точечную группу. Для этого надо мысленно уничтожить все трансляции, т. е. превратить плоскости скользящего отражения в зеркальные плоскости, а ВИНТОВ , е оси — в поворотные оси симметрии, затем перенести все оставшиеся элемент1.г симметрии, чтобы они пересекались в одпой точке. [c.115]

В дополнение к элементам симметрии точечных групп, с которыми мы уже познакомились, Е. С. Федоровым были введены плоскости скользящего отражения и винтовые оси (второго, третьего, четвертого и шестого порядков). Эти элементы, как и трансляция, описывают определенное поступательное движе-шге в пространстве и характеризуют поэтому так называемые пространственные группы симметрии. омбинируя элементы симметрии бесконечных фигур, Е. С. Федоров вывел 230 возможных пространственных групп. Любая кристаллическая структура должна обязателыю принадлежать к одной из них, так как они исчерпывают геометрические законы, по которым располагаются частицы внутри кристаллов. [c.117]

Очевидно, что симметрией пустой решетки обладают и те реальные кристаллические структуры, которые получаются, если в каждый узел абстрактной решетки Браве поместить базис, сохраняющий для кристалла точечную симметрию решетки. Такие кристаллы получили название голоэдрических, а их группы симметрии исчерпываются 14 пространственными группами симметрии абстрактных решеток, рассмотренными в предыдущем параграфе. Примерами голоэдрических кристаллов являются кубические структуры типа КаС1,. многие металлы с ОЦК или ГЦК решеткой. [c.34]

Пространственная группа симметрии кристалла корунда (а-Л120з) — 0 а, в ромбоэдрической элементарной ячейке две формульные единицы (10 атомов) (рис. 1.19). Группа о1а соответствует тригональной решетке Браве и является несимморф-ной. При выборе начала координат в точке с симметрией С . (точка О на рисунке) поворот вокруг осей второго порядка (оси ОУ, ОС, ОО) и соответствующие отражения в плоскостях (/Сгу, /Сгс, /Сго) сопровождаются несобственной трансляцией на вектор ж= (а1+а2-Ьаз)/2, где аь аг, Яз — векторы основных трансляций, определяющие трансляционную подгруппу Га Зона Бриллюэна для кристалла корунда показана на рис. 1.19. В центре ее (точка Г) и в точке I группа волнового вектора Фк совпадает с пространственной группой кристалла. Для симметричных точек Р п 1 фактор-группа Фк/Т а изомор- фна точечной группе С2/1, а для симметричного направления А (пЬ оси г)—группе Сз . Для направлений В, Е, Q, У точечная группа волнового вектора изоморфна группе Сг. Для точки 2 [c.74]

Рассматриваемые здесь группы являются группами операций симметрии молекул. Операциями симметрии называют такие действия, производимые над молекулой (инверсия, вращение, отражение), которые совмещают молекулу саму с собой. Так, например, операцией симметрии является вращение молекулы двуокиси азота на 180" вокруг биссектрисы угла ONO. Вращение вокруг той же оси на 90° не является операцией симметрии. В интересующих нас приложениях мы не встречаемся с трансляциями и поэтому рассматриваем только точечные, а не пространственные группы симметрии. Пространственные группы существенны в теории кристаллов. Точечные группы включают лишь такие операции симметрии, которые оставляют по крайней мере одну точку молекулы инвариантной (фиксированной). В число операций группы симметрии обязательно входит тождественное преобразование Е. Эта операция оставляет функцию неизхмененной, так что мы можем записать [c.242]

Структурный класс - это характеристика молекулярного кристаллического вещества, которая включает пространственную группу симметрии, число молекул в ячейке и перечень систем эквивалентных позиций (орбит), занятых молекулами. Например,/с, Z= 6 (Г, 1). Отсюда видно, что орбиты, занятые молекулами, указываются в форме точечных групп симметрии, описывающих симметрию позиции (используется международная символика). Символы этих точечных групп перечисляются в скобках вслед за указанием числа молекул в ячейке. В последнее время обозначения структурных классов несколько усовершенствованы, что и нашло отражение в СОВ-82. Теперь число символов точечных групп, входящих в обозначение класса всегда равно числу занятых орбит раньше указывались лишь разные по симметрии позиции. Поэтому, например, обозначение iP2i/ , Z= 4(Г), фигурировавшее в СОВ-80 заменено на / 2,/с, Z= 4(1,1). При наличии большого числа однотипных орбит используются обозначения с верхним индексом. Например, P2il , Z= 16 ( 1 ), что эквивалентно Р21 /с, Z= 16(1,1,1,1). [c.4]

Симметрия структуры кристаллов (пространственная симметрия). В пространственных группах симметрии кристаллов к конечным преобразованиям, входящим в симметрию точечной группы, добавляются еще трансляпионные преобразования. [c.19]

Каждой точечной группе симметрии соответствует несколько пространственных групп. Чтобы из пространственной группы симметрии кристалла получить его точечную группу, надо мысленно уничтожить все трансляпий, т.е. превратить плоскости скользяшего отражения в простые зеркальные плоскости, винтовые оси — в обычные поворотные оси симметрии и свести все оставшиеся элементы симметрии в точку. [c.27]

Вывести из точечной симметрии все относяшиеся к ней пространственные группы симметрии — более сложная задача. Для этого нужно перебрать все возможные сочетания элементов симметрии и решеток Бравэ. Например, если в точечную группу входят оси 3 и 2, то для вывода пространственной группы нужно перепробовать все возможные сочетания простых и винтовых осей 2-го и [c.27]

Структурным классом называется совокупность молекулярных кристаллов с одинаковой пространственной группой симметрии, в которых молекулы занимают одинаковые системы эквивалентных позиций. Принадлежность к тому или иному структурному классу определяет общий закон располбжения молекул в кристалле. Символ структурного класса включает в себя запись пространственной группы, указание числа молекул в ячейке (Z) и приводимую в скобках точечную группу (группа S), характеризующую симметрию позиции молекул, например, Plj , Z = 4(1) или 2i/ ,Z = 6(1h1) . [c.6]