Дополнительные условия, множители Лагранжа

Определение экстремальных точек функции многих переменных для весьма важного случая наличия дополнительных связей между оптимизируемыми параметрами может быть осуществлено с использованием классического математического метода множителей Лагранжа. Пусть имеем функцию цели хг, Хп), экстремум которой требуется найти, причем имеют место дополнительные условия [c.124]

При поиске экстремумов функционала Е, значения которого зависят от выбора функций г]),- при дополнительных условиях их ортонормированности, как уже было сказано в 1 гп. Ш, можно воспользоваться методом неопределенных множителей Лагранжа. Именно, отыскание условного экстремума эквивалентно поиску безусловного экстремума функционала [c.277]

Следует отметить, метод неопределенных множителей. Лагранжа позволяет выписать только необходимые условия экстремума для непрерывно дифференцируемых функций. Найденные при таком подходе значения х могут и не доставлять экстремального значения оптимизируемой функции, поэто.му для получения окончательного ответа необходимо проводить дополнительное исследование точек Х тем или иным методом, как это делалось ранее при рассмотрении методов классического анализа. [c.30]

Дополнительные условия, множители Лагранжа [c.44]

Такую экстремальную задачу с дополнительными условиями можно решить методом неопределенных множителей Лагранжа. Умножим дополнительное условие (27.3) на неопределенный, но постоянный коэффициент (27.4) на 2 и (27.5) на Лз . Затем вычтем эти уравнения из (27.2). Используя (27.1), получим [c.140]

Используем вновь метод неопределенных множителей Лагранжа . Умножим первое дополнительное условие [c.251]

Наиболее распространенным методом учета дополнительных условий такого вида является метод неопределенных множителей Лагранжа. Пусть Р,Я = 1,2,. .., N есть набор некоторых комплексных чисел, [c.45]

В вариационном методе доказывается, что можно подобрать такие множители Лагранжа Хрд, что функционал - Л будет достигать безусловного экстремума на тех же функциях, на которых достигает экстремума функционал (1.107) при дополнительных условиях (1.110). Соответствующие уравнения Эйлера имеют вид [c.45]

Условие равновесия в такой системе характеризуется максимумом вероятности состояния или максимумом энтропии. Таким образом, задача наиболее вероятного распределения молекул сводится к отысканию максимума функции 5 при дополнительных условиях (УП1.4). Это задача на относительный максимум, которую можно решить методом неопределенных множителей Лагранжа. [c.217]

Отношение (11.50) первоначально было получено из уравнений для возмущений (11.6) — (11.8). Теперь же мы используем его как основу для вариационного принципа, уравнениями Эйлера — Лагранжа которого будут уравнения для возмущений в предельном состоянии (стационарные состояния разд. 11.7). Такой подход применим лишь при условии, что при выводе уравнения (11.43) не было сделано дополнительных предположений. В противном случае мы должны были бы учесть эти дополнительные условия с помощью лагранжевых множителей. Именно так следовало бы поступить с условием несжимаемости = О [см. (11.25) —(11.26)]. Но мы хотим получить его как одно из уравнений Эйлера — Лагранжа, не употребляя лагранжевых множителей. С этой целью запишем (11.43) в полной форме [c.162]

Дополнительное условие (7.7) можно учесть с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа. Для этого необходимо заменить уравнение (7.6) уравнением [c.83]

Для того чтобы установить знак квадратичной формы (8.17), необходимо найти минимум при дополнительном условии (8.18). Если min b F) > О, то квадратичная форма (8.17) всегда положительна и, следовательно, периодическое распределение с (х) = со (х, с Е) является метастабильным. Минимум квадратичной формы (8.17) при дополнительном условии (8.18) можно найти методом неопределенных множителей Лагранжа. Для этого необходимо минимизировать по выражение [c.94]

Алгоритм построения сплайна описан здесь лишь в обших чертах. Полагают, что координаты Y точек, через которые проходит сглаживающий сплайн, при заданных значениях X уже известны, и с этими значениями составляют систему линейных уравнений для расчета параметров сплайна. Эта система уравнений является дополнительным условием для минимизации указанной линейной комбинации. Поиск минимума функционала с учетом дополнительного условия проводится методом множителей Лагранжа. Таким образом, получают опять систему линейных уравнений ленточной структуры. Решение этой системы уравнений дает значения параметров сплайна, значения У в точках перегиба и множителей Лагранжа. [c.392]

Отсюда следует, что минимум себестоимости планового выпуска совокупного продукта на новой технике обеспечивается при условии, что бесконечно малый прирост удельных капитальных вложений в создание новой техники вызьшает во всех сферах производства одинаковое дополнительное снижение удельной себестоимости продукта, равное множителю Лагранжа при ресурсе капитальных вложений. Кроме того, из 1.1 д) видно, что себестоимость выпускаемых продуктов достигает минимума в том случае, когда первая производная так называ- [c.7]

Интересно сравнить формулы (11,192) и (11,182). Функции а 1 играют роль аналогов множителей Лагранжа t). Указанные формулы содержат одинаковые члены, кроме дополнительного члена в формуле (11,192). Он появляется вследствие систематической ошибки, возникающей в результате искажений в функциях fь (<) за счет того, что оптимальный фильтр не ведет себя по отношению к ним как идеальный. В выражении (11,182) такой член отсутствует потому, что накладывается условие несмещенности, исключающее эту систематическую ошибку. [c.151]

Это дополнительное условие можно учесть с помощью множителя Лагранжа X, написав вариационное уравнение в виде [c.199]

Константы Eih появляются как множители Лагранжа при дополнительных условиях ортогональности и нормировки функций Фй и ф1 (11.35). От большей части этих констант можно избавиться, если от функций ф,- перейти к их линейным комбинациям Фг или, как говорят, произвести над базисом функций ф,- унитарное преобразование [см. формулы (III. 13) на стр. 52]. Такое преобразование не меняет исходной детерминатной функции (II. 17), варьированием которой были получены уравнения Хартри—Фока, и, следовательно, энергии системы [21, Приложение 8], но коэффициенты преобразования можно выбрать так, что новые недиагональные константы будут равны нулю. Вводя обозначения [c.46]

То же самое может быть выражено и в терминах суждения о единственности (воспроизводимости) состояний равновесия в данной гомогенной системе. Напомним, что у нас, по определению, речь всегда идет о состояниях равновесия лишь относительно конкретного набора превращений, т. е. часть других, в принципе возможных стехиометрических взаимосвязей может быть заторможена. Вопрос о возможньгх сменах уровня или характера заторможенностей снимается ограничением, заложенным в словах данная система, так как невоспроизводимая смена заторможенностей формально означает неконтролируемую подмену одной системы (совокупности состояний) другой. Положение о единственности состояний равновесия для каждой точки данной открытой гомогенной системы (для каждой закрытой гомогенной системы) можно выразить в форме утверждения о единственности минимума изобарно-изотермического потенциала при постоянных Т, Р ъ пространстве внутренних переменных с вытекающими из условия закрытости (и, может быть, заторможенности) ограничениями. В общем случае речь должна идти о единственности условного экстремума характеристической функции. Внутренними переменными могут быть концентрации химических форм в растворе и (или) параметры, поставленные в определенное соответствие реализующимся в рассматриваемом множестве растворов независимым стехиометрическим и (или) структурным связям. Эквивалентным изложенному выше является утверждение о строгой выпуклости изобарно-изотермического потенциала закрытой гомогенной системы для каждой выпуклой области пространства переменных типа координата независимой реакции . Опираясь на метод неопределенных множителей Лагранжа, можно сконструировать и функции, отнесенные к пространству с размерностью выше общего числа химических форм в растворе. Тогда следует говорить о седловых точках таких фуикций. Итак, к математическим конструкциям, предназначенным для формального решения задачи по отысканию единственного состояния равновесия (при определенных ограничениях) среди множества, охватывающего и неравновесные состояния, требование существования лишь одной особой точки (лишь одного особого решения и т. п.) следует предъявить как фундаментальное. Эти выражения принципа приводят к дополнительным ограничениям на возможный вид функций (10), (11), (19), (20) и (16). [c.25]