Меры на компактных множествах

Доказательства пп. 1 и 2 просты. Чтобы показать, что имеется по крайней мере одно стационарное состояние, построим компактное множество, инвариантное при полупотоке. Доказательство единственности и глобальной устойчивости в значительной степени основывается на неотрицательности результата преобразования якобиана v P( ). Подробности доказательства этой теоремы и следствия из нее будут приведены в другой работе. [c.344]

О, > О, < О и < 0. Мера р (опа может быть по-другому обозначена в тексте) всегда будет предполагаться радоновой мерой на компактном множестве П. Если / П Г1 — непрерывное отображение, то образ р [c.28]

Это общее свойство совокупности вероятностных мер, инвариантных относительно некоторой группы гомеоморфизмов компактного множества. Выпуклость и компактность I очевидны. Если а — какая-нибудь т-инва-риантная мера, то мера сг тоже т-инвариантна. Отсюда следует, что I — симплекс Шоке (см. приложение А.5.5). [c.62]

Предположим, что ст G / ф не принадлежит замкнутой выпуклой оболочке указанного множества мер р. По теореме о разделимости компактных множеств (приложение А.3.3 (с)) существует такое Ф е X, что [c.64]

А.4.1. Меры на компактных множествах [c.262]

Пусть V — локально-выпуклое топологическое векторное пространство и К сУ — выпуклое компактное множество. Пространство 4 К), дуальное к 41 К), состоит из действительных мер на К. Обозначим через 5Ш . выпуклый конус положительных мер на К и через — множество положительных мер с нормой единица ( Шх — множество вероятностных мер на К). Для р К обозначим через Зр вероятностную меру, соответствующую единичной массе в точке р (меру Дирака). [c.266]

Нетрудно показать, что она непрерывна и, как всякая непрерывная функция, рассматриваемая на компактном множестве, достигает своего наибольшего значения по крайней мере в одной из точек хо этого множества [c.155]

В силу (а) множество Кф всех гиббсовских состояний не пусто и, как мы видели после доказательства теоремы 1.8 это множество выпукло и компактно. Следовательно, замыкание выпуклой оболочки множества К гиббсовских состояний, полученных в (Ь), содержится в А ф. Предположим, что К ф Кф. Тогда существует функция А ем мера <т е Кф, для которых [c.38]

Пусть Г2 — метризуемый компакт и (г ) — непрерывный поток, т.е. (ж, t) г — непрерывное отображение. Множество I, состоящее из г-инвариантных вероятностных мер на II, выпукло и компактно в слабой топологии. Если <т е /, то [c.273]

Глобулярная пространственная структура белков в значительной мере стабилизована гидрофобными взаимодействиями неполярных аминокислотных остатков. Энтальпия перехода из развернутого состояния в свернутое невелика, уменьшение же энтропии при переходе развернутой полипептидной цепи в свернутое компактное состояние компенсируется выигрышем энтропии в результате сокращения контактов неполярный остаток — вода. Процесс денатурации можно рассматривать как изменение окружения неполярных аминокислотных остатков от неводного окружения к водному. При этом резко увеличивается число контактов неполярных боковых групп с молекулами воды, что должно вызывать дополнительное структурирование воды и приводить к возрастанию свободной энергии системы. Возникновение множества случайных межмолекулярных гидрофобных взаимодействий, осуществляющихся при столкновениях денатурированных макромолекул, приводит к снижению свободной энергии системы. В результате протекающих при этом процессов макромолекулы белков частично теряют растворимость и в растворах появляются агрегаты макромолекул, накопление которых обусловливает в дальнейшем возникновение прочных объемных дисперсных структур [301, 302]. [c.130]

Можно предположить, что поверхность разрыва компактна (т.е. ее точки не выходят за пределы ограниченной пространственной области), а ее площадь бесконечно велика. Такая поверхность в известной мере напоминает губку, т.е. образование со множеством внутренних пустот, имеющих широкий спектр характерных размеров, и нечетко определенной внешней границей (существуют тонкие каналы , соединяющие внутренность образования с внешним пространством). С этой точки зрения колебания внешней границы губки можно назвать внешней перемежаемостью, а колебания внутренних каналов - внутренней перемежаемостью. [c.28]

Следствие теоремы 1. Пусть заданы компактное в себе множество X и вектор-функция / = /J (1 г /г) и матрица М( ) неособенная. Тогда для (первые s компонент f) существует вероятностная мера на X и матрица С размерности (s X к) ранга S, такая, что функции h x) (i =1,..., s), где h(a ) = f(a ), ортонормированы между собой относительно ( ) и ортогональны к fj (/ s) и удовлетворяют условию 8 [c.158]

Большая часть рассмотренных физических методов основана на заранее вводимых предположениях относительно геометрии макромолекул, а также степени их компактности, что говорит о некоторой неопределенности, свойственной этим методам. Во многих случаях, как это показывают данные рентгеноструктурного анализа и электронной микроскопии, макромолекулы имеют форму, не укладывающуюся в такие стандарты, как сфера, эллипсоид или вытянутый цилиндр, которые служат удобными расчетными моделями. Молекулы белков, пространственная структура которых точно известна, характеризуются множеством углублений и щелей на поверхности. Если по мере движения молекул в растворе в эти щели затекает растворитель, 10 гидродинамические характеристики молекул будут уже не [c.448]

Если Ф компактно, радиус взаимодействия конечен и все функции 3(ф(У)) непрерывны, то (1.1) —(1.3) имеют смысл для всякой конфигурации ф(2 — V). В то же время общая теория вероятностей гарантирует существование условных вероятностей лишь почти всюду. Таким образом, определение 1.3) требует, чтобы выражение, определенное почти всюду, совпадало с выражением, определенным всюду. Это обстоятельство связано с тем, что теория меры всегда строится с точностью до множеств меры О . [c.19]

В разд. IV показано, как методы теории поля позволяют осуществить компактную запись основных характеристик полимерной системы. В зависимости от выбора ее модели могут быть использованы различные варианты построения вероятностной меры на множестве конфигураций случайного поля. Приведем далее краткий обзор известных в литературе примеров применения идей и расчетных методов теорип поля и теории фазовых переходов нри рассмотрении решеточных, а также континуальных моделей разветвленных полимеров. [c.286]

Приведенные выше рассуждения часто позволяют показать, что д а имеет предел, когда а — мера на компактном множестве Л, но отображение у Л Л не удовлетворяет нашему условию (Е). Для этого достаточно найти сюръективное отображение w fi Л и растягивающее отображение /, для которых Luof = goLu и отображение однозначно определено (т-почти всюду [c.180]

Интегрирование по мере р можно продолжить с пространства 4 Х) на широкий класс функций, в частности, на характеристические функции многих подмножеств пространства О и определить тем самым меру этих измеримых) подмножеств. К числу измеримых подмножеств метризуемого компактного пространства относятся борелевские множества — элементы с-кольца, порожденного компактными множествами. (Непустой класс множеств называется ст-кольцом, если оп замкнут относительно операций симметрической разности и счетного объединения.) Измеримые множества — это множества вида X N, где X — борелевское подмножество, N — подмножество некоторого борелевского множества меры нуль. [c.263]

Множество действительных мер на О, образуют пространство сопряженное к Топология сходимости на элементах пространства в называется -слабой топологией. Пусть I С — множество вероятностных мер, инвариантных относительно т, т. е. таких мер а, что ст(Л) = а[А от ) при всех А Тогда множество I является выпуклым и компактным относительно -слабой топологгш. Для конечного борелевского разбиения пространства il и меры сте / положим [c.23]

Пусть 17 — непустое компактное метризуемое пространство и ж т — представление группы Ъ " гомеоморфизмами пространства Г2 (г° — тождественное преобразование и = г г ). Обозначим через банахову алгебру (Г2) непрерывных действительных функций на Г2 с равномерной нормой. Вероятностные меры на ft (называемые также состояниями) образуют выпуклое компактное метризуемое подмножество слабо дуального к пространства ( состоит из действительных мер на i2 и снабжено слабой, топологией). Множество I инвариантных относительно т состояний выпукло, компактно и является симплексом Шоке (см. приложение А.5.5). Крайние точки множества I называются эргодичеекими состояниями, и так как I — метризуемый симплекс, каждое состояние а I допускает единственное разложение на эргодические состояшм, называемое эргодическим разложением, (см. приложение А.5.6). [c.133]

Можно развить и абстрактную теорию меры, не предполагая, что на пространстве О имеется топология (см., папример, Халмош [1]). Основной объект такой теории — это пространство с мерой (П,. е/, р), где. е/ — семейство подмножеств пространства П (измеримых подмножества), а мера р — счетно-аддитивная функция на, si. Мы предполагаем, что р > О и р Х) < оо. Изоморфизмы пространств с мерой — это сохраняющие меру преобразования, определенные и взаимнооднозначные с точностью до множеств меры ноль. Можно показать, что компактное метризуемое пространство с положительной мерой Радона является пространством Лебега, т.е. изоморфно объединению интервала действительной прямой с мерой Лебега и счетного множества (конечного или бесконечного), каждая точка которого имеет положительную меру, или массу (см. Рохлин [1]). В частности, если вероятностная мера р на компактном метризуемом пространстве не имеет [c.263]

Компактное подмножество 5 множества К называется фасадом К, если зирр д С 8 для любой вероятностной меры гп, результант которой принадлежит множеству 3. [c.267]

Пусть ii — компактное пространство. Зададим на пространстве (ii) действительных мер на Q, слабую топологию (см. приложение А.4.1). Тогда множество Е = iDTi вероятностных мер на il будет компактом, который метризуем, если метризуемо пространство il. [c.268]

Основной результат, достигнутый в этой области, можно сформулировать следующим образом. Решения детерминированных систем обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с числом уравнений, равным или большим трех, часто оказываются плохо прогнозируемыми (и стохастическими с точки зрения экспериментатора) даже в том случае, когда решение существует и единственно и, следовательно, в лом решении не возникает никаких особенностей. Такая структура решений обусловлена тем, что каждая фазовая траектория неустойчива (т.е. с течением времени расстояние между двумя первоначально бли чими фазовыми траекториями экспоненциально растет). Множество фазовых траекторий (странный аттрактор) компактно в том смысле, что все его точки не выходят за пределы некоторого конечного фазового объема. Для неконсервативных систем фазовый объем (точнее, лебегова мера) равен нулю, подобно тому, как равен нулю объем турбулентной жидкости при Re OO. Распределение фазовых точек также напоминает распределение точек, принадлежащих турбулентной жидкости, в физическом пространстве. Связь между странными аттракторами и фракталями прослеживается вполне отчетливо (Мандельброт [1976 ). [c.29]

В случае карлемановских операторов, действующих в пространстве 2 (Я, ц), где / — локально компактное сепарабельное пространство, а ц — определенная на борелевских множествах мера, положительная на открытых множествах и конечная на компактных, можно из предполагаемой априори непрерывности спектрального ядра Р х, у, X) относительно (х, у) Я X Я сделать некоторые полезные заключения (например, доказать непрерывность индивидуальных собственных функций х Я,)). На этих результатах мы не останавливаемся (Березанский [5, гл. 5, 4, п. 31). Мы также не касаемся оценок роста на оо обобщенных собственных функций карлемановских и, в частности, дифференциальных операторов. По этому поводу см. Березанский [5, гл. 5, 51), Саймон [6] и литературные указания. [c.274]

Пусть Q — полное сепарабельное локально компактное метричех ское пространство точек р, q, г, Si (Q) —0-алгебра его борелевски-множеств, So (Q) — подкольцо В (Q), состоящее из множеств с компактным замыканием. Мы будем рассматривать борелевские меры, т. е. неотрицательные меры на В (Q), конечные на компактах такая мера (X регулярна в том смысле, что для каждого а 95 (Q) j, (а) = = sup 11 (ф), где sup распространяется по компактам ц> z а. [c.327]

Рассмотрим отображение х >- - х в пространстве Lj это отображение линейно, инволютивно и, кроме того, (х у) = х у. Поэтому совокупность всех четных функций из г. с. Lj образует ее подалгебру эту подалгебру мы обозначим через Е, и будем называть ее четной подсистемой. Четную подсистему можно рассматривать тк эрмитову г. с., базисом которой служит локально компактное пространство Q, получающееся из исходного базиса Q отождествлением точек р и р в класс р. В самом деле, будем обозначать полные прообразы множеств а, р, Y. (Q) при отображении р р (р р) через а, р, у, iJj (Q) эти прообразы инвариантны относительно . Введем на Q меру т. полагая т (а) = т (а) (а 8 ( )), dm (р) = dp каждая функция X Li Q, S3 (Q), т) порождает четную функцию л L, [c.337]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология