Элементы симметрии и точечные группы

В структурной кристаллографии принята совсем иная система обозначений точечных групп, основанная на приведенных выше обозначениях элементов симметрии. Точечные группы, содержащие операции только одной поворотной оси, обозначаются, как и сами элементы симметрии, цифрами 1, 2, 3, 4,. .. группы с единственной инверсионной осью — цифрами с черточками 1, 2, 3, 4,.... Здесь 1 — группа только с центром инверсии 2 —группа с единственной плоскостью симметрии для нее предпочтительно обозначение т. Группы с осями симметрии второго порядка, перпендикулярными главной оси, обозначаются цифрами, стоящими подряд (например, 422 соответствует D4) добавление к главной оси плоскостей, ей параллельных, обозначается дополнением символа буквами т, стоящими подряд за цифрой (например, 4mm соответствует iv) а добавление плоскости, перпендикулярной главной оси, обозначается буквой т, стоящей за косой чертой (например, 4/т соответствует ih). [c.21]

Рис. 24. Корреляционная диаграмма молекулярных орбиталей для 2Nj -> N4 (тетраэдрическая) сохраняются элементы симметрии точечной группы Dad (М0> являющиеся линейными комбинациями 2х-орбиталей атомов азота,

Рис. 1Х.З. Расположение ядер нелинейной трехатомной молекулы и ее главных осей относительно элементов симметрии точечной группы Сгч

Аммиак, NHj. Этот пример рассматривается главным образом для того, чтобы показать построение вырожденных молекулярных орбиталей. Симметрия молекулы- j,, Для образования связей пригодны семь атомных орбиталей три 1.s-орбитали атомов водорода, одна 2л- и три 2р-орбитали атома азота, следовательно, должно образоваться семь М0. Атом азота занимает центральное положение, поэтому систему координат нужно выбрать так, чтобы его АО были расположены на всех элементах симметрии точечной группы j . Необходимая таблица характеров приводится в табл. 6-4. Орбитали 2я и 2р азота имеют симметрию Ау, а орбитали 2р и 2р . вместе принадлежат к неприводимому представлению Е. Из трех 1.s-орбиталей атомов водорода образуются групповые орбитали. Элементы симметрии точечной груп- [c.277]

Разные точки элементарной ячейки описываются разными точечными группами. Точки, не лежащие на элементах симметрии точечных групп и называемые точками общего положения, имеют наинизшую симметрию 1 = Сх. Точки, лежащие иа элементах симметрии и занимающие частные положения, имеют симметрию не ниже симметрии соответствующего элемента. Точки, лежащие на [c.50]

В рамках кодовой теории, развиваемой в этой книге (см. подробнее в ч. III), свойства симметрии на всех уровнях ее проявления важны потому, что наборы элементов симметрии точечных групп всегда дискретны. Молекула может иметь данную симметрию или иную, но она не может обладать бесконечным набором промежуточных типов симметрии. Это значит, что в геометрии молекул, для которых характерны какие-либо элементы симметрии, уже заложен принцип дискретности возможных пространственных конфигураций, определяющий кодовые отношения в процессах взаимодействия молекул. Если какой-то признак сохраняется в простой реакции соединения между несложными частицами, сопровождающейся почти полной сменой свойств, то в последующих превращениях частицы может сохраниться большее число признаков. Так будет в том случае, если признак принадлежит каждой частице и с ней вместе входит в продукт соединения подобно массе атома. [c.144]

В структурной кристаллографии принята совсем иная система обозначения точечных групп, основанная на приведенных выше обозначениях элементов симметрии. Точечные группы, содержащие операции только одной поворотной оси, обозначаются, как и сами элементы симметрии, цифрами 1, 2, 3, 4,... группы с единственной инверсионной осью — цифрами с черточками 1, [c.22]

Плоскость симметрии с (рис. 7-9) есть один из элементов симметрии точечной группы О ,,. В этой плоскости находятся все МО, которые важны в данной реакции, т. е. рвущиеся п-связи в двух молекулах этилена и возникающие две новые а-связи в молекуле циклобутана. Все они симметричны по отношению к отражению в этой плоскости. Таким образом, в ходе реакции не будет наблюдаться изменения в их поведении относительно этой операции симметрии. Такой вывод возвращает нас к очень важному моменту в построении корреляционных диаграмм выбранный элемент симметрии, за которым следят в реакции, должен пересекать рвущиеся или образующиеся связи в данном процессе. Введение дополнительных элементов симметрии, например а, что было сделано раньще, не меняет результата. Включение их не является ошибкой, просто в этом нет необходимости. Однако рассмотрение только таких элементов симметрии может привести к ошибочному заключению о том, ч го с точки зрения симметрии каждая реакция может осуществиться. [c.326]

Точечная группа Операции симметрии, элементы симметрии Точечная группа Операции симметрии, элементы симметрии [c.18]

Точечные группы. Молекулы можно классифицировать в группы симметрии по числу и характеру элементов симметрии, которыми эти молекулы обладают. В молекулярной спектроскопии для описания 32 возможных групп симметрии (точечных групп) наиболее часто используются обозначения Шенфлиса в кристаллографических работах используются системы Герман-Могена. Ниже приводятся обозначения Шенфлиса для точечных групп симметрии и соответствующие элементы симметрии. [c.97]

Таким образом, симметрия и сопоставление вида рентгенограмм качания позволяют выявить присутствие, характер и расположение элементов симметрии точечной группы и, следовательно, определить дифракционный класс. [c.257]

Для точечных групп, которые включают, помимо оси С , еще п осей Сг, перпендикулярных С , используется символ 0 . Таким образом, точечная группа Оп соответствует более высокой симметрии (в нее входит больше операций симметрии), чем группа С . Молекула, обладающая всеми элементами симметрии точечной группы Оп и имеющая сверх того горизонтальную плоскость отражения, перпендикулярную оси С , относится к точечной группе Опн и, следовательно, имеет п вертикальных плоскостей отражения. Добавление горизонтальной плоскости отражения к точечной группе С обязательно предполагает наличие [c.124]

В первом томе Интернациональных таблиц приведены упрощенные выражения тригонометрических сумм (5. И) для разных типов симметрии. Эти выражения справедливы только для атомов, обладающих по крайней мере элементами симметрии точечной группы, и непригодны для атомов, совершающих анизотропные тепловые колебания. Современные вычислительные программы не используют эти выражения, симметрия в этих программах учитывается с помощью матрицы вращения R (3x3) и вектора трансляции t. [c.179]

Связь формы кристаллов с их внутренним строением была установлена Е. С. Федоровым (1890), который в дополнение к элементам симметрии точечных групп и трансляции ввел новые элементы сим- [c.131]

Сравните с (1-2), (1-4) и (1-10).] Рядом показаны элементы симметрии точечной группы >2 . Если построить делокализованные молекулярные орбитали [c.81]

Каждому элементу симметрии точечной группы можно сопоставить матрицу, выбранную таким образом, чтобы операции между отдельными матрицами удовлетворяли требованиям (6.3) — (6.6) и, следовательно, соответствовали операциям симметрии. Набор матриц для всех операций симметрии образует представление группы Г. Существует бесконечно большое число таких наборов, связанных друг с другом эквивалентными преобразованиями (приводимые представления). Особое значение имеют неприводимые представления, к которым относятся такие матричные представления, которые не приводятся эквивалентным преобразованием к блок-даагональ-ному виду. [c.189]

Элементы симметрии точечной группы Число элементов симметрии Кратность точечной группы Особая точка [c.38]

Найти все элементы симметрии точечной группы тЗт. [c.38]

Мы продолжим обсуждение общих свойств симметрии в случае пространственной группы P2i/ (читается как Р-два-один-на-с или Р-два-один в нижнем индексе-на-с ). Точечная группа, соответствующая этой пространственной группе, получается путем превращения элементов симметрии пространственной группы в их эквиваленты в точечной группе. Например, в этом случае 2j выводится из оси вращения второго [c.372]

Для построения таблицы умножения элементов группы рассмотрим последовательное проведение двух операций симметрии. Так, при операциях симметрии точечной группы в молекуле 5р4 (рис. 43) атомы фтора изменяют положения согласно табл. 14 в отличие от атома серы. [c.109]

Характеры неприводимых представлений точечных групп симметрии указываются в таблицах (см., например, [29, 127]). Характер представления, соответствующего всем возможным движениям ядер молекулы, определяется следующим образом. Каждому ядру сопоставляется три взаимно ортогональных смещения у1, г от положения равновесия и исследуются свойства преобразований этих смещений при последовательном применении всех элементов симметрии данной группы. [c.646]

Графическое изображение молекул в табл. 6.3 дополнено указанием разных элементов симметрии соответствующих групп, которые еще нагляднее изображены на диаграммах рис. 6.2. Такие диаграммы называются стереографическими проекциями точечных групп и позволяют быстро и легко обна- [c.121]

Так же как точечная симметрия уменьшает число переменных, необходимое для характеристики молекулы, так и элементы симметрии пространственных групп уменьшают объем элементарной ячейки, который нужно исследовать, чтобы установить расположение всех атомов. [c.35]

Тетраэдрические молекулы ХУ4 (группа 7 ), подобные молекуле СН4, весьма богаты элементами симметрии. Среди них встречаются так называемые диэдрические плоскости, которые включают главную ось С , но не пернендикулярньк к ней оси 2- Еще более богата элементами симметрии точечная группа О ,, к которой относятся октаэдрические молекулы иРб и (рис. 72). Особо важно наличие здесь центра симметрии г и горизонтальной плоскости, которых нет у тетраэдрических молекул Группы и относятся к кубическим точечным группам, для которых характерно присутствие более чем одной оси С , где п>2. Для обозначения Т Эчечных групп здесь использована номенклатура Шенфлиса С означает, что в молекуле есть ось симметрии и-го порядка Д —помимо оси С молекула содержит и осей второго порядка, направленных перпендикулярно оси С , причем все углы между осями второго порядка равны Т—тетраэдрические молекулы, О — октаэдрические молекулы. Символы v,% id указывают на существование вертикальной, горизонтальной и диэдрической плоскостей симметрии соответственно. В крх-ссталлографии используют чаще номенклатуру Германа — Могена. Важной характеристикой симметрии мо- [c.175]

Такое свойство элементов симметрии точечных групп позволяет применить для расчета различ1П 1х свойств молекул и кристаллов математическую теорию групп, линейную алгебру, матричное исчисление. Это чрезвычайно важно для современной Х1змии. [c.21]

В дополнение к элементам симметрии точечных групп, с которыми мы уже познакомились, Е. С. Федоровым были введены плоскости скользящего отражения и винтовые оси (второго, третьего, четвертого и шестого порядков). Эти элементы, как и трансляция, описывают определенное поступательное движе-шге в пространстве и характеризуют поэтому так называемые пространственные группы симметрии. омбинируя элементы симметрии бесконечных фигур, Е. С. Федоров вывел 230 возможных пространственных групп. Любая кристаллическая структура должна обязателыю принадлежать к одной из них, так как они исчерпывают геометрические законы, по которым располагаются частицы внутри кристаллов. [c.117]

Самым простым примером опять может служить анфасная димеризация этилена, когда и реагенты, и продукт принадлежат к точечной группе симметрии 02/, (если допустить, что две новые СС-связи лищь слегка растянуты по сравнению с уже имеющимися). Можно получить диаграмму соответствия [35], расположив орбитали реагента и продукта в порядке возрастания их энергий и обозначив их в соответствии с элементами симметрии точечной группы >2/, (рис. 4.23). Эта диаграмма напоминает представленную на рис. 4.3 и отличается от нее только обозначениями орбита-лей. Зато теперь мы имеем возможность определить симметрию соответствующего движения, которое превратило бы реакцию в разрешенную. [c.135]

Как указывалось выше, элементы симметрии фигуры (молекулы) должны стать элементами симметрии цепочечного острова, а так как направление переноса (оси цепи) может быть только параллельно или перпендикулярно оси 2 и плоскости т (иначе цепь не будет цепочечным островом — не будет переводиться сама в себя элементами симметрии), то и расположение элементов симметрии точечной группы фигуры по отношению к элементам симметрии операции переноса (псевдотрансляции) не может быть произвольным. [c.91]

Из символа пространственной группы Рпта (читается как Р—п—ш—а ) следует, что решетка этого типа относится к примитивной решетке элементами симметрии этой группы являются и-скольже-ние, перпендикулярное оси а, зеркальная плоскость, перпендикулярная оси Ь, и а-скольжение, перпендикулярное оси с. Условия, используемые при записи символов такого вида, и вытекающая из них информация сведены в табл. 17.1. В первом столбце приведены семь различных кристаллических систем наряду с симметриями точечных групп элементарной ячейки (т. е. симметрией, которой они обладали бы, если бы не было трансляции). В столбце характеристическая симметрия приведены те существенные элементы симметрии, которые делают кристалл единственным в своем роде по отношению к приведенным точечным группам. В столбце положение в символе точечной группы описаны условия записи этого символа и указан порядок (первичный, вторичный, третичный), в котором элементы симметрии перечислены в символе. В приведенном выше примере Рпта Р—символ решетки, а п, т и а соответственно первичный, вторичный и третичный символы. [c.367]

Для построения таблиц умножения элементов интересующих нас групп рассмотрим последовательное проведение двух операций симметрии. Так, при операциях симметрии точечной группы С2и атом серы в молекуле 5р4 (рис. 5.1) сохраняет центральное положение, а атомы Р меняются местами согласно табл. 5.1. Из этой таблицы видно, что последовательное выполнение операций Сг и а дает такой же результат, как операция о , т. е. 2av = av. Аналогичным образом можно получить всю таблицу умножения группы Сги (табл. 5.2). [c.169]

Изображение элементов симметрии пространственных групп подобно их изображению в точечных группах [20]. Главное различие состоит в том, что порядок, в котором записывают элементы симметрии пространственных групп, может быть очень важным, за исключением триклинной системы. Порядок элементов симметрии выражает их ориентацию в пространстве относительно трех координатных осей. В моноклинной системе особой осью является ось с или h. Для пространственной группы Р2 полный символ может быть Р112 или Р 1 в зависимости от этого выбора и использования последовательности аЪс. Эти два варианта называют первой установкой и второй установкой соответственно. Упорядочение символов для ромбической системы особенно важно. Элементы симметрии обычно записываются в порядке аЬс. Пространственную группу, принадлежащую к классу 2тт, соответственно представляют как Ртт2, причем особая ось совпадает с с. [c.426]

Определенный интерес представляет добавление новых элементов симметрии к группе или понижение ее симметрии с вытекающими отсюда следствиями. Если добавление приводит к новой группе, то ее называют надгрунпой исходной группы. Если исключение симметрии приводит к новой группе, то она обычно является подгруппой исходной группы. Например, точечная группа 1, очевидно, является подгруппой всех остальных 31 групп, так как это наиболее низкая симметрия из всех возможных. В то же время наиболее высокосимметричная группа не может иметь надгрунп. [c.427]

Эквивалентные ионы связаны трансляциями а = Ь = с вдоль ребер куба, или (й + )/2, (а -(- <")/2, (Ь + с)/2 вдоль граненых диагоналей. Все это соответствует гранецентрированной кубической решетке (Р). Структура самосовмещается не только под действием перечисленных выше трансляций, но и за счет операций симметрии точечной группы тЗт (или по-другому обозначенной как 6/4). Элементы точечной группы показаны на рис. 9-20, в. Элементы симметрии этой группы пересекаются в центрах всех атомов, и, таким образом, они становятся элементами симметрии для всей элементарной ячейки и соответственно для кристалла в целом. [c.430]

Заметим, что первая зона Бриллюэна кристалла представляет собой симметричный многогранник — она обладает всеми зломен-тами симметрии точечной группы. Это обстоятельство хорошо видно па примере зоны Бриллюэна для решетки алмаза или цинковой обманки (см. рис. 2.6). Отсюда следует, что каждому вектору к — в первой зоне отвечает несколько других векторов 2, кд,. . ., эквивалентных ему по симметрии. Все такие векторы вместе с исходным составляют так называемую звезду вектора к, и закон дисперсии е (к) имеет одинаковый вид для всех направлеиш , отвечаюш, 1Х векторам одной и той же звезды. Это связано с те.м обстоятельством, что БФ для векторов из одной и той же звезды переходят друг в друга при операциях точечной группы. Таким образом, исследование законов дисперсий во всей первой зоне разбивается па две задачи, первой из которых является нахождение различных типов звезд из к-векторов. Этот вопрос решается тривиально суш ествуют звезды обптего тина , для которых к-векторы не лежат на каком- либо элементе симметрии первой зоны, и звезды частных типов, для которых к-векторы лежат на оси пли плоскости симметрии первой зоны. Очевидно, что для зоны Бриллюэна (см. рис. 2.6) звезда [c.78]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология