Принцип максимума для дискретных процессов

Важной характеристикой любой оптимальной задачи является ее размерность п, равная числу переменных, задание значений которых необходимо для однозначного определения состояния оптимизируемого объекта. Как правило, решение задач высокой размерности связано с необходимостью выполнения большого объема вычислений. Ряд методов (например, динамическое программирование и дискретный принцип максимума) специально предназначен для решения задач оптимизации процессов высокой размерности, которые могут быть представлены как многостадийные процессы с относительно невысокой размерностью каждой стадии. [c.34]

Принцип максимума распространяется и на процессы с распределенными параметрами, которые описываются уравнениями в частных производных . Кроме того,с некоторыми оговорками принцип максимума может использоваться для оптимизации дискретных процессов. [c.320]

ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ ПРОЦЕССОВ [c.393]

Эта задача решается с применением дискретного принципа максимума. Сформулируем этот принцип. Если управляемый процесс, описываемый системой уравнений [c.347]

В данном разделе предлагается простой способ вывода необходимых условий оптимальности первого и второго порядков для общих дискретных задач управления циклическими адсорбционными процессами. Он основан на известных результатах нелинейного программирования и в отличие от традиционных подходов [62] предъявляет минимальные требования гладкости к данным задачи оптимизации. Доказательство принципа максимума, как и необходимых условий оптимальности второго порядка, проводится по одной схеме [63, 72] по части ограничений задачи строится варьированное семейство, содержащее исследуемый допустимый процесс по остальным ограничениям формируется вспомогательная задача нелинейного программирования с известным решением для данного решения записываются и потом расшифровываются локальные условия экстремума первого или второго порядка и затем устанавливается существование универсальных множителей Лагранжа, не зависящих от способа построения варьированного семейства. [c.185]

Теорема 1 (дискретный принцип максимума). Пусть х в), у(0)—оптимальный процесс задачи (4.2.4) — (4.2.6) и К x t), Х1), К (0, Р и1))—двойственные конусы к коническим аппроксимациям множеств X/, в точках х(1), О, соответственно. Тогда существуют число и последовательность гр(0), 1р(1),. ... .., г з(Л — 1) векторов из Е", удовлетворяющие включениям [c.188]

Изложенный выше метод допускает получение более тонких признаков оптимальности для тех процессов, которые уже удовлетворяют дискретному принципу максимума. Следуя (61], будем называть такие процессы экстремалями Понтрягина. [c.189]

Принцип максимума оказывается справедливым также и для дискретных оптимальных систем, но в ослабленной форме Пусть процесс определяется следующей системой конечных уравнений [c.191]

Для решения задач оптимизации химико-технологических процессов обычно используют методы нелинейного программирования (поисковые методы) [1, 3] и методы теории оптимального управления вариационного исчисления [4], динамического программирования 15], принципа максимума Понтрягина [6], дискретного принципа максимума 17]. Наибольшее распространение получили поисковые методы как наиболее гибкие и универсальные. Эти методы находят также широкое применение при решении задач идентификации (определение некоторых коэффициентов уравнений, представляющих собой математическую модель исследуемого процесса). Кроме того, поисковые методы могут быть эффективно использованы при синтезе оптимальной структуры химико-технологических систем, который в общем случае представляет собой задачу дискретно-непрерывного программирования в частности, они могут быть использованы при получении нижних оценок в методе ветвей и границ (см. гл. VI). [c.14]

Для дискретных процессов принцип максимума в той же формулировке, что и для непрерывных, вообще говоря, несправедлив. Однако условия оптимальности, получаемые при его применении для многостадийных процессов, позволяют найти достаточно удобные алгоритмы оптимизации. , [c.33]

Вообще говоря, принцип максимума в той формулировке, которая была получена для непрерывных процессов, к дискретным процессам неприменим [7, 14]. Однако, несмотря на некоторое различие в конечных соотношениях оптимальности, представляется целесообразным все же сохранить название принцип максимума и для дискретных процессов, поскольку математический аппарат решения оптимальной задачи в обоих случаях имеет некоторое сходство. [c.386]

При оптимизации дискретных многостадийных процессов использование математического аппарата принципа максимума зачастую оказывается более эффективным, чем применение метода динамического программирования. В особенности это относится к решению оптимальных задач, где размерность отдельных стадий затрудняет использование вычислительной процедуры динамического программирования [11]. [c.386]

Примеры, изложенные ниже, не являются сложными, однако на них можно познакомиться с основными приемами решения оптимальных задач для дискретных многостадийных процессов с использованием математического аппарата дискретного принципа максимума. [c.395]

Эта задача рассматривалась выше с применением метода неопределенных множителей Лагранжа и ее решение было сведено к использованию рекуррентного соотношения (IV, 180) для расчета оптимального распределения степеней превращения по всем реакторам каскада. Ниже рекуррентное соотношение (IV, 180) будет получено исходя из общих соотношений принципа максимума для дискретных процессов. [c.395]

Оптимизация КА при заданных параметрах входных потоков (задача решалась на основе принципа максимума Понтрягина для дискретных процессов). [c.12]

На основе принципа максимума Понтрягина для дискретных процессов получены необходимые условия оптимального проектирования многослойных КА в схеме с рециркуляцией отработанного газа. В качестве критерия оптимальности принят минимум объема контактной массы в аппарате. Предложен алгоритм решения оптимизационной задачи, обладающий большей простотой по сравнению с прямыми алгоритмами нелинейного программирования. [c.23]

В работе [21 ] получены строго и в самом общем виде усло ВИЯ оптимальности (в форме принципа максимума) статических режимов с. х-т. с., состоящих из звеньев, описываемых уравнения ми в конечных разностях и обыкновенными дифференциальными уравнениями. Было показано, что задача оптимизации схемы произвольной структуры сводится к решению некоторой сложной системы уравнений, состоящей из уравнений основного и сопряженного процессов (о чем говорилось выше), с краевыми условиями, заданными для каждого из входных и выходных блоков схемы. При этом на каждом блоке должны выполняться условия принципа максимума, которые заключаются в следующем. Управления в каждом блоке следует выбирать таким образом, чтобы некоторая функция Ж ) (гамильтониан) к — номер блока), зависящая от переменных основного и сопряженного процессов, в блоках с сосредоточенными параметрами либо принимала стационарное зна-чение, либо имела локальный максимум (так называемый слабый, или дискретный, принцип максимума), а в блоках с распределенными параметрами в каждый момент 1 (где 1 — характерная коор-дината блока) принимала максимальное значение (сильный принцип максимума). [c.374]

Волин Ю. М., Островский Г. М., О применении принципа максимума Понтрягина в случае особых управлений и в задачах оптимизации дискретных процессов. Управляемые системы, вып. 4—5, 1970. [c.380]

Для дискретных процессов принцип максимума, вообп(е говоря, несправедлив. Однако формальное его применение для многостадийных п[К)цессов иногда позволяет найти удобные вычислительные алгоритмы оптпмнзапии. [c.33]

Для оптимизации процессов с распределенными параметрами предпочтительнее все же оказывается принцип максимума, которому посвящена следующая глава. Однако всегда нужно учитывать воз-мо кность аппроксимации непрерывного процесса дискретным многостадийным процессом и пользоваться указанной возмо кностью для решения оптимальных задач невысокой размерности. Это обусловлено 1см, что метод динамического программирования представляет в распоряжение исследователя весьма удобную процедуру оптимизации многостадийных процессов, которая сравнительно легко программируется на вычислительных ма1[шнах. [c.319]

V) удовлетворяют выражениям (УП,466) при условии С /П,471), и нвляются математическим выражением принципа максимума для идномерных дискретных многостадийных процессов. Проводя аналогичные выкладки для ироцесса с произвольными размерностями некторов состояния и уиравления, найдем следующие соотноиюиии [c.398]

Полученные соотношения (VII, 475), где величины4 № (i = 1,. .., N) удовлетворяют выражениям (VII, 466) при условии (VII, 471), и являются математическим выражением принципа максимума для одномерных дискретных многостадийных процессов. Проводя аналогичные выкладки для процесса с произвольными размерностями векторов состояния и управления, найдем следующие соотношения [c.391]

Как динамическое программирование, так и принцип максимума применялись для решения различных дискретных и непрерывных задач химической технологии. Принцип максимума, в частности, был использован при оптимизации отдельных реакторов и их каскадов " , перекрестно-поточной экстракционной установки - , а также при оптимизации процесса периодической бщ а рной ректи ф икаци и . [c.130]

Пусть для к го блока функция (и) имеет вид, представленный на рис. 65. Слабому принципу максимума удовлетворяют следующие точки uW, u k) (координаты стационарных точек, являющихся локальными максимумами), (координата точки перегиба), (координата локального максимума, лежащего на границе допустимой области), Ц >, (координаты стационарных точек, являющихся локальными минимумами, лежащими внутри допустимой области). Если бы для каждого к функция (и) имела бы только одну подозрительную точку (т. е. точку, удовлетворяющую условиям слабого принципа максимума), то единственным осложняющим моментом для дискретной системы была бы необходимость одновременного решения условий слабого принципа максимума и уравнений преобразования для блоков сопряженного процесса [(VIII,103) и (VIII,104)]. В обоих случаях можно было бы воспользоваться методом Вольфа, методом квазилинеаризации или методом Ньютона. Однако если функция (и) имеет при некоторых к несколько подозрительных точек, то процедура значительно затрудняется. Действительно, пусть мы с помощью какого-нибудь метода, например метода Ньютопа, решаем краевую задачу и у нас при каждом к функция Я (и) имеет т подозрительных точек. Тогда для JV блоков будем иметь m " вариантов выбора управлений и для каждого из вариантов должна быть решена краевая задача. Если числа т ж N невелики, то можно воспользоваться простым пере-бором. Однако для больших т ш. N простой перебор всех вариантов может привести к катастрофически большому количеству операций. [c.250]